2023届江西省丰城中学高三上学期第四次段考数学（文）试题（解析版）

这是一份2023届江西省丰城中学高三上学期第四次段考数学（文）试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由对数型函数的定义域和绝对值不等式知识求得集合与集合，再由集合的基本运算求解.
【详解】根据题意，得，
∴，
又∵，
由得，解得，
∴，
∴.
故选：B.
2．平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用三角函数定义结合诱导公式计算作答.
【详解】依题意，点到原点距离，
所以.
故选：A
3．设m，n是方程的两根，则下面各式值等于8的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用韦达定理求出，然后利用指数幂的运算逐项计算即可求解.
【详解】因为m，n是方程的两根，则有，
对于A，因为，故选项A错误；
对于B，因为，故选项B正确；
对于C，因为，故选项C错误；
对于D，因为，故选项D错误，
故选：B.
4．已知非零向量的夹角正切值为，且，则（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】D
【分析】先求出非零向量的夹角余弦值，再利用向量数量积的运算律和定义处理
，即可得到答案.
【详解】解析 设，的夹角为，由得.
因为，所以，
得，解得或（舍去）.
故选：D.
5．已知空间向量满足 ， ， ， ，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据得到，两边平方，利用向量数量积公式求出.
【详解】因为，所以，则，
即，从而，
解得：.
故选：D
6．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为α，大正方形的面积为，小正方形的面积为，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设大正方形的边长为，则直角三角形的两直角边分别为，分别求出，再根据可求得，再根据即可得解.
【详解】解：设大正方形的边长为，则直角三角形的两直角边分别为，
故，
则，所以，
又为锐角，则，
所以.
故选：A.
7．设是偶函数，且当时，是严格单调函数，则满足的所有x之和为（ ）
A．B．3C．D．8
【答案】C
【分析】则题意可得在和上严格单调，由可得或，即有或，利用韦达定理求出这两个方程的四个根的和即可.
【详解】解：因为是偶函数，
所以，
又因为当时，是严格单调函数，
所以当时，也是严格单调函数，
因为，
所以或，
即有或，
设方程的两根为，
则有，
设方程的两根为，
则有，
所以.
故选：C.
8．定义在上的函数满足，且在单调递增，，，则函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分析的对称性、单调性、零点，求得的对称性（奇偶性）、零点，结合的单调性、零点以及特殊点的函数值判断出函数的图象.
【详解】，所以的图象关于直线对称，
则的图象关于直线即轴对称，是偶函数，
为偶函数，图象关于轴对称，
所以是偶函数，图象关于轴对称，排除AD选项.
，
由于在上递增，在上递减，
所以有且仅有个零点：和，另外有，
所以有且仅有个零点：和，
有唯一零点：，
所以有且仅有个零点：、和.
当时，，，
从而排除C选项，
故B选项正确.
故选：B
9．已知满足，且当时，，则曲线在点处的切线方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据判断函数的奇偶性，再根据奇偶性和x＜0时的解析式，求出f(x)在x＞0时的解析式，再根据导数的几何意义即可求解．
【详解】已知满足，∴为奇函数，
当时，，因此，
则x＞0时，，
曲线在点处的切线斜率，
又，
∴曲线在点，即(1，0)处的切线方程为，
整理得﹒
故选：C．
10．设函数，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论中，正确结论的编号是（ ）
①在有且仅有3个极大值点
②在有且仅有2个极小值点
③在单调递增
④的取值范围是
A．①④B．②③C．①②③D．①③④
【答案】A
【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得，结合正弦函数得图象分析得出答案.
【详解】当时，，
在有且仅有5个零点，
，
，故④正确；
由，知时，
令时取得极大值，①正确；
极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，
当时，，
若在单调递增，
则 ，即 ，
，故③不正确．
故选：A.
11．若，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先将三个式子的形式化得相同，然后构造函数根据函数的单调性判断即可.
【详解】依题意：，
由单调递增，故只需比较的大小即可；
又
故选:B
12．若对任意正实数x，y都有，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】将不等式变式为，设后转化为恒成立，只需求函数的最大值即可.
【详解】因为，
所以，设，
则，，
令
恒成立，故单调递减，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；.
故
所以，得到.
故选:A.
二、填空题
13．如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB是大正方形的一条边，是小正方形的其余各个顶点，则的不同值的个数为___________.
【答案】3
【分析】根据向量数量积的几何意义，只需分析在上的投影即可.
【详解】，
表示在上的投影，
由图，在上的投影相同，
在上的投影相同，
在上的投影相同，所以的不同值有3个.
故答案为：3.
14．设为实常数，.若是的必要非充分条件，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【分析】先分类讨论解不等式，再通过是的必要非充分条件列不等式求实数的取值范围.
【详解】对于，
当时，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
综合得
即，
对于，变形得，
解得或
即：或
因为是的必要非充分条件
可得，解得
即实数的取值范围为
故答案为：
15．在中，为边上任意一点，为的中点，且满足，则的最小值为________.
【答案】##
【分析】根据向量的加减法，可得，利用换元法，整理函数关系，利用二次函数的性质，可得答案.
【详解】由为边上任意一点，则，
，
可得，则，即，由，可得，则，
故，
当时，取得最小值为.
故答案为：.
16．已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为______．
【答案】4
【分析】先将题给条件转化为有三个不同的零点，，，且，再转化为有二根，且，进而利用根与系数关系求得的值
【详解】，又，
则有三个不同的零点，，，且，
令，则，
当时，单调递减；当时，单调递增
则在时取得最大值，时，
令，则
则必有二根，且
则
则有一解，有二解且
故
故答案为：4
三、解答题
17．已知是定义在上的奇函数，且
(1)求的解析式；
(2)记的值域为集合A，集合，若，求m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由求得，进而求得.
（2）根据函数值域的求法求得，根据列不等式，从而求得的取值范围.
【详解】（1）由于是奇函数，且，
所以，解得，经检验成立，所以.
（2）由（1）得，
，
当时，，
，当且仅当时等号成立，
所以.
当时，，
当且仅当时等号成立，
所以，
综上所述，的值域
又，所以，解得，
所以的取值范围是.
18．已知向量，，且，且，
(1)若与夹角，求；
(2)记，是否存在实数，使，对任意恒成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)1
(2)存在，
【分析】（1）利用平方的方法化简已知条件，从而求得的值.
（2）由构造函数，结合函数的单调性列不等式，从而求得的取值范围.
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
即，
得.
（2）由（1）中，
且对恒成立，则有：，
令，由函数的单调性可知：，
即，解得，即.
19．“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦田里玩，几千几万的小孩子，附近没有一个大人，我是说，除了我．”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块平面四边形的麦田里成为守望者．如图所示，为了分割麦田，他将B，D连接，经测量知，．
(1)霍尔顿发现无论多长，都为一个定值，请你证明霍尔顿的结论，并求出这个定值；
(2)霍尔顿发现小麦的生长和发育与分割土地面积的平方和呈正相关关系，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值．
【答案】(1)证明见解析，；
(2).
【分析】（1）在和中，利用余弦定理即可计算推理作答.
（2）由（1）的结论，利用三角形面积定理列出函数关系，结合二次函数最值求解作答.
【详解】（1）在中，由余弦定理得：，
即，
在中，，即，
因此，即，
所以．
（2）显然，，
于是得，由（1）知，
因此，
在中，，在中，，则，
由，得，即有，
从而当时，，所以的最大值是．
20．已知.
(1)求的值；
(2)若，，，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据二倍角公式和诱导公式化简，再根据同角的平方关系构造“齐次分式”，即可求解.
(2)根据题目条件，求出，根据，精确的范围，再根据正切的和差公式，即可求解.
【详解】（1）∵，
∴，∴，
∴
.
（2）∵，∴，
∴，
又∵，，，
∴，，∴.
21．已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)若，其中，求函数的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由函数图象可得，从而得到，分与两种情况，代入特殊点的坐标，求出相应的与，舍去不合要求的解，得到，，得到函数解析式；
（2）利用三角函数恒等变换得到，从而利用整体法求解函数的值域.
【详解】（1）由得：，
当得，，
又，所以，（舍去）；
当时，，，
又，所以，又，
所以．
（2）由题意得：，
故
，
又，所以，．
，即函数的值域为．
22．已知函数．
(1)若，讨论函数的单调性；
(2)若时，，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据函数的导数讨论函数的单调性.先求出导函数，讨论参数范围，得到函数的单调区间；（2）由不等式在时恒成立，可以将参数分离得到，构造函数，通过导函数求函数在上的最小值来求得；也可将其变形得到，进而分析求解.
【详解】（1）函数的定义域为R，由．
得．
若，则，函数在R上单调递增．
若，则时，，
即函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．
若，则时，时，
即函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．
综上所述，当，则，函数在R上单调递增；当，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；当，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．
（2）方法一：当时，，
所以，
令，则；
令，则，
所以在上单调递增，
又，，
所以，使得，
则当时，，即；
当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
由得：，则，
所以，
又在上单调递增，
所以，，所以，
所以，解得，即实数a的取值范围为．
方法二：
先证明．设，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，当且仅当时等号成立，
设，则，
当且仅当时等号成立，
设，则在上单调递增，
且，，
所以存在使成立，所以，
所以，．
【点睛】在根据不等式在区间上恒成立求解参数时，可以将参数分离构造不等式恒成立，将不等式另一边构造为函数，通过导函数求函数在区间上的最小值来求得.