2023届吉林省四平市第一高级中学高三上学期第一次月考数学试题（解析版）

2023届吉林省四平市第一高级中学高三上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】求出集合MN中元素范围，再通过交集的概念求解即可.

【详解】

,

则

故选：B

2．已知命题，．（    ）．

A．p为真命题，，

B．p为假命题，，

C．p为真命题，，

D．p为假命题，，

【答案】C

【分析】先根据当时，，得到p为真命题，再把特称命题进行否定，变为全称命题即可.

【详解】当时，，则p为真命题，又特称命题的否定为全称命题，把存在改为任意，把结论否定，

所以命题，的否定为，.

故选：C．

3．若函数，且，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用换元法求出的解析式，然后可得答案.

【详解】因为，所以令，则，

所以，所以，

因为，所以，

故选：B.

4．已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据“”是“”的充分不必要条件，转化为AB，利用集合之间的包含关系，即可求出的取值范围.

【详解】解：，解得，即，

若“”是“”的充分不必要条件，则AB，

且等号不同时成立，解得，

所以的取值范围为，

故选：A.

5．已知实数,若,则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由不妨取特殊值将选项A,B,C排除,关于D,由,即有,取倒数即可证明选项正误.

【详解】解:由题知,

不妨取

则有,

,

故选项A,B错误;

关于选项C,

不妨取

,

故选项C错误;

关于选项D,

,

,

故选项D正确.

故选:D

6．已知函数是定义在上的奇函数，若当时，，则满足的的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先根据奇函数的性质，求出的值，再结合解析式，判断出单调性，然后利用奇偶性以及单调性即可求解.

【详解】因为是定义在上的奇函数，则必有，代入中，得.

又因为当时，均为减函数，则为上的减函数，

由奇函数对称性可知，当时，也是减函数，则在上为减函数.

由可得，，即，因为

在上为减函数，则有，解得，即.

故选：D

7．如图，正方形是一个展览厅的俯视图，是办公区域，，的面积为，则办公区域面积的最小值为（    ）

A． B．2 C． D．3

【答案】A

【分析】假设，由的面积为得到，从而利用割补法求得关于的关系式，利用基本不等式求得的最值，由此得解.

【详解】设，则由得，故，

所以办公区域的面积为，

当且仅当，即时，等号成立，

所以，即面积的最小值为.

故选：A.

8．函数的大致图像为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用函数奇偶性、特殊点的函数值、解不等式以及导数来研究函数图像进行判断.

【详解】因为函数，定义域为，

又，

所以为偶函数，故B错误；

由得，，

同理，由得，或，故C错误；

因为，，

所以，故D错误；

因为函数，定义域为，

且当时，，，

由有，，

同理，由，解得，

所以当时，在单调递增，在上单调递减，

又，所以A正确.

故选：A.

9．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收．”《增广贤文》是勉励人们专心学习的．如果每天的“进步”率都是1％，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1％，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20％，那么“进步”的是“退步”的1000倍需要经过的时间大约是（参考数据：1g 2≈0.3010，lg 3≈0.4771）（    ）

A．15天 B．17天 C．19天 D．21天

【答案】B

【分析】设大约用x天，根据题意得到，利用对数运算求解.

【详解】解：设大约用x天，“进步”的是“退步”的1000倍，

由题意得，即，

所以，

故选：B

10．已知函数，若对于任意，都有，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．0

【答案】B

【分析】依题意等价于，

令，则在单调递增，再利用一元二次函数的单调性进行求解.

【详解】因为，所以

可化为，

即，

令，

即在单调递增，

当时，在单调递增，

当时，则或，

解得或，

综上所述，，即的最小值为.

故选：B.

11．定义在上的奇函数满足，且当时，，则（    ）

A．2 B．0 C． D．

【答案】D

【分析】先由题设条件得到，利用换元法结合得到，从而证得是的周期函数，再利用赋值法得到，从而求得，由此求得.

【详解】因为是定义在上的奇函数，

所以，

令，则，故，

又因为，则，所以，

故，即，

所以是的周期函数，

故，

因为，令，得，则，

又因为，令，得，

因为当时，，

所以，得，故，

所以，则.

故选：D.

12．设函数，若不等式恰有三个整数解，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意可得成立，作出两个函数的图象，结合数形结合的思想可得解之即可.

【详解】由，可得，令，，

由题意知恰有三个整数解，使得成立，

直线恒过点，且斜率为，

作出函数，的图象，如图，

结合图象，可得解得，

即的取值范围是.

故选：C.

二、填空题

13．设函数，则______．

【答案】

【分析】根据分段函数解析式以及对数、指数运算求得正确答案.

【详解】，

所以.

故答案为：

14．若函数的定义域为，则的取值范围是______．

【答案】

【分析】对数式真数恒大于零，分和两种类型解的取值范围.

【详解】函数的定义域为，即恒成立，

当时，符合题意；

当时，有，解得.

综上可得的取值范围是.

故答案为：.

15．已知正数，满足①，②两个条件中的一个，则的最小值为______.

【答案】选①：；选②：

【分析】根据所选条件利用基本不等式计算可得.

【详解】解：因为，，

若选①，由，可得，

因为，所以，所以，当且仅当，即、时取等号；

若选②，，可得，所以，

当且，即，时等号成立；

故答案为：选①：；选②：

16．设表示，两者中较小的一个，表示，两者中较大的一个.若函数在上有最大值，则m的取值范围为________.

【答案】

【分析】作出图像后数形结合求解

【详解】作出三个函数图像，

由题意得，

若在上有最大值，而，令得，

数形结合可得当时，在上有最大值，

故答案为：

三、解答题

17．已知，且.

(1)求的最小值.

(2)是否存在正实数，使得？请说明理由.

【答案】(1)；

(2)不存在，理由见解析．

【分析】(1)根据，结合基本不等式即可求出最小值；

(2)利用常用不等式可得，利用该不等式求出的最小值，从而可作出判断．

【详解】（1）∵都为正数，且，

∴，

当且仅当，即时，等号成立，

∴的最小值为；

（2），

即，即，

，

当且仅当2x＝y时取等号，故不存在正实数，使得﹒

18．已知命题：“实数满足”，命题：“，都有意义”．

(1)已知，为假命题，为真命题，求实数的取值范围；

(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将代入，化简、，然后根据为假命题，为真命题，列出不等式，即可得到结果.

（2）先根据条件化简、得到，然后根据是的充分不必要条件，列出不等式，即可得到结果.

【详解】（1）当时，由，

得，即：若为真命题，则；

若为真命题，即恒成立，

则当时，满足题意；

当时，，解得，

故．

故若为假命题，为真命题，

则，解得，

即实数的取值范围为．

（2）对于，且．

对于，，则：或．

因为是的充分不必要条件，

所以，解得．

故的取值范围是.

19．已知函数（且）．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)若在上的最大值大于，求的取值范围．

【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减；

(2).

【分析】（1）化简函数得，令，讨论其单调性，根据复合函数的单调性，判断的单调性；

（2）先求在的值域，分，两种情况讨论，求出的最大值，由的最大值大于解不等式得答案.

【详解】（1）当时，的定义域为，

，

令，则，

由得，所以在上单调递减，

由得，所以在上单调递增，

又因为单调递减，

所以在上单调递增，在上单调递减；

（2）由（1）知，，在上单调递减，在上单调递增，

所以在上单调递减，在上单调递增，

又，，，

所以在上的值域为．

当时，在上的最大值为，

即，解得；

当时，在上的最大值为，

即，解得．

综上，a的取值范围为．

20．据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气.漫漫暑期，空调成了很好的降温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定律.如果某物体的初始温度为，那么经过分钟后，温度满足，其中为室温，为半衰期.为模拟观察空调的降温效果，小明把一杯的茶水放在的房间，10分钟后茶水降温至.（参考数据：）

(1)若欲将这杯茶水继续降温至，大约还需要多少分钟？（保留整数）

(2)为适应市场需求，2022年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产千台空调，需另投入成本万元，且已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完.问2022年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大？并求出最大利润.

【答案】(1)13分钟

(2)当该企业该型号的变频空调总产量为30千台时，获利最大，最大利润为3400万元.

【分析】（1）由题意列方程求解

（2）由题意得出利润与的函数关系，结合基本不等式求解最值

【详解】（1）由题意可得，解得.

设经过分钟，这杯茶水降温至，则，

解得（分钟）.

故欲将这杯茶水降温至，大约还需要13分钟.

（2）设2022年该企业该型号的变频空调的利润为，

当时，，

当时，取得最大值3400万元；

当时，，

因为，当且仅当时，等号成立，

则当时，取得最大值3380万元.

因为，所以当该企业该型号的变频空调总产量为30千台时，获利最大，最大利润为3400万元.

21．已知为偶函数，为奇函数，且．

(1)求的解析式；

(2)若对任意的，总存在，使得成立，求n的取值范围．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）利用奇函数和偶函数的性质，联立求解即可.

（2）化简得到，通过恒成立的性质，问题转化为，利用指数函数的单调性，求出，即可得到答案.

【详解】（1）因为为偶函数，为奇函数，且有，

所以，

联立解得．

（2）由已可得对任意的，总存在，使得成立，即对任意的，总存在，使得成立．

因为，所以，

又，

所以，解得，即n的取值范围为．

22．已知函数的图象关于直线对称．

(1)求，的值；

(2)若关于的方程有5个不同的实数解，求的取值范围．

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）由题可得，然后解方程组即得；

（2）令，则关于的方程有5个不同的实数解，进而可得有两个大于0的根，然后构造函数，利用导数研究函数的性质，进而即得.

【详解】（1）因为的图象关于直线对称，

所以，

则，

解得，，

经检验符合题意，所以，；

（2）由题可知，

所以，

令，则关于的方程有5个不同的实数解，

设，则，

即为偶函数，

由题可得，可得，

所以有5个不同的实数解，

等价于有两个大于0的根，即有两个大于0的根，

令，则，

所以当时，，此时单调递减，

当时，，此时单调递增，

所以，即，

所以的取值范围为．

【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法

（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；

（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解；

（3）转化为两熟悉的函数图象的问题.