2023届广东省深圳市福田区福田中学高三上学期第二次月考数学试题（解析版）

2023届广东省深圳市福田区福田中学高三上学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．设集合， 若， 则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意可得，求出集合B，则可得，从而可求出实数的取值范围.

【详解】因为，所以．

则由，

可得，

故选：D．

2．“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（    ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充分必要 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】要使函数是幂函数，且在上为增函数，求出，可得函数为奇函数，即充分性成立；函数为奇函数，求出，故必要性不成立，可得答案.

【详解】要使函数是幂函数，且在上为增函数，

则，解得：，当时，，，

则，所以函数为奇函数，即充分性成立；

“函数为奇函数”，

则，即，

解得：，故必要性不成立，

故选：A．

3．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，若函数在上存在零点，则（    ）

A．或 B．或 C． D．

【答案】D

【分析】根据正弦定理可求或，分类讨论后可求得符合条件的角.

【详解】在中，由正弦定理可得，即，

因为，从而或．

若，则，

而时，，故，

故在上没有零点，不符合题意，

若，则，

而时，，故，

故在上存在零点，符合题意．

故选：D．

4．已知函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先将函数化简为“一角一函数”的形式，根据三角函数图象的平移变换求出函数的解析式，然后利用函数图象的对称性建立的关系式，求其最小值．

【详解】，

所以，

由题意可得，为偶函数，所以，

解得，又，所以的最小值为．

故选：A.

5．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学巨著，大约成书于公元前300年．汉语的最早译本是由中国明代数学家、天文学家徐光启和意大利传教士利玛窦合译，成书于1607年.该书前6卷主要包括：基本概念、三角形、四边形、多边形、圆、比例线段、相似形这7章，几乎包含现今平面几何的所有内容．某高校要求数学专业的学生从这7章里任选4章进行选修，则学生李某所选的4章中，含有“基本概念”这一章的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出从这7章里任选4章进行选修的选法总数，再求出学生李某所选的4章中，含有“基本概念”这一章的选法总数，由古典概型的概率公式即可得出答案.

【详解】数学专业的学生从这7章里任选4章进行选修共有：种选法；

学生李某所选的4章中，含有“基本概念”这一章共有：种选法，

故学生李某所选的4章中，含有“基本概念”这一章的概率为：.

故选：B.

6．函数的图象大致形状是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据的奇偶性和当时可选出答案.

【详解】由，

得，

则函数是奇函数，图象关于原点中心对称，排除A，B，

当时，排除C，

故选：D.

7．把一条线段分为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是一个无理数，由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，黄金分割不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用.在中，点D为线段的黄金分割点（），，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】点D为线段的黄金分割点，求出，,再求得解.

【详解】

点D为线段的黄金分割点，

则，

所以，

则.

故选：A.

8．已知函数的定义域是，若对于任意的都有，则当时，不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，求导得在上是减函数，由题知，所以，计算得解.

【详解】令，则在上是减函数.，

所以

得，又，所以.

故选：A.

二、多选题

9．已知复数，则（    ）

A． B．的虚部为-1

C．为纯虚数 D．在复平面内对应的点位于第一象限

【答案】ABC

【分析】化简得，求出复数的模即可判断选项A和B的真假；求出即可判断选项C的真假；求出即可判断选项D的真假.

【详解】解：由题得，所以，所以选项A正确；

因为的虚部为-1，所以选项B正确；

由于为纯虚数，所以选项C正确；

在复平面内对应的点为位于第二象限，所以选项D错误.

故选：ABC

10．若 ， 则（    ）

A．

B．

C．展开式中的各项系数之和为 0

D．展开式中所有项的二项式系数之和为

【答案】ACD

【分析】由二项式定理及二项式系数的性质，结合赋值法即可求解.

【详解】解：选项A：令，可得，故选项A正确；

选项B：令，可得，

所以，故选项B错误；

选项C：令，可得展开式中的各项系数之和.故选项C正确；

选项D：展开式中所有项的二项式系数之和

，故选项D正确.

故选：ACD.

11．已知向量，，则下列命题正确的是（   ）

A．若，则

B．若在上的投影为，则向量与夹角为

C．与共线的单位向量只有一个为

D．存在，使得

【答案】BD

【分析】由向量垂直的坐标表示求得判断A，根据投影的定义求得向量的夹角，判断B，根据共线向量和单位向量的定义判断C，举例使得与同向，即可判断D．

【详解】解：向量，，

对A：因为，所以，所以，故选项A错误；

对B：因为在上的投影为，即，

所以，又，

所以，

因为，所以向量与夹角为，故选项B正确；

对C：与共线的单位向量有两个，分别为和，故选项C错误；

对D：当时，，此时向量与共线同向，满足，所以存在，使得，故选项D正确；

故选：BD.

12．设函数，若在有且仅有5个最值点，则（    ）

A．在有且仅有3个最大值点

B．在有且仅有4个零点

C． 的取值范围是

D．在上单调递增

【答案】ACD

【分析】令，利用图像逐项分析最值点、零点个数，单调性即可.

【详解】，

，，

令，，

画出图像进行分析:

对于A选项：由图像可知：在上有且仅有这3个最大值点，故A选项正确；

对于B选项：当，即时，在有且仅有个零点；

当，即时，在有且仅有个零点，故B选项不正确；

对于C选项：在有且仅有个最值点，

，，

的取值范围是，故C选项正确；

对于D选项：，，，

由C选项可知，，

，在上单调递增，故D选项正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．某智能机器人的广告费用（万元）与销售额（万元）的统计数据如下表：

根据上表可得回归方程，据此模型预报广告费用为8万元时销售额为______万元．

【答案】

【分析】计算出样本中心后可求，从而可求广告费用为8万元时销售额.

【详解】，，

所以，，

所以广告费用为8万元时销售额（万元）

故答案为：

14．已知二项式展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中一次项系数为______．

【答案】11

【分析】由已知求得，写出二项展开式的通项公式，由的指数为0或，利用多项式的乘法求值即可．

【详解】展开式中只有第7项的二项式系数最大，．

展开式的通项为，

令，展开式的常数项为；

令，展开式的项为

则展开式中一次项系数为．

故答案为：11．

15．函数的最小值为__________．

【答案】

【分析】（1） 求导数， 确定函数在区间上的单调性， 即可求出函数在区间上的最小值．

【详解】，

当时，

当时，

所以在上递减，在递增，

所以函数在处取得最小值，即．

【点睛】本题考查导数知识的运用， 考查函数的单调性与最值， 考查学生的计算能力， 属于中档题 ．

16．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积为，且，则的周长的取值范围是________.

【答案】

【分析】通过观察的面积的式子很容易和余弦定理联系起来，所以，求出，所以.再由正弦定理即可将的范围通过辅助角公式化简利用三角函数求出范围即可．

【详解】因为的面积为，所以

，所以.由余弦定理可得，则，即，所以.由正弦定理可得，所以

.因为为锐角三角形，所以，所以，则，即.故的周长的取值范围是.

【点睛】此题考察解三角形，熟悉正余弦定理，然后一般求范围的题目转化为求解三角函数值域即可，易错点注意转化后角的范围区间，属于中档题目．

四、解答题

17．已知的内角，，所对的边分别为，，，且为钝角．

(1)求；

(2)若，，求的面积；

(3)求．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由正弦定理边化角，可求得角的正弦，由同角关系结合条件可得答案.

（2）由（1），由余弦定理，求出边的长，进一步求得面积．

（3）由正余弦的二倍角公式可得答案.

【详解】（1）因为，由正弦定理得，

因为，所以．

因为角C为钝角，所以角A为锐角，所以.

（2）由（1），由余弦定理，，，

得，所以，

解得或，，不合题意舍去，

∴，

故△ABC的面积为.

（3）因为，，

所以

.

18．设向量，，函数.

(1)求的最小正周期及其图像的对称中心；

(2)若，求函数的值域.

【答案】(1)最小正周期为，对称中心为

(2)

【分析】（1）先将函数化简为的形式，再根据三角函数性质求解；

（2）由x的范围，求得的范围，再得到的值域.

【详解】（1）因为

即，所以的最小正周期为.

令，解得，

所以函数的对称中心为.

（2）因为，即设，

根据图像分析可得：，

所以函数的值域为.

19．某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了100名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，并将得分分成以下6组：、、、…、，统计结果如图所示：

(1)试估计这100名学生得分的平均数；

(2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在的人数为，试求的分布列和数学期望；

(3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分X近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算.所有参加知识竞赛的2000名学生中，试问得分高于77分的人数最有可能是多少？

参考数据：，，.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

(3)

【详解】（1）解：由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数

.

(2)解：参加座谈的11人中，得分在的有人，

所以的可能取值为，，，

所以，，.

所以的分布列为

∴.

（3）解：由（1）知，，

所以.

得分高于77分的人数最有可能是.

20．已知函数的图象如图所示， 点 为与轴的交点， 点分别为的最高点和最低点， 而函数的相邻两条对称轴之间的距离为， 且其在处取得最小值．

(1)求参数和的值;

(2)若，求向量 与向量夹角的余弦值;

(3)若点P为函数图象上的动点，当点在之间运动时， 恒成立，求A的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

(3)

【分析】（1）由对称轴之间的距离可得周期，根据周期求出，利用在处取得最小值求出；

（2）由函数解析式求出零点，根据向量的坐标求夹角即可；

（3）设，利用向量数量积的坐标表示出，观察取最小值时点P位置，然后根据最小值大于等于1可得A的取值范围.

【详解】（1）因为的相邻两条对称轴之间的距离为

所以

又时，取最小值

则，

，

又，则

（2）因为，所以，

则，，

则

则

（3）是上动点，

，

又恒成立

设

，

易知在或处有最小值，在或处有最大值

所以当或时，有最小值

即当在或时，有最小值，此时或

为时，，

，得

又，则

为时，，

，解得

综上，

21．定义在上的函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)的所有极值点为，，…，，若，求m的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得出答案；

（2）根据已知条件及正切函数的性质，利用导数法求函数的极值及函数存在性定理，再根据零点范围及三角函数相等的角的关系即可求解．

【详解】（1）解：当时，，

，

则，

所以曲线在点处的切线方程为，

即；

（2）解：，

当时，，

由函数在区间上递增，且值域为，

所以存在唯一，使得，

此时当时，，当时，，

所以为函数的极小值点，

同理，存在唯一，使得，

此时，当时，，

当时，，

所以为函数的极大值点，

所以函数在上有且仅有2个极值点，

不妨设，则，，

因为，

同理，，

由，整理得，

又，所以，

则有，

由，得或，

又，当时，不满足，舍去，

所以，即，

所以，

所以，

综上．

【点睛】本题考查导数的几何意义，考查导数求极值问题，考查函数零点存在性定理等基础知识，考查运算求解能力，有一定的难度．

22．已知函数，.

(1)若函数只有一个零点，求实数a的取值所构成的集合；

(2)若函数恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将零点问题转化为交点问题，利用导数分析的单调性以及极值情况.

（2）分三种情况讨论，将不等式恒成立问题转化成求即可.

【详解】（1）当时，显然不满足题意

当时，若函数只有一个零点，

即只有一个根，因为1不是方程的根，所以可转化为

只有一个根，

即直线与函数（且）的图像只有一个交点.

，令，得，

在和上，，在上，，

所以在和上单调递减，在上单调递增.

在时有极小值，图像如图所示：

由图可知：若要使直线与函数的图像只有一个交点，

则或，

综上.

（2）恒成立，

等价于，

令（），

，

①若时，，

所以在上单调递增，

，即，满足，

②若时，则，，

所以在上单调递增，

当时，，不成立

故不满足题意.

③若时，令，，

，，

，单调递减，

，单调递增，

只需即可，

，，

令

，在上单调递增，

，时，，

，，

所以在上单调递增，

，即，

综上：

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．