2023届吉林省吉林市吉化第一高级中学校高三上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份2023届吉林省吉林市吉化第一高级中学校高三上学期12月月考数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届吉林省吉林市吉化第一高级中学校高三上学期12月月考数学试题 一、单选题1．复数是虚数単位（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数的运算法则计算即可.【详解】，故选：D.2．设集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由交集的定义求解即可【详解】因为，，所以，故选：D3．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形图中的正八边形，其中为正八边形的中心，则下列说法不正确的是（    ）A． B． C． D．和能构成一组基底【答案】B【分析】根据正八边形的几何特点，结合向量的线性运算，对每个选项逐一分析即可判断.【详解】在正八边形中，对于A，，所以选项A正确；对于B，，所以选项B错误；对于C，在正八边形中，因为，，所以以向量和向量为邻边的平行四边形为正方形，对角线长度为，因为，所以的方向与向量方向相同，且长度为向量长度的倍，所以，所以选项C正确；对于D，由图可知向量和为相等向量，所以向量和不共线，故和能构成一组基底，所以选项D正确.故选：B.4．在等差数列中，若，则其前9项的和等于（    ）A．18 B．27 C．36 D．9【答案】A【分析】根据等差数列的性质计算出，利用等差数列求和公式求出答案.【详解】因为是等差数列，所以，解得：，所以.故选：A5．“”是“直线和直线垂直”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】根据两条直线垂直的性质再结合充分条件、必要条件的概念求解即可.【详解】直线的斜率为，当时，直线的斜率为，则两条直线垂直，满足充分性.因为“直线和直线垂直”，所以直线的斜率存在，为.所以，解得，不满足必要性.所以“”是“直线和直线垂直”的充分不必要条件.故选：A6．某校举行演讲比赛，邀请7位评委分别给选手打分，得到7个原始评分．在评定选手成绩时，从这7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．这5个有效评分与7个原始评分相比，数字特征保持不变的是（    ）A．众数 B．标准差 C．平均数 D．中位数【答案】D【分析】根据评分的规则容易判断选项.【详解】7个数去掉一个最高分，去掉一个最低分，显然中位数是不变的；故选：D.7．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛的用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点．若相邻两个氟原子之间的距离为，则以六氟化硫分子中6个氟原子为顶点构成的正八面体的体积是（    ）．（氟原子的大小可以忽略不计）A． B． C． D．【答案】D【分析】如图，连接，设交于点，连接，令相邻两个氟原子之间的距离为，则由正四棱锥的性质结合已知条件可得的长，从而可求出其体积.【详解】如图，连接，设交于点，连接，因为，为的中点，也是的中点，所以，因为，平面，所以平面，令相邻两个氟原子之间的距离为，则，，因为，所以，因为四边形为正方形，所以，所以，所以该正八面体的体积是，故选：D8．材料一：已知三角形三边长分别为，则三角形的面积为，其中.这个公式被称为海伦一秦九韶公式.材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.根据材料一或材料二解答：已知中，，则面积的最大值为（    ）A．6 B．10 C．12 D．2【答案】C【分析】用材料一：根据海伦-秦九韶公式化简得，再利用基本不等式求最值.用材料二：写出椭圆方程，根据（为到的距离），可知当点位于短轴的顶点时，可取到面积的最大值，通过计算即可求解.【详解】用材料一：根据海伦-秦九韶公式，，其中，由题意，可知，，，且，故，当且仅当，即时取等号.用材料二：以的中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴，由椭圆的定义易知，椭圆方程为，所以面积（为到的距离），，可知当点位于短轴的顶点时，取到最大值为4，所以，当且仅当时取等号.故选：C. 二、多选题9．(多选)下列说法中正确的是（    ）A．若直线的斜率存在，则必有一个倾斜角与之对应B．每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°D．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α【答案】ABC【分析】由倾斜角和斜率的定义即可判断答案.【详解】由直线的倾斜角与斜率的概念，可知A，B，C均正确；因为倾斜角是90°的直线没有斜率，所以D说法不正确．故选：ABC.10．已知向量，，则下列结论正确的是（    ）A． B．向量与向量的夹角为C． D．向量在向量上的投影向量是【答案】AB【分析】利用平面向量垂直的坐标表示可判断A选项；利用平面向量夹角的坐标表示可判断B选项；利用平面向量的模长公式可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，，所以，，故，A对；对于B选项，，，故，B对；对于C选项，，故，C错；对于D选项，向量在向量上的投影向量为，D错.故选：AB.11．在棱长为2的正方体中，、、分别为、、的中点，则下列选项正确的是（    ）A．若点在平面内，则必存在实数，使得B．直线与所成角的余弦值为C．点到直线的距离为D．存在实数、使得【答案】BCD【分析】根据空间向量共面定理，异面直线夹角和点到直线距离的求解方法，以及线面平行的判定定理，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：若三点共线，则不存在实数，使得，故A错误；对B：取的中点为，连接，如下所示：在三角形中，分别为的中点，故可得//，在三角形中，分别为的中点，故可得//，则//，故直线所成的角即为或其补角；在三角形中，，，由余弦定理可得：，即直线与所成角的余弦值为，故B正确；对C：连接如下图所示：在三角形中，，，，故点到直线的距离即为三角形中边上的高，设其为，则.故C正确；对D：记的中点为，连接，如下所示：由B选项所证，//，又面面，故//面；易知//，又面面，故//面，又面，故平面//面，又面，故可得//面，故存在实数、使得，D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中四点共面、线面平行、线线角，以及点到直线距离的求解，处理问题的关键是准确把握本题中向量的表达形式，属综合基础题.12．已知奇函数的最小正周期为，将函数的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ）A．函数 B．函数的图象关于点对称C．函数在区间上单调递增 D．当时，函数的最大值是【答案】AB【分析】利用两角差的正弦公式将化为，根据函数的最小正周期确定，根据奇偶性确定，可得其解析式，根据三角函数的平移变换可得函数的解析式，判断A;代入验证可判断B；根据x的范围，确定的范围，结合正弦函数性质，可判断C,D.【详解】由题意可得，因为的最小正周期为，所以 ，又因为为奇函数，所以，而，故，所以，则将函数的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象，故，A正确；将代入中，有，即函数的图象关于点对称，B正确；当时，，由于正弦函数在上不单调，故在区间上不是单调递增函数，故C错误；当时，，，函数最大值为2，D错误，故选：AB 三、填空题13．已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为________________.【答案】x2＋y2＋2x＋4y－5＝0【分析】方法一：设出圆的标准方程，代入点的坐标，建立方程组，求出答案；方法二：求出线段AB的垂直平分线方程，联立x－2y－3＝0求出圆心坐标，进而计算出半径，写出圆的标准方程，化为一般方程.【详解】方法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意得:,解得：故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.方法二：线段的中点坐标为，即，直线的斜率为，所以线段AB的垂直平分线的斜率为-2，所以线段AB的垂直平分线方程为，即2x＋y＋4＝0，由几何性质可知：线段AB的垂直平分线与的交点为圆心，联立，得交点坐标，又点O到点A的距离，即半径为，所以圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.故答案为：x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.14．函数的定义域是___________.【答案】【分析】根据二次根的被开方数非负，分式的分母不为零，对数的真数大于零，列不等式组可求得结果.【详解】根据题意得，解得，所以函数的定义域为，故答案为：.15．已知，是椭圆C的两个焦点，点M在C上，且的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为__________．【答案】##.【分析】先结合椭圆的定义表示出，化简后结合的范围可求出的最值，然后列方程可表示出的关系，从而可求出椭圆的离心率.【详解】因为，所以，所以当时，取得最大值，因为，所以的最小值为，因为的最大值是它的最小值的2倍，所以，所以，所以，所以椭圆的离心率为，故答案为：. 四、双空题16．如图（1），画一个边长为1的正三角形，并把每一边三等分，在每个边上以中间一段为一边，向外侧凸出作正三角形，再把原来边上中间一段擦掉，得到第（2）个图形，重复上面的步骤，得到第（3）个图形，这样无限地作下去，得到的图形的轮廓线称为科赫曲线．云层的边缘、山脉的轮廓、海岸线等自然界里的不规则曲线都可用“科赫曲线”的方式来研究，这门学科叫“分形几何学”．设第（n）个图形的周长为，则与的递推关系式为______，当时，n的最小值为______（参考数据：，）【答案】     ##     10【分析】根据题中给出的图形，先分析边长之间的变换规律，再分析边数的变化规律，最后分析周长的变化规律即可.【详解】第1个图形的边长为1，第2个图形的边长为第1个图形边长的，则第2个图形的边长为，以此类推，第个图形的边长为，以—条边为例，原本的一条也被分成了3份，擦去一份，在擦掉的那条边上又衍生出2条，即原本的1条边变成现在的条，翻了4倍，所以第1个图形的边数为3，第2个图形的边数为12，第3个图形的边数为，以此类推，第个图形的边数为，所以周长之间的关系为，所以是公比为，首项为3的等比数列，所以.当时，即，即，即，即，因为，所以，解得，所以为10.故答案为：； 10. 五、解答题17．已知数列是公比为2的等比数列，且是与的等差中项.(1)求的通项公式及前项和；(2)设，求数列 的前项和.【答案】(1),(2) 【分析】(1)利用等差中项的性质结合等比数列的通项公式和前项和的定义可求解;(2)利用裂项相消法求和.【详解】（1）设数列是公比为,因为是与的等差中项,所以即,因为,所以,解得,所以,.（2）由(1)知，，所以.即数列 的前项和.18．在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．问题：在中，角的对边分别为，且______．(1)求角的大小；(2)边上的中线，求的面积的最大值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由诱导公式和正弦定理化简，由余弦定理求出角的大小；（2）利用平面向量的模长以及余弦定理，结合基本不等式，可得的面积的最大值．【详解】（1）若选①在中，因为，故由可得由正弦定理得，即．则，又，故．选②，，∴，∴，∴．选③由及正弦定理．．又，所以．即，因为，，所以．又，得．综上所述：选择①②③，都有．（2）．又（当且仅当时取等）的面积的最大值为19．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】建立空间直角坐标系利用向量法即可证明线面平行.利用法向量和直线方向向量之间的关系即可求得正弦值.【详解】（1）证明：以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，因为为棱的中点，为棱的中点，所以，，所以，，，设平面的一个法向量为，则 令，则，因为，所以，因为平面，所以平面．（2）由（1）得，，设直线与平面所成的角为，则．20．2022年11月卡塔尔世界杯即将到来，这是世界足球的一场盛宴．为了了解全民对足球的热爱程度，组委会在某场比赛结束后，随机抽取了1000名观众进行对足球“喜爱度”的调查评分，将得到的分数分成6段：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求m的值并估计这1000名观众评分的中位数；(2)若评分在“90分及以上”确定为“足球发烧友”，现从“足球发烧友”中按区间与两部分按比例分层抽样抽取5人，然后再从中任意选取两人作进一步的访谈，求这两人中至少有1人的评分在区间的概率．【答案】(1)，87.5(2)． 【分析】（1）根据频率之和为求得，根据中位数的求法求得中位数.（2）根据分层抽样的知识求得与两部分抽取的人数，然后结合古典概型概率计算公式计算出正确答案.【详解】（1）因为，所以．设y为观众评分的中位数，由前三组的概率和为0.375，前四组的概率和为0.625，知，所以，则；（2）以样本的频率作为概率，评分在“90分及以上”确定为“足球迷发烧友”，现从“足球速发烧友”中按分层抽样抽取5人，则从评分在区间的“足球速发烧友”中抽取3人，记为A，B，C，从评分在区间的“足球速发烧友”中抽取2人，记为a，b．从5人中选取2人作进一步的访谈的所有事件为：AB，AC，BC，Aa，Ba，Ca，Ab，Bb，Cb，ab，共10个基本事件，这两人中至少有1人的评分在区间的基本事件有：AB，AC，BC，Aa，Ba，Ca，Ab，Bb，Cb，共9个基本事件，则选取的2人中至少有1人的评分在区上的概率．21．已知直线与椭圆相交于，两点，且线段的中点．(1)求直线的方程；(2)求的面积．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由题意利用点差法确定直线的斜率，然后求解直线方程即可；（2）首先求得弦长，然后求得三角形的高，最后计算其面积即可．【详解】（1）由斜率公式可知，设 代入椭圆方程得到： 化简得到 所以直线方程为，所以直线的方程为．（2）将直线方程与椭圆方程联立，可得， 由弦长公式得到，再由点到直线的距离公式得到坐标原点到直线的距离，所以的面积．22．已知函数．(1)证明：函数的图象与直线只有一个公共点；(2)证明：对任意的，；(3)若恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【分析】通过构造函数判断单调性，证明方程只有一个根即可.利用第（1）问结论通过换元法和对数的运算即可证明不等式.结合小问（1）求证，分离参数构造函数通过单调性证明恒成立.【详解】（1）要证函数的图象与直线只有一个交点，只需证方程只有一个根，即证只有一个根，即证只有一个根．令，，则．当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，．恒成立，当且仅当时，，方程只有一个根，即函数的图象与直线只有一个公共点．（2）由（1）知：即恒成立（在时等号成立）．，，即，，，，即．（3）解法一：因为恒成立，令，则，所以．下面证明时原不等式成立，由（1）知：恒成立，即恒成立，故只要证恒成立，即证，记，则，由，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，故当时原不等式成立，综上，的取值范围是．解法二：因为，即恒成立，所以，令，则记，同解法一知：当时，即时，，故，综上，的取值范围是．【点睛】分离参数通过导数判断函数单调性是解决方程的根和证明不等式非常有效的手段.注意小问与问题之间的联系，巧妙的换元和构造可以减少非必要的化简和运算.必要时可以使用特值法探路，大胆假设，利用函数与导数的关系进行证明.