2023届江西省名校联盟高三上学期11月阶段联考检测数学试题（解析版）

这是一份2023届江西省名校联盟高三上学期11月阶段联考检测数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，，，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先解出集合，再算，最后计算即可.
【详解】因为
所以
所以
故选：A.
2．设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则（ ）
A．0B．C．1D．
【答案】C
【分析】根据复数的乘方和乘法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得出答案.
【详解】解：，
则，
因为复数在复平面内对应的点位于实轴上，
所以，解得.
故选：C.
3．若变量满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】B
【分析】作出可行域，表示可行域内点和点所在直线的斜率的2倍，结合图象即可得解.
【详解】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得，即，
表示可行域内点和点所在直线的斜率的2倍，
由图可知，当点为于时，斜率最大，
所以的最大值为.
故选：B.
4．设，是两个不同的平面，m是一条直线，给出下列命题：①若，，则；②若，，则.则（ ）
A．①②都是假命题B．①②都是真命题
C．①是假命题，②是真命题D．①是真命题，②是假命题
【答案】D
【分析】根据面面垂直的判定定理即可判断①；根据线面垂直和面面垂直的性质即可判断②.
【详解】解：对于①，若，，则，故①是真命题；
对于②，若，，则或，故②是假命题.
故选：D.
5．设平面向量，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据，可得，从而可求出，再根据向量的模的计算公式计算即可.
【详解】因为，所以，即，解得，
即，则，
所以.
故选：B.
6．设，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要
【答案】B
【分析】举例说明充分性不满足，由两角和的平方关系说明必要性成立，从而得答案.
【详解】解：当时，满足，但，
所以充分性不满足；
当时，由，可得，所以必要性满足；
所以是的必要不充分条件.
故选：B.
7．函数的导数为，若方程有两个不同的实数根，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求导数为，若方程有两个不同的实数根，即转换为直线与函数有两个交点，确定函数的取值情况，即可求得实数a的取值范围.
【详解】解：因为，则
方程为，即
令，，所以
又函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，又
所以时，，则在上单调递增，时，，则在上单调递减，
又，且，，即在区间上各有一个零点，
若方程有两个不同的实数根，则直线与函数有两个交点，且
所以实数a的取值范围为.
故选：A.
8．已知数列满足，，则=（ ）
A．80B．100C．120D．143
【答案】C
【分析】根据，可得，从而可证得数列是等差数列，从而可求得数列的通项，即可得解.
【详解】解：因为，
所以，即，
等式两边开方可得：，即，
所以数列是以首项为，公差为1的等差数列，
所以，所以，
所以.
故选：C．
9．关于函数，看下面四个结论：①是奇函数；②当时，恒成立；③的最大值是；④的最小值是.其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性即可判断①；举出反例即可判断②；根据即可判断③；根据函数和函数的最小值，即可判断④.
【详解】解：函数的定义域为，
因为，
所以函数为偶函数，故①错误；
对于②，当时，，故②错误；
对于③，，
所以，故③错误；
对于④，因为函数和函数在时，同时取得最小值，
所以，故④正确，
所以正确结论的个数为1个.
故选：A.
10．如图，在体积为6的三棱锥中，PA､PB､PC两两互相垂直，，若点M是底面内一动点，且满足，则点M的轨迹长度的最大值为（ ）
A．6B．3C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可知，点的轨迹为斜边上的高线，即可根据等面积法以及基本不等式求出点的轨迹长度的最大值．
【详解】解：如图所示，过作于，连接.
，，两两垂直，所以平面，又平面
即有，而，平面
所以平面，又平面
即，故点的轨迹为斜边上的高线，
因为三棱锥的体积为6，所以，即，
又可得．
当且仅当时取等号．
点M的轨迹长度的最大值为.
故选：C．
11．已知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足，当m取最大值时，点P恰好在以A､B为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，利用两点间的距离公式求出的表达式，结合基本不等式的性质求出的最大值时的点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可.
【详解】解：设，因为是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，
所以，
则，
当时，，
当时，，
当且仅当，即时取等号，此时，
综上当时，取得最大值，
，
点在以为焦点的椭圆上，，
由椭圆的定义得，
所以椭圆的离心率.
故选：D.
12．设函数是定义域为的增函数，且关于对称，若不等式有解，则实数a的最小值为（ ）
A．B．5C．D．6
【答案】B
【分析】由题意令关于对称，有，由此变换化简得，然后由函数是定义域为的增函数得到相应的不等式，分离参数构造新函数，对新函数求导，利用导数来研究最值即可
【详解】设，所以关于对称，
所以
所以
即
令
所以
即
所以
由不等式有解，
即
，
因为函数是定义域为的增函数，
所以成立，
即成立，
即求
设，
所以
令
所以
因为，所以
所以在上单调递增，
又
所以在上存在唯一的零点 满足
此时当时，
当时，
所以在单调递减，在上单调递增
所以
因为，
所以
所以
所以
所以有最小值：5
故选：B.
二、填空题
13．函数在区间上的最小值是___________.
【答案】
【分析】根据余弦函数的性质结合整体思想即可得解.
【详解】解：因为，所以，
所以当时，函数.
故答案为：.
14．已知，，且，，则的值是___________.
【答案】
【分析】由平方关系求得，，再求出即可得解.
【详解】解：因为，，且，，
所以，，且，
则，
所以.
故答案为：.
15．在三棱锥内任取一点P，使得的概率是___________.
【答案】
【分析】求出时，三棱锥的高，过此时的点作平行于底面的截面，要使，则点在三棱锥中，根据体积之比即可得出答案.
【详解】解：设点三棱锥的高为，三棱锥的高为，
则，
若，则，
所以，
过此时的点作平行于底面的截面如图所示，
则点到平面的距离为，
故，
要使，则点在三棱锥中，
所以使得的概率是.
故答案为：.
16．已知，，，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】由，可得，再根据结合基本不等式即可得解.
【详解】解：因为，所以，
则
，
当且仅当时，取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
三、解答题
17．中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16~22日在北京召开，为了更好地深入学习中共二十大会议精神，某市准备从所属的党员中选取一些人员进行二十大宣讲活动.现要调查这些党员对党的“二十大精神的学习和了解情况，故市政府从所有的党员中随机抽取了100名，然后对他们进行二十大相关知识的问答活动，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值；并估计这100名党员的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)在抽取的100名党员中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”.请将下面的列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？（精确到0.001）
参考公式及数据：，其中.
【答案】(1)；估计这100名学生的平均成绩为74
(2)没有的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”．
【分析】（1）利用频率和为1求解值，再由矩形中点的横坐标乘以频率作和可得这100名学生的平均成绩；
（2）由频率分布直方图填写列联表，求出的观测值，结合临界值表得结论．
【详解】（1）解：由题可得，
解得．
，
估计这100名学生的平均成绩为74；
（2）解：由（1）知，在抽取的100名学生中，比赛成绩优秀的有人，
由此可得完整的列联表：
的观测值，
没有的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”．
18．已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若函数在区间上恰有3个零点，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简函数，根据正弦函数图像性质即可得到的单调递减区间，
（2）化简函数，设，使得在区间上恰有3个零点转化成与在上恰好有三个不同的交点的问题，根据单调性和值域，由几何知识得出的关系，进而推出三者的关系，即可求出的值
【详解】（1）由题意， ，
在中，
，
在中，函数在单调递增，
在中，
当即时，
函数单调递减.
∴函数的单调递减区间为：
（2）由题意及（1）得， ，
在中，，
在中，，，
设，则，，
∴在中，
在上函数单调递增，值域为，
在上函数单调递减，值域为，
在上函数单调递增，值域为，
∵函数在区间上恰有3个零点，
∴函数与在上恰好有三个不同的交点
由几何知识得，，关于对称，恰好为一个周期
∴，，
∴
∴，
解得：
∴
19．如图，桌面上摆放了两个相同的正四面体和.
(1)求证：；
(2)若，求四面体的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接与相交于点，证得为的中点，连接，，利用线面垂直的判定定理证得平面，即可得到；
（2）过点分别作，得到分别为和的中心，分别求得的长度，结合平面，及，即可求解.
【详解】（1）证明：因为与共面，所以连接与相交于点，
因为和是相同的正四面体，所以四边形为菱形，则为的中点，
连接，，因为，，所以，
又因为，面，所以平面，所以；
（2）在四边形中，过点分别作，垂足分别为，
如图所示，可得分别为等边和等边的中心，
因为，在等边中，可得，则，，
在直角中，可得，
同理可得，所以，
由（1）知，平面，可得平面，
所以.
20．已知函数.
(1)求函数的图像在处的切线方程；
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得出答案；
（2）要证，即证，令，利用导数分别求出，证明即可.
【详解】（1）解：，
，
则，
所以函数的图像在处的切线方程为，
即；
（2）证明：要证，
即证，
，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
所以，
所以，
即.
【点睛】方法点睛，本题第二问利用凹凸反转法证明不等式，构造函数，只要证明即可得证.
21．如图，椭圆：和圆：，已知椭圆的短轴长为长轴长的一半，且圆的周长为，椭圆的下顶点为E，过坐标原点O且与y轴不重合的任意直线l与圆相交于点A､B，直线EA､EB与椭圆的另一个交点分别是点P､M.
(1)求椭圆的方程；
(2)求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用已知条件，由圆面积求得，再由椭圆的短轴长为长轴长的一半求出，从而求出椭圆方程；
（2）直线斜率存在且不为0，因此可设其方程，代入椭圆方程求得点坐标，得长，同理用代替，可得的长，这样面积可用表示出来，利用换元法以及导数求出最值即可．
【详解】（1）解：圆的半径为，
则，所以，
又椭圆的短轴长为长轴长的一半，
所以，
所以椭圆的方程为；
（2）解：，
由题意知直线PE，ME的斜率存在且不为0，，不妨设直线PE的斜率为，
则．
由，解得或，
∴
得，
用代替，可得，
∴
，
设，由，可得，
当且仅当，即时，取等号，所以，
则，
令，
则，
所以函数在上递增，
所以，
所以，当时，取等号，
所以面积的最大值为.
【点睛】一般直线与圆锥曲线相交问题都是设出交点坐标为及直线方程，由直线方程与圆锥曲线方程联立消法后，可得，然后把整体代入化简得出结论，本题中由于直线与椭圆的一个交点为是已知的，因此设出直线方程后，很容易求出点坐标，再得线段长，另外注意代换法得另一线段长，可减少计算量．
22．已知曲线C的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（为参数）.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A､B两点，且，求直线的倾斜角的值.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由，展开为，利用即可得出直角坐标方程；
（2）将代入圆的方程得化简得，利用弦长公式，化简即可得出．
【详解】（1）解：由，展开为，
又，则方程可化为，
配方得圆的方程为
（2）解：将代入圆的方程得
化简得，
设、两点对应的参数分别为、，则，
所以，
所以，，直线的倾斜角，所以或．
23．已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)若，使得不等式成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分，和三种情况讨论，去绝对值符号，再解不等式即可；
（2）令，，使得不等式成立，只需要即可，分和两种情况讨论，从而可得出答案.
【详解】（1）解：若，，
当时，恒成立，
当时，无解，
当时，，解得，
综上所述不等式的解集为；
（2）解：，使得不等式成立，
即，使得不等式成立，
令，
则只要即可，
当时，，
则，
所以，解得，
当时，，
则，
所以，解得，
综上所述实数a的取值范围为.
优秀
非优秀
合计
男
30
女
50
合计
100
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
优秀
非优秀
合计
男生
20
30
50
女生
15
35
50
合计
35
65
100