2023届广东省中山市小榄中学高三上学期第三次月考数学试题（解析版）

这是一份2023届广东省中山市小榄中学高三上学期第三次月考数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届广东省中山市小榄中学高三上学期第三次月考数学试题 一、单选题1．已知集合则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果.【详解】由解得，所以，又因为，所以，故选：D.【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.2．设，则=A．2 B． C． D．1【答案】C【分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得，再求．【详解】因为，所以，所以，故选C．【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．3．设，则的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.【详解】因为，，，所以.故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.4．设,若,则A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【详解】由时是增函数可知,若,则,所以,由得,解得,则,故选C.【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．5．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.【详解】由题意可得：，则：，，从而有：，即.故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.6．函数是A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为【答案】D【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，，所以该函数为偶函数，又，所以当时，取最大值.故选：D.7．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（    ）A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1【答案】B【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可.【详解】设等比数列的公比为，由可得：，所以，因此.故选：B.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前项和公式的应用，考查了数学运算能力.8．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A． B． C． D．【答案】B【详解】分析：作图，D为MO 与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当平面时，三棱锥体积最大，然后进行计算可得．详解：如图所示，点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，当平面时，三棱锥体积最大此时，,点M为三角形ABC的中心中，有故选B.点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型． 二、多选题9．设，为正数，若直线被圆截得弦长为4，则（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据直线与圆的位置关系可得排除A，再由均值不等式判断CD即可.【详解】由可得 ，故圆的直径是4，所以直线过圆心，即，故B正确；又，均为正数，所以由均值不等式，当且仅当 时等号成立；故C正确；又，当且仅当，即，即 时，等号成立，故D正确.故选：BCD【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.10．已知等比数列的公比为q，前4项的和为，且，，成等差数列，则q的值可能为（    ）A． B．1 C．2 D．3【答案】AC【分析】根据，，成等差数列，以及数列前4项的和为，求出a3，再根据，，成等差数列，将各项化为a3和q，进而求出q.【详解】因为，，成等差数列，所以，又因为数列前4项的和为，所以，而数列公比为q，再根据有，，所以或.故选：AC.11．函数的图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图像，则下列说法正确的是（    ）A．函数的最大值为3 B．函数关于点对称C．函数在上单调递增 D．函数的最小正周期为【答案】ACD【分析】根据题意由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由图象顶点坐标求出的值，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【详解】由图可知，，，，将点代入，得，故，向右平移个单位长度得：，函数的最大值为3，故A正确；，故B错误；，，函数在上单调递增，故C正确；函数的最小正周期为，故D正确.故选：ACD．12．（多选题）如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，以下结论正确的有（    ）A．B．点到平面的距离为定值C．三棱锥的体积是正方体体积的D．异面直线，所成的角为定值【答案】ABC【分析】由线面垂直推出异面直线垂直可判断A；由点到平面的距离可判断B；运用三棱锥的体积公式可判断C；根据异面直线所成角的定义判断D.【详解】解：对于，根据题意，，，且，所以平面，而平面，所以，所以正确；对于，到平面的距离是定值，所以点到的距离为定值，所以正确；对于，三棱锥的体积为，三棱锥的体积是正方体体积的，所以正确；对于，当点E在处，F为的中点时，异面直线AE，BF所成的角是，当在的中点时，F在的位置，异面直线AE，BF所成的角是，显然两个角不相等，命题错误；故选：． 三、填空题13．已知等差数列的前项和为，则___________.【答案】【分析】依题意设公差为，即可得到方程组，求出与，即可求出通项公式与前项和公式，再利用裂项相消法求和即可；【详解】设公差为，因为，所以，解得，所以，所以，所以，所以故答案为：14．已知为单位向量，且=0，若 ，则___________.【答案】.【分析】根据结合向量夹角公式求出，进一步求出结果.【详解】因为，，所以，，所以，所以 ．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．15．△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．【答案】.【分析】方法一：由正弦定理可得，化简求得，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到，由为锐角，求得， ，利用三角形面积公式即可解出.【详解】［方法一］：【最优解】边化角因为，由正弦定理得，因为，所以．又因为，由余弦定理，可得，所以，即为锐角，且，从而求得，所以的面积为.故答案为：.［方法二］：角化边因为，由正弦定理得，即，又，所以，．又因为，由余弦定理，可得，所以，即为锐角，且，从而求得，所以的面积为.故答案为：.【整体点评】方法一：利用正弦定理边化角，求出，再结合余弦定理求出，即可求出面积，该法是本题的最优解；方法二：利用正弦定理边化角，求出，再结合余弦定理求出，即可求出面积．16．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．【答案】【分析】先根据三角形面积公式求出母线长,再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求出结果.【详解】因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因为的面积为，设母线长为所以，因为与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为，因此圆锥的侧面积为．【整体点评】根据三角形面积公式先求出母线长，再根据线面角求出底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求出侧面积，思路直接自然，是该题的最优解． 四、解答题17．已知函数是奇函数．(1)求的值；(2)已知，求的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由求出参数值，再检验即可；（2）先判断函数的单调性，然后根据单调性列出不等式求解即可．【详解】（1）函数的定义域为，又因为是奇函数，则，解得；经检验，故成立；（2）因为对任意，有所以在上单调递增又，所以解得18．中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周长的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得：，，，.（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式由余弦定理得：，即.（当且仅当时取等号），，解得：（当且仅当时取等号），周长，周长的最大值为.[方法二]：正弦化角（通性通法）设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为．[方法三]：余弦与三角换元结合在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，，所以周长的最大值为．【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值. 方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决. 方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.19．已知数列的前n项和为，，且.（1）求数列的通项；（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，结合与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论；（2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解.【详解】（1）当时，，，当时，由①，得②，①②得，又是首项为，公比为的等比数列，；（2）由，得，所以，，两式相减得，所以，由得恒成立，即恒成立，时不等式恒成立；时，，得；时，，得；所以.【点睛】易错点点睛：（1）已知求不要忽略情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中恒成立，要对讨论，还要注意时，分离参数不等式要变号.20．如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）.【分析】（1）利用三角形中位线和可证得，证得四边形为平行四边形，进而证得，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形对角线交点为原点可建立空间直角坐标系，通过取中点，可证得平面，得到平面的法向量；再通过向量法求得平面的法向量，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值.【详解】（1）连接，，分别为，中点    为的中位线且又为中点，且 且 四边形为平行四边形，又平面，平面平面（2）设，由直四棱柱性质可知：平面四边形为菱形    则以为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：则：，，，D（0，-1,0）取中点，连接，则四边形为菱形且    为等边三角形 又平面，平面 平面，即平面为平面的一个法向量，且设平面的法向量，又，，令，则，     二面角的正弦值为：【点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.21．已知椭圆过点，且长轴长是短轴长的2倍．(1)求椭圆C的方程；(2)过点的直线l交椭圆C于点，直线分别交直线于点．求的值．【答案】(1)；(2)1. 【分析】（1）将代入，结合，可求出，进而得解；（2）方法不唯一.方法一：可设，，直线的方程为：，联立直线与椭圆方程求出韦达定理，分别求出直线MA，NA的方程，令求出，则，结合韦达定理代换易得，进而得解；方法二：也可分为直线与轴重合和不与轴重合讨论，设直线，联立直线与椭圆方程求出关于的韦达定理，后续步骤同方法一.【详解】（1）设椭圆方程为：，由题意可得：，解得：，故椭圆方程为：；（2）方法一：设，，直线的斜率存在，令方程为：，与椭圆方程联立可得：，即：，，解得，若或，则或，显然或，则：.设直线MA的方程为：，令可得：，同理可得：.很明显，且，注意到，，而，故.从而；方法二：①当直线l与x轴重合，不妨设，过点作轴的垂线，交轴于，由三角形的相似性得：，故，即，整理得，同理得，，即，整理得，所以．②当直线l不与x轴重合时，设直线，由题意，直线l不过和点，所以．设，联立得．由题意知，所以．且．由题意知直线的斜率存在．．当时，则．同理，．所以．因为，所以．22．已知函数．(1)讨论函数的单调性;(2)若函数 有两个零点， 求证：．【答案】(1)答案见解析．(2)证明见解析 【分析】（1）求导，再分和两种情况讨论求解即可；（2）结合（1）得时，有两个零点，不妨设是函数的两个零点，进而得，再设，，进而得，再等价转化后，构造函数，利用导数证明不等式即可.【详解】（1）解：函数定义域为， ，当时，恒成立， 函数在上单调递增；当时，时，时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增．综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增．（2）解：由（1）知，若函数 有两个零点，则，且，即时，有两个零点， 不妨设是函数的两个零点，则，两式相除得，不妨设， 设 ， 所以 ， 所以，要证，只需证， 即证：， 设，则，令，则，所以，当时，，单调递增，所以，在恒成立，即，令,则，所以，在上单调递增，所以，，所以在上成立，即在上单调递增，所以，即.所以，.【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于设， 设，进而将得到，再结合要证结论，将问题转化为证明，再利用导数证明不等式即可.