2023届广东省广州市从化区第三中学高三上学期第三次段考（11月）数学试题（解析版）

2023届广东省广州市从化区第三中学高三上学期第三次段考（11月）数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据二次不等式求解集合，再求并集即可.

【详解】∵，

∴．

故选：D

2．若复数，则（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】B

【分析】由复数的除法运算求出复数，然后根据复数模长公式即可求解.

【详解】解：因为复数，

所以，

所以，

故选：B.

3．已知平面向量，的夹角为，若，则的值为（    ）

A． B．5 C． D．

【答案】D

【分析】利用平方的方法化简，从而求得.

【详解】由两边平方得，

，

，

解得.

故选：D

4．已知箱中装有6瓶消毒液，其中4瓶合格品，2瓶不合格品，现从箱中每次取一瓶消毒液，每瓶消毒液被抽到的可能性相同，不放回地抽取两次，若用A表示“第一次取到不合格消毒液”，用B表示“第二次仍取到不合格消毒液”，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】求出和，再由条件概率公式计算．

【详解】，，

∴．

故选：B．

【点睛】本题考查条件概率，掌握条件概率计算公式是解题基础．

5．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为.给出下列三个结论：

①正方体在每个顶点的曲率均为；

②任意四棱锥的总曲率均为；

③若某类多面体的顶点数，棱数，面数满足，则该类多面体的总曲率是常数.

其中，所有正确结论的序号是（    ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

【答案】D

【分析】根据曲率的定义依次判断即可.

【详解】①根据曲率的定义可得正方体在每个顶点的曲率为，故①正确；

②由定义可得多面体的总曲率顶点数各面内角和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形，所以任意四棱锥的总曲率为，故②正确；

③设每个面记为边形，

则所有的面角和为，

根据定义可得该类多面体的总曲率为常数，故③正确.

故选：D.

6．若是第三象限角，且，则等于（　　）

A． B．－ C． D．5

【答案】A

【分析】先求得的值，然后求得的值，进而求得的值.

【详解】依题意，

即，

由于是第三象限角，所以，

所以.

故选：A

7．若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截

得的弦长为2，则的离心率为                      

A．2 B． C． D．

【答案】A

【详解】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，

即，整理可得，双曲线的离心率．故选A．

点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

8．已知函数，若函数恰好有5个不同的零点，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】函数有零点转化为方程有实根，令，则方程可转化为常见的一元二次方程，对其分析求解即可.

【详解】画出函数的大致图象，如下图所示：

函数恰好有5个不同的零点，方程有5个根，设，则方程化为，易知此方程有两个不等的实根，，结合的图象可知，，，令，则由二次函数的根的分布情况得：，解得：.

故选：A

二、多选题

9．已知函数（，，）的部分图像如图所示，下列说法正确的是（    ）

A．的图像关于点对称

B．的图像关于直线对称

C．将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像

D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是

【答案】ABD

【分析】先求出.对四个选项一一验证：

对于A、B：代入验证即可；对于C：利用相位变化即可求得；对于D：先判断出单调性，求出最值，即可求解.

【详解】由题图可得，，故，

所以，又，即，

所以（），又，所以，所以.

对于A：当时，，故A正确；

对于B：当时，，故B正确；

对于C：将函数的图像向左平移个单位长度得到函数

的图像，故C中说法错误；

对于D：当时，，则当，即时，单调递减，

当，即时，单调递增，

因为，，，

所以方程在上有两个不相等的实数根时，的取值范围是.

故选：ABD

10．在三棱锥中，，，则（    ）

A．

B．三棱锥的体积为

C．三棱锥外接球半径为

D．异面直线与所成角的余弦值为

【答案】ABD

【分析】将三棱锥补形为长方体，利用异面直线的夹角的定义判断A，D，再确定三棱锥的外接球的球心及半径，判断C，利用体积公式求三棱锥的体积判断B.

【详解】将三棱锥补形为长方体如下：其中，，

所以，，

连接，

因为，，，，

所以，，

所以四边形为平行四边形，所以，

又四边形为正方形，所以，

所以，A对；

长方体的体积，

三棱锥的体积，三棱锥的体积，三棱锥的体积，

三棱锥的体积，

所以三棱锥的体积，B对，

为长方体的外接球的直径，，

所以长方体的外接球的半径为，长方体的外接球也是三棱锥外接球，

所以三棱锥外接球的半径为；C错；

连接，交于，

因为，所以为异面直线与所成的角（或其补角），

由已知，，,

所以，

所以异面直线与所成角的余弦值为，D对，

故选：ABD.

11．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫作基本不等式.已知实数a，b满足，，a+b=2，则下列结论正确的有（    ）

A．的最小值是 B．的最小值为3

C．的最大值为3 D．的最小值是2

【答案】ABD

【分析】变形条件，利用“1”的妙用求出最小值判断A，D；消元借助函数求出最小值判断B；换元借助三角变换及三角函数性质计算判断C作答.

【详解】对于A，，

当且仅当，即，时取“=”，A正确；

对于B，，当时，取得最小值3，B正确；

对于C，令，，

其中锐角由确定，显然，则当，即时，，

因此，当时，取最大值，C不正确；

对于D，

，

当且仅当a=b=1时取“=”，D正确.

故选：ABD

12．设定义在R上的函数与的导函数分别为和，若， ，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（    ）

A． B．函数的图象关于对称

C． D．

【答案】AC

【分析】由为奇函数可得，由取导数可得，结合条件，判断B，再由条件判断函数，的周期，由此计算，，判断C，D．

【详解】因为为奇函数，所以，取可得，A对，

因为，所以；

所以，又，，

故，所以函数的图象关于点对称，B错，

因为，所以，所以，为常数，

因为，所以，

所以，取可得，所以，

又，所以，所以，

所以，故函数为周期为4的函数，

因为，所以，，

所以，

所以，

所以，

由已知无法确定的值，故的值不一定为0，D错；

因为，所以，，

所以，故函数为周期为4的函数，

所以函数为周期为4的函数，

又，，，，

所以，

所以

，C对，

故选：AC.

【点睛】方法点睛：抽象函数对称性与周期性的判断如下：

若，则函数关于对称；

若，则函数关于中心对称；

若，则是的一个周期

三、填空题

13．的展开式中的系数为________________（用数字作答）．

【答案】-28

【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.

【详解】因为，

所以的展开式中含的项为，

的展开式中的系数为-28

故答案为：-28

14．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B（3，0），若|AF|＝|BF|，则|AB|＝___________.

【答案】

【分析】根据抛物线方程得到，然后利用焦半径公式和抛物线方程得到点的坐标，最后利用两点间距离公式求距离即可.

【详解】因为抛物线方程为，则，，所以，.

故答案为：.

15．若直线与曲线相切，则的值为___________.

【答案】

【分析】设切点为，利用导数的几何意义结合条件即得.

【详解】设切点为，则，，

，，

，

所以，.

故答案为：.

16．已知a∈R且为常数，圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0，过圆C内一点(1，2)的直线l与圆C相交于A，B两点.当∠ACB最小时，直线l的方程为2x－y＝0，则a＝________.

【答案】3

【解析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，可得过圆心与点的直线与直线垂直，再由斜率的关系列式求解．

【详解】化圆为，

圆心坐标为，半径为．

当弦AB长度最短时，∠ACB最小，

此时圆心C与定点(1，2)的连线和直线2x－y＝0垂直，

则，即．

故答案为：3．

四、解答题

17．记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．

（1）求数列的通项公式；

（2）求使成立的n的最小值．

【答案】(1)；(2)7.

【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；

(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.

【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，

设等差数列的公差为，从而有：，

，

从而：，由于公差不为零，故：，

数列的通项公式为：.

(2)由数列的通项公式可得：，则：，

则不等式即：，整理可得：，

解得：或，又为正整数，故的最小值为.

【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.

18．在中，内角，，所对的边分别为，，，为上一点，，．

(1)若，求；

(2)若，当面积取最小值时，求的值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用正余弦定理及三角形内角性质求；

（2）利用等面积法结合基本不等式可得面积取最小值时，再由余弦定理即可得解.

【详解】（1）令，又，

所以，即，

则，即，

又，则，故.

（2）由三角形面积公式可得，

且，

所以，即，

即，当且仅当时，等号成立，此时面积取最小值，

此时，，

所以当面积取最小值时，.

19．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.

（1）证明：；

（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析；(2).

【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；

(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.

【详解】（1）因为，O是中点，所以，

因为平面，平面平面，

且平面平面，所以平面．

因为平面，所以.

（2）[方法一]：通性通法—坐标法

如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系，

则，设,

所以，

设为平面的法向量，

则由可求得平面的一个法向量为．

又平面的一个法向量为，

所以，解得．

又点C到平面的距离为，所以，

所以三棱锥的体积为．

[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角

如图所示，作，垂足为点G．

作，垂足为点F，连结，则．

因为平面，所以平面，

为二面角的平面角．

因为，所以．

由已知得，故．

又，所以．

因为，

．

[方法三]：三面角公式

考虑三面角，记为，为，，

记二面角为．据题意，得．

对使用三面角的余弦公式，可得，

化简可得．①

使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．②

将①②两式平方后相加，可得，

由此得，从而可得．

如图可知，即有，

根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得，

结合的正切值，

可得从而可得三棱锥的体积为．

【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；

方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.

方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.

20．汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：

(1)统计表明销量与年份代码有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；

(2)为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业心随机调查了该地区200位购车车主的购车情况作为样本其中男性车主中购置传统燃油汽车的有名，购置新能源汽车的有45名，女性车主中有20名购置传统燃油汽车．

①若，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用（1）中的线性回归方程预测该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数（假设每位车主只购买一辆汽车，结果精确到千人）；

②设男性车主中购置新能源汽车的概率为，将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机抽取5人，记恰有3人购置新能源汽车的概率为，求当为何值时，最大．

附： 为回归方程，，．

【答案】(1)，2028年

(2)①万人；②

【分析】（1）根据所给数据，结合线性回归的公式求解方程，再令求解即可；

（2）①计算该地区购置新能源汽车的车主中女性车主的频数与总人数求解即可；

②根据二项分布的概率公式可得，再求导分析的最大值即可.

【详解】（1）解：由题意得 ，，

，．

所以，．

所以关于的线性回归方程为，令，得，

所以最小的整数为12，，

所以该地区新能源汽车的销量最早在2028年能突破50万辆．

（2）解：①由题意知，该地区200名购车者中女性有名，

故其中购置新能源汽车的女性车主的有名．

所购置新能源汽车的车主中，女性车主所占的比例为．

所以该地区购置新能源汽车的车主中女性车主的概率为．

预测该地区2023年购置新能源汽车的销量为33万辆，

因此预测该地区2020年购置新能源汽车的女性车主的人数为万人

②由题意知，，则

当时，知所以函数单调递增

当时，知所以函数单调递减

所以当取得最大值．

此时，解得，所以当时取得最大值．

21．已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点.

【答案】（1）；（2）证明详见解析.

【分析】（1）由已知可得：， ，，即可求得，结合已知即可求得：，问题得解.

（2）方法一：设，可得直线的方程为：，联立直线的方程与椭圆方程即可求得点的坐标为，同理可得点的坐标为，当时，可表示出直线的方程，整理直线的方程可得：即可知直线过定点，当时，直线：，直线过点，命题得证.

【详解】（1）依据题意作出如下图象：

由椭圆方程可得：， ，

，

，

椭圆方程为：

（2）[方法一]：设而求点法

证明：设，

则直线的方程为：，即：

联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：

，解得：或

将代入直线可得：

所以点的坐标为.

同理可得：点的坐标为

当时，

直线的方程为：，

整理可得：

整理得：

所以直线过定点．

当时，直线：，直线过点．

故直线CD过定点．

[方法二]【最优解】：数形结合

 设，则直线的方程为，即．

同理，可求直线的方程为．

则经过直线和直线的方程可写为．

可化为．④

易知A，B，C，D四个点满足上述方程，同时A，B，C，D又在椭圆上，则有，代入④式可得．

故，可得或．

其中表示直线，则表示直线．

令，得，即直线恒过点．

【整体点评】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.

第二问的方法一最直接，但对运算能力要求严格；方法二曲线系的应用更多的体现了几何与代数结合的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.

22．已知函数.

(1)当时，讨论的单调性；

(2)若有两个零点，求的取值范围.

【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增

(2)

【分析】（1）利用导数研究函数单调性，可得答案；

（2）利用分类讨论思想，结合导数研究函数的单调性，求得最值，可得答案.

【详解】（1）由题意，的定义域为，且．

当时，，令，解得．

∴当时，，单调递减，

当时，，单调递增．

∴在上单调递减，在上单调递增.

（2）当时，恒成立，在上单调递增，不合题意；

当时，令，解得，

当时，，单调递减，当时，，单调递增．

易知，；，.

∴的极小值也是最小值为．

∴要使有两个零点，只要即可，则，可得．

综上，若有两个零点，则a的取值范围是．