2023届江苏省盐城市高三上学期12月初调研考试数学试题（解析版）

2023届江苏省盐城市高三上学期12月初调研考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求对数函数的定义域化简集合，再解二次不等式化简集合，从而利用集合的交集运算求得结果.

【详解】因为，所以，得，故，

由得，解得，故，

所以利用数轴法易得.

故选：B.

2．已知正六棱台的上､下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据台体体积公式即可求解.

【详解】设正六棱台的上下底面面积分别为,因为正六边形是由6个全等的等边三角形组成，

所以

所以六棱台的体积.

故选:B.

3．记为数列的前项和，给出以下条件，其中一定可以推出为等比数列的条件是（    ）

A． B． C． D．是等比数列

【答案】A

【分析】用与的关系，求出通项公式，根据等比数列的判定，即可判断正误.

【详解】对于A，已知，所以，

所以是首项为1，公比为2的等比数列，

，符合上式

所以是通项为的等比数列，A选项正确；

对于B，已知，所以，

，不符合上式

所以，B选项错误；

对于C，已知，当首项为零时，不符合题意，C选项错误；

对于D，已知是等比数列，则设的通项公式为

不符合等比数列的通项公式，D选项错误；

故选：A.

4．新冠疫情防控常态化，核酸检测应检尽检！核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时检测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，的数量与扩增次数满足：，其中为扩增效率，为的初始数量.已知某被测标本扩增5次后，数量变为原来的10倍，那么该标本的扩增效率约为（     ）（参考数据：，）

A．0.369 B．0.415 C．0.585 D．0.631

【答案】C

【解析】由，得，由题意可得，从而可求出的值

【详解】解：因为，

所以，

由题意得时，，代入上式得

，所以，

，

，

故选：C

5．已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有根之和等于

A．4 B．5 C．6 D．12

【答案】A

【分析】由题可知函数的图像关于对称，求出时函数的解析式，然后由韦达定理求解．

【详解】因为为奇函数，所以图像关于对称，

所以函数的图像关于对称，即

当时，，

所以当时，

当时，可得

当时，可得

所以的所有根之和为

故选A

【点睛】本题考查函数的奇偶性以及求函数的解析式，解题的关键是得出函数的图像关于对称，属于一般题．

6．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积（    ）．

A．6 B．4 C． D．

【答案】A

【分析】先根据已知条件求出，，利用三角形的内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式求出，再利用正弦定理求出，最后利用三角形的面积公式求的面积即可.

【详解】，

由：，，

，，

.

由正弦定理，得，

解得，

故的面积，

故选：A.

【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式、正弦定理的应用、三角形的面积公式，考查数学运算核心素养.

7．如图所示，边长为2的正△ABC，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧，点P在圆弧上运动，则•的取值范围为（    ）

A．[2，3] B．[4，3] C．[2，4] D．[2，5]

【答案】D

【分析】根据向量数量积的定义，等于乘以在向量上的投影，因为不变，故求的取值范围等价于求向量在向量上的投影的长度取值范围即可.

【详解】解：由题可知，当点P在点C处时，最小，

此时

过圆心O作OPAB交圆弧于点P，连接AP，此时最大，

过O作OG⊥AB于G，PF⊥AB的延长线于F，

则=|AB||AF|=|AB|(|AG|+|GF|)=，

所以的取值范围为[2，5].

故选：D.

【点睛】方法点睛：利用数量积几何意义，将问题转化为投影长度的变化，从而求得取值范围.

8．已知函数，若，其中，则的最小值为

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】通过函数解析式可推得，再利用倒序相加法求得

，得到的值，然后对分类讨论利用基本不等式求最值即可得出答案.

【详解】解：因为，

所以

，

令

则所以

所以，所以，其中，则.

当时

当且仅当 即 时等号成立；

当时

，

当且仅当 即 时等号成立；

因为，所以的最小值为.

故选：A.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

二、多选题

9．已知，，是三条不同的直线，和是两个不重合的平面，则下列说法错误的是（    ）

A．若，，则 B．若，，，，则

C．若，，，则 D．若，，，，则

【答案】ABC

【分析】根据线面平行与垂直的相关知识直接进行判断线线，线面，面面的位置关系即可.

【详解】解：A中，还可能有，，与相交但不垂直.

B中，与可能相交.

C中，还可能有，，与相交但不垂直.

D中，根据，知，又，，故，则，故D正确．

故选：ABC

10．已知函数，则（    ）

A．有两个极值点 B．有三个零点

C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线

【答案】AC

【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.

【详解】由题，，令得或，

令得，

所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；

因，，，

所以，函数在上有一个零点，

当时，，即函数在上无零点，

综上所述，函数有一个零点，故B错误；

令，该函数的定义域为，，

则是奇函数，是的对称中心，

将的图象向上移动一个单位得到的图象，

所以点是曲线的对称中心，故C正确；

令，可得，又，

当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.

故选：AC.

11．已知函数，则下列说法中正确的有（    ）

A．函数的值域为 B．直线是函数图象的一条对称轴

C．函数的最小正周期为 D．函数在上是增函数

【答案】AC

【分析】先对函数化简，然后根据解析式画出函数图像，再利用函数图像和三角函数的性质逐个分析判断即可

【详解】1.当，即时，即

当为偶数时，，

当为奇数时，，

2.当，即时，即，

当为偶数时，，

当为奇数时，，

作出的图像如图所示,

对于选项A：由图知的最大值为2，最小值为1，所以的值域为，故选项A正确；

对于选项B：由图知，不是的对称轴，选项B不正确；

对于选项C：函数的最小正周期为，故选项C正确；

对于选项D：在上不单调递增，故选项D不正确，

故选：AC

12．在数列中，若（，，为常数），则称数列为“开方差数列”，则下列判断正确的是（    ）

A．是开方差数列

B．若是开方差数列，则是等差数列

C．若是开方差数列，则也是开方差数列（，为常数）

D．若既是开方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列

【答案】CD

【分析】根据开方差数列、等差数列的定义判断、是否为常数即可判断A、B正误；C由，应用累加法求得，即可知正误；D令，m为常数，易得，结合开方差数列定义求证是否为常数列.

【详解】A：，故不是开方差数列，错误；

B：不一定为常数，错误；

C：，所以为常数，即为开方差数列，正确；

D：由题意，且，m为常数，则，所以时为常数，则为常数列，当时，，则也为常数列，正确.

故选：CD

三、填空题

13．若复数是纯虚数其中是虚数单位，则__________.

【答案】

【分析】由题知，再结合共轭复数与模的概念计算即可.

【详解】解：复数为纯虚数，

且，解得，

，，

故答案为：

14．已知正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为，且正三棱锥的体积为，则其侧面积为________．

【答案】

【解析】设的中点为M,连接,可知即为侧面与底面所成的二面角.点P在平面上的射影为,.则利用三棱锥的体积可求得,即可求得三角形的面积,进而求得侧面积.

【详解】如图所示,设的中点为M,连接

由正三棱锥的性质可知所以

设点在平面上的射影为,则H是CM靠近M的三等分点,设

则,在直角三角形中,

故三棱锥的体积为

解得,则

故

所以三棱锥的侧面积为

【点睛】本题考查了三棱锥的体积应用,三棱锥表面积的求法,二面角的应用,属于中档题.

15．“康托尔尘埃”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：在一个单位正方形中，首先，将正方形等分成个边长为的小正方形，保留靠角的个小正方形，记个小正方形的面积和为；然后，将剩余的个小正方形分别继续等分，分别保留靠角的个小正方形，记所得的个小正方形的面积和为；……；操作过程不断地进行下去，以至无穷，保留的图形称为康托尔尘埃．若，则需要操作的次数的最小值为______．

【答案】

【分析】分别求出，进而可得，可得是等比数列，再利用等边数列求和公式求，利用单调性解不等式即可得答案.

【详解】是个边长为的小正方形面积之和，所以 ，

是个边长为的小正方形面积之和，所以；

是个边长为的小正方形面积之和，所以；

所以，

所以是首项为，公比为的等比数列，

所以，

所以即，

所以，

因为在上单调递减，

而不成立，

，即，

所以需要操作的次数的最小值为次，

故答案为：.

四、解答题

16．在①；②；③面积，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答问题．

问题：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角，a＝6，，且        ，求△ABC的周长．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】答案不唯一，具体见解析

【分析】若选①，由，得，再利用余弦定理得解

若选②，由正弦定理化简得，得到△为等边三角形得解．

若选③，利用面积公式．再利用再利用余弦定理得解

【详解】解：

，代入，得，又为锐角，故．

若选①，，由，得．

又，即，，得．

∴△周长为．

若选②，，即．

化简得，即，解得．

故，此时△为等边三角形，周长为．

若选③，，得．

又，即，，得．

∴△周长为．

【点睛】熟练掌握正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是解题关键.

17．已知公差不为0的等差数列中，，是和的等比中项.

(1)求数列的通项公式：

(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设数列的公差为，根据等比中项列出方程求得即可得到通项公式.

（2）由题意计算出在中对应的项数，然后利用分组求和即可.

【详解】（1）设数列的公差为，因为是和的等比中项，

则且

则或（舍）

则，

即通项公式

（2）因为与（，2，…）之间插入，

所以在数列中有10项来自，10项来自，

所以

18．1.已知.

(1)求函数的对称中心和单调增区间；

(2)将函数的图象上的各点___________得到函数的图像，当时，方程有解，求实数a的取值范围.

在以下①､②中选择一个，补在（2）的横线上，并加以解答，如果①､②都做，则按①给分.

①向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半；②纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的一半，再向右平移个单位.

【答案】(1)对称中心是，单调增区间为，

(2)选①②答案相同，均为

【分析】（1）根据向量的数量积定义计算出，再求解对称中心和递增区间；（2）根据伸缩变换和平移变换得到的解析式，再求解的值域，进而求出数a的取值范围.

【详解】（1）∵，

故函数的对称中心是，；

单调增区间为，.

（2）选①，则可得的图象.

当时，，，则，若方程有解，则.

选②，则可得的图象，

当时，，，则，若方程有解，则.

19．已知数列中,,．

(1)求证:是等比数列,并求的通项公式;

(2)设求数列的前项的和．

【答案】(1)证明见解析,

(2)

【分析】(1)计算得出,结合等比数列的定义可证得数列为等比数列,确定该数列的首项和公比,即可求得数列的通项公式;

(2)化简数列的通项公式,利用裂项相消即可求得

【详解】（1）证明:

,

,

故数列是以为首项,4为公比的等比数列,

,

即．

（2）由题知

,

,

故.

20．如图，半圆所在的平面与矩形所在平面ABCD垂直，P是半圆弧上一点（端点除外），AD是半圆的直径，AB=1，AD=2．

(1)求证：平面PAB⊥平面PDC；

(2)是否存在P点，使得二面角的正弦值为?若存在，求四棱锥P- ABCD的体积；若不存在，说明理由，

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据矩形性质和面面垂直性质定理可证平面，结合直径所对圆周角为直角可证平面，然后由面面垂直判定定理可证；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法可得二面角为正弦值为时点P坐标，然后计算可得体积.

【详解】（1）在矩形中，，

又平面平面，平面平面平面，

所以，平面，

又平面，所以，

P是为直径的半圆上一点，所以，

又平面，

所以，平面，

又平面，则平面平面

（2）取中点E，以的中点O为坐标原点，为x轴，为y轴建立如图所示空间直角坐标系，由平面平面可知，半圆在平面平面内，设，

则，又，

由（1）可知，平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，又，

则，取，则，

设二面角的大小为，

若，则，又，

所以，，又，

得

所以，四面体的体积

21．设函数，其中.

（1）若，证明：当时，；

（2）若在区间内有两个不同的零点，求a的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）由得在上为增函数，则从而得证.

（2）即在区间内有两个不同的实数根,设求出的导数，研究出的单调性，从而可得答案.

【详解】（1），

由，得，

则，即在上为增函数.

故，即.

（2）由，得.

设函数，

则.

令，得.

则时，时，，

所以在上单调逼增，在上单调减.

又因为，

所以当时，方程在区间内有两个不同解，

即所求实数a的取值范围为.

【点睛】本题考查利用导数证明不等式和利用导数研究零点问题，考查等价转化的能力，属于中档题.

五、双空题

22．已知函数 ， 则 的单调递增区间为________； 若对任意的， 不等式 恒成立， 则实数 的取值范围为________．

【答案】     (填亦可)    

【分析】求出函数导数，利用导数求函数单调区间，不等式恒成立可分离参数后求函数的最小值，令换元后可根据单调性求最值.

【详解】,

令,

可得的单调递增区间 (或亦可);

可化为.

令==，

设，则，

由在上单调递增可知，

，

则，

故解得.

故答案为：(填亦可)；