2023届江西省抚州市金溪县第一中学高三上学期11月段考数学（理）试题（解析版）

这是一份2023届江西省抚州市金溪县第一中学高三上学期11月段考数学（理）试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】通过解一元二次不等式求得集合A，通过求指数型函数的值域求得集合B，再求其交集即可.
【详解】由题意得，
，，
∴，
故选：A．
2．命题“所有能被4整除的整数都是偶数”的否定是（ ）
A．所有不能被4整除的整数都是偶数B．所有能被4整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被4整除的整数是偶数D．存在一个能被4整除的整数不是偶数
【答案】D
【分析】全称量词命题的否定是一个存在量词命题，根据全称命题的否定方法，可得到结论．
【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，且只否定结论，所以“所有能被4整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被4整除的整数不是偶数”．
故选：D．
3．若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则a＝（ ）
A．1B．－1C．－3D．－4
【答案】A
【分析】利用复数的除法得到的代数形式，再根据复数的类型列式求解即可．
【详解】，
由题意得，z的实部为0，
∴，∴．
故选：A．
4．已知向量， ，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】根据得到的方程求解即可．
【详解】解：由题意得，，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
5．函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数奇偶性，描点即可解决.
【详解】的定义域为，
，
∴为奇函数，图象关于原点对称，排除D；
，排除B；
，排除C．
故选：A.
6．中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里路，则该马第六天走的里程数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依题意可得该马第天走的里程数构成公比为的等比数列，根据等比数列求和公式求出，再根据等比数列通项公式计算可得.
【详解】解：由题意得，该马第天走的里程数构成公比为的等比数列，
则，解得，故该马第六天走里路．
故选：C．
7．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题干等式根据辅助角公式化简求得，再将原式用诱导公式和二倍角公式变形后将其代入计算即可.
【详解】∵，
∴，
∴，
故选：D．
8．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，则
【答案】C
【分析】利用正方体模型举反例排除A，B，D，再根据线面平行性质定理判断C.
【详解】如图，令，， 平面，满足，，此时，故A错误；令，，平面，满足，，此时，故B错误；由线面平行的性质知，，故C正确；令，平面，平面，满足，，此时不成立，故D错误．
故选：C．
9．若正实数x，y满足，则（ ）
A．有最小值8B．有最小值9C．有最大值8D．有最大值9
【答案】B
【分析】根据条件将化为，所以可看成，化简后利用基本不等式求出式子的最小值即可.
【详解】由得，
则，
当且仅当时等号成立，
故有最小值9．
故选：B.
10．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列四个条件中能够使角A被唯一确定的是（ ）
①；②；③，；④，b＝2，．
A．①②B．②③C．②④D．②③④
【答案】B
【分析】利用同角三角函数的基本关系，三角函数的图像与性质以及正弦定理，再结合三角形的图象逐项检验即可求解.
【详解】对于①，则或，故①不满足题意；对于②，则，故②满足题意；对于③，，则，，，∵，∴，∴，则角被唯一确定，故③满足题意；对于④，，，∵，∴如图所示，角不唯一，故④不满足题意．
故选：B．
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为B．的最大值为2
C．在上单调递增D．在上有4个零点
【答案】D
【分析】先分和两种情况对函数化简，然后画出函数图象，再根据图象逐个分析判断.
【详解】；
当时，，
当时，，
作出函数的图象如图所示，观察可知，函数的最小正周期为，故A错误；
函数的最大值为，故B错误；
函数在上先增后减，故错误；
与轴在上有4个交点，故D正确．
故选：D．
12．若函数与的图象存在公共切线，则实数a的最大值为（ ）
A．B． C．D．
【答案】A
【分析】由导数的几何意义将公共切线的斜率分别由两函数上的切点横坐标表示，并据此建立关系，将a由切点坐标表示，进而将a转化为关于的函数，通过求导求其最大值.
【详解】由题意得，，．
设公切线与的图象切于点，
与的图象切于点，
∴，
∴，∴，
∴，∴．
设，则，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，
∴实数a的最大值为，
故选：A．
二、填空题
13．记函数的导函数为，且溥足，则＝______．
【答案】##1.5
【分析】首先对函数求导，将代入导函数中，求解的导函数值，进而求得，最后代入求解即可.
【详解】由题意得，，
∴，解得，
∴，∴．
故答案为：
14．若向量，满足，则_________________．
【答案】
【分析】由得，经平方后转化为数量积求解.
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
15．已知数列的前n项和为，且成等差数列，若，则使得，同时成立的k的值为_________________．
【答案】7
【分析】先由与的关系推导出数列为等差数列，再代入等差数列的通项公式及前n项和公式，列方程组求解k即可.
【详解】
，
即，
又成等差数列，
即，
故数列是公差为1的等差数列，
则，解得，．
故答案为：7.
16．如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是的正三角形．若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为______．
【答案】
【分析】根据圆锥轴截面的形状以及长度，求得圆锥的底面半径、母线以及高，利用三角形相似，求得其内接圆柱体的高和半径的关系.
【详解】
由已知得，该圆锥的轴截面为面积是的正三角形，因为圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，故可得圆锥的底面半径，母线长，则圆锥的高，
根据题意，设该圆锥内接圆柱的底面半径为，高为，
则由可得，即，则，
故该圆柱的体积，
令，则，
则当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
故，故圆柱体积的最大值为.
故答案为：.
三、解答题
17．已知函数（其中A>0，，）的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将的图象向右平移2个单位长度，再将所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．求函数的值域．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由最大值和最小值确定，由周期确定，由最小值点确定值得函数解析式；
（2）由图象变换得出的表达式，由整体思想结合正弦函数性质得值域．
【详解】（1）由图知，，，解得，
即．
由图知，函数的图象过点，∴，
∵，∴，∴．
（2）由题意得，．
∵，∴，∴，
即函数的值域为．
18．已知等差数列的前n项和为，其中，；等比数列的前n项和为，其中，．
(1)求数列，的通公式；
(2)记，求数列的前n项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】(1)根据条件分别求出等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，再利用数列的通项公式即可求解；
(2)利用等比数列和等差数列的前项和公式进行分组求和即可得出结果.
【详解】（1）记等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
由题意得，，解得，∴，
∴．
∵，∴，
∴．
（2）由（1）得，，，
∴，
∴
∴．
19．已知函数．
(1)求在区间上的最大值；
(2)设函数，其中，若对任意，在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）化简可得，由对数函数单调性计算即可得出结果.
（2）由题意得，，由在上单调递增,只需成立，计算即可得出结果.
【详解】（1）∵，
又在上单调递增，∴当时，有最大值3．
（2）由题意得，.
因为，，所以在上单调递增，
所以，当时，取得最小值；当时，取得最大值.
所以原题可转化为任意，成立，
即，即，
∴，∴恒成立，
又，则，
∴，即a的取值范围为．
20．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，求周长的取值范闱．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边角互化后变形整理可求；（2）理由正弦定理分别表示出，然后运用辅助角公式整理化简后可求.
【详解】（1）由正弦定理得，
整理得，
即，
∵，，角B为锐角，∴．
（2）由正弦定理，
可得，，
∴
．
∵是锐角三角形，
∴，解得，
∴，
∴，
∴，即，而，
∴周长的取值范围为．
21．如图,在三棱锥中,分别为的中点,且,平面．
(1)求证:;
(2)若,,求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)根据,为的中点,可判断,根据平面,有,可证明平面,进而可证;
(2)根据题意建立合适的空间直角坐标系,根据长度关系求出各个点的坐标,求出平面及平面的法向量,通过求法向量夹角的余弦值的绝对值,进而求二面角的正弦值即可.
【详解】（1）证明:是的中点,且,
,
即,
平面,
,
又平面,平面,
平面,
平面,
得证;
（2）由(1)知,平面,平面 ,
所以以为轴,为轴,过点垂直于平面的直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
,,
则,,,, ,
,,, ,
设平面的法向量为,
则,即,
令,得．
设平面的法向量为,
则,即,
令,得,
所以二面角的余弦值的绝对值为
,
故二面角的正弦值为．
22．已知函数．
(1)求的极值；
(2)判断函数的零点个数，并说明理由．
【答案】(1)极大值为，极小值为
(2)一个零点，理由见解析
【分析】（1）首先求函数的导数，判断函数的单调性后，求函数的极值；
（2）首先求函数的导数，并设其中一部分为函数，根据判断函数的单调性，以及零点，得到函数的单调性，并判断出函数的极大值小于0，以及结合零点存在性定理，判断函数的零点个数.
【详解】（1），
令，解得或，令，解得，
则函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
∴在处取得极大值，在取得极小值，
∴的极大值为，极小值为．
（2）由题意得，，定义域为，
∴．
设，∴，∴在上单调递增，
∵，，∴存在唯一，使得，
即，，，
当时，，即，当时，，即，
当时，，即，
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，取得极大值，且极大值为
．
设，易得在上单调递减，
∴，∴在上无零点．
∵，，∴在上有且只有一个零点．
综上所述，有且只有一个零点．