2023届江苏省徐州市高三上学期期末模拟数学试题（解析版）

2023届江苏省徐州市高三上学期期末模拟数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】解出对数不等式，化简集合A和集合B即可.

【详解】=，

，

，

故选：D.

2．设复数的共轭复数为，若，则对应的点位于复平面内的（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】利用复数除法运算求得，从而求得，进而确定正确答案.

【详解】依题意，

所以，对应点为，在第三象限.

故选：C

3．已知，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据向量的求模方法求模即可.

【详解】

；

故选：A.

4．等差数列的前项和为，，，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【分析】设出公差，利用等差数列通项公式和求和公式列出方程组，求出公差，得到，进而利用裂项相消法求和.

【详解】设等差数列的公差为，则，

解得：，故，

故，

故.

故选：B

5．如图，有一壁画，最高点A处离地面12m，最低点B处离地面7m.若从离地高4m的C处观赏它，若要视角最大，则离墙的距离为（    ）

A． B．3m C．4m D．

【答案】D

【分析】设离墙的距离为为，求得关于的表达式，结合基本不等式求得取得最大值时的值.

【详解】设离墙的距离为为，

过作，交的延长线于，则，

，

所以

，

当且仅当时等号成立.

由于，所以当最大时，最大，此时.

故选：D

6．已知函数的部分图象如图所示，若把图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据图象确定，求得最小正周期，求出，利用点代入解析式求得，可得的解析式，根据三角函数图象的平移变换即可得答案.

【详解】由图象得,函数的最小正周期T满足 ，

故，

将点 代入函数，即 ，

则，

因为，所以，故函数，

因为将图象上的所有点向左平移个单位得到函数的图象，

所以，

故选：D

7．椭圆：经过点，点是椭圆的右焦点，点到左顶点的距离和到右准线的距离相等.过点的直线交椭圆于 两点（A点位于x轴下方），且，则直线的斜率为（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】C

【分析】由题意确定，即而根据点到左顶点的距离和到右准线的距离相等列式求得a,即得椭圆方程，设直线l的方程，并联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，结合化简，即可求得答案.

【详解】设椭圆：的焦距为，由题意知，

由点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得，

又 ，联立，解得，

∴椭圆C的标准方程为，

由题意可知直线l的斜率一定存在，，

由于，（A点位于x轴下方），可知直线l的斜率，

设直线l的方程为 ，设 ，

联立 ，可得将， ．

则 ，

由，得，即，联立，

解得，代入中，即，

解得，（舍去），

故选：C.

8．设，若函数有且只有三个零点，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】构造函数与，先利用导数研究得的性质，再利用二次函数的性质研究得的性质，从而作出的图像，由此得到，分类讨论与时的零点情况，据此得解.

【详解】令，则，

令，得；令，得；

所以在上单调递减，在上单调递增，故，

又因为对于任意，在总存在，使得，

在上由于的增长速率比的增长速率要快得多，所以总存在，使得，

所以在与上都趋于无穷大；

令，则开口向下，对称轴为，

所以在上单调递增，在上单调递增，故，

.

因为函数有且只有三个零点，

而已经有唯一零点，所以必须有两个零点，则，即，解得或，

当时，，则，

即在处取不到零点，故至多只有两个零点，不满足题意，

当时，，则，所以在处取得零点，

结合图像又知与必有两个交点，故在与必有两个零点，

所以有且只有三个零点，满足题意；

综上：，即.

故选：C.

二、多选题

9．已知变量与具有线性相关关系，统计得到6组数据如下表：

若关于的线性回归方程为，则（    ）A．变量与之间正相关 B．

C． D．当时，的估计值为15.6

【答案】AB

【分析】根据回归方程可判断选项A，由得到的6组数据可计算样本点中心，可判断B，再根据回归直线过样本点中心可判断C，进而可判断D.

【详解】由关于的线性回归方程为，可知变量与之间正相关，即A正确；

由表中数据可知

，故B正确；

因此样本点中心为，将其代入回归方程可得，故C不正确；

因此，关于的线性回归方程为，将代入回归方程可得，，

即当时，的估计值为16；所以D错误；

故选：AB.

10．已知函数的导函数为，则（    ）

A．若在处取得极值，则

B．若函数在上是减函数，则当时，

C．若为偶函数，则是奇函数

D．若是周期函数，则也是周期函数

【答案】ACD

【分析】函数在极值处导函数为0，偶函数的导函数是奇函数，奇函数的导函数是偶函数；周期函数的导函数必然也是周期函数，根据导函数的性质容易得答

【详解】A:根据极值的定义，极值点处导数值为0，A对；

B：反例是减函数，但是故B错；

C：为偶函数，所以

所以是奇函数，C对；

D：是周期函数，若为其一个周期，则，也为周期函数，故D对;

故选：ACD

11．已知函数，则（    ）

A．的最小值为2

B．的图象关于轴对称

C．的图象关于直线对称

D．的图象关于中心对称

【答案】BCD

【分析】选项A, 的值可以为负，所以A不正确；选项B, 为偶函数，其图像关于轴对称，所以B正确；选项C, ，所以的图像关于直线对称，所以C正确；选项D，，所以的图象关于中心对称.所以D正确.

【详解】解：选项A.  当时，的值为负，所以A不正确.

选项B. ，

所以为偶函数，其图像关于轴对称，所以B正确.

选项C.

所以，所以的图像关于直线对称，所以C正确.

选项D，，

，

所以，所以的图象关于中心对称.所以D正确.

故选：BCD

12．如图，矩形中，，边，的中点分别为，，直线BE交AC于点G，直线DF交AC于点H.现分别将，沿，折起，点在平面BFDE同侧，则（    ）

A．当平面平面BEDF时，平面BEDF

B．当平面平面CDF时，

C．当重合于点时，二面角的大小等于

D．当重合于点时，三棱锥与三棱锥外接球的公共圆的周长为

【答案】ACD

【分析】对于A，先利用三角形相似证得，再利用面面垂直的性质定理证得平面，从而得以判断；

对于B，先利用线面垂直推得平面AGH与平面CHG重合，再利用面面平行的性质定理证得，进而推得，从而利用线面平行的性质定理推得，由此得以判断；

对于C，由平面得到二面角为，进而由推得，据此判断即可；

对于D，先分析得三棱锥与三棱锥外接球的公共圆为的外接圆，再由勾股定理证得，从而求得公共圆的直径，由此得解.

【详解】对于A，在矩形中，，是的中点，

所以，，则，

又，所以，则，

所以，则，故，

当平面平面时，如图1，

又因为平面平面，平面，

所以平面，故A正确.

.

对于B，当平面平面CDF，如图1，

由选项A易知在矩形中，，则，

所以在中，，，

同理，则，，

又，，面，

所以面，同理平面CHG，

又因为，所以平面AGH与平面CHG重合，即四边形为平面四边形，

又平面平面CDF，平面平面，平面平面，

所以，又，所以四边形是平行四边形，则，

假设，则四边形为平面图形，

又平面，平面，所以平面，

又平面平面，平面，所以，

又，即，所以四边形是平行四边形，

所以，而，，显然矛盾，故B错误；

对于C，如图2，

由选项B易得平面，

又平面，所以，同理：，

所以二面角的平面角为，

在中，由选项B知，

所以是正三角形，故，即二面角的大小等于，故C正确；

.

对于D，如图2，三棱锥与三棱锥的公共面为面，

所以三棱锥与三棱锥外接球的公共圆为的外接圆，

易知，，，

所以，所以，即为直角三角形，

所以为的外接圆的直径，即，

所以所求公共圆的周长为，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】关键点睛：解答本题关键在于熟练掌握面面垂直的性质定理、线面平行与面面平行的性质定理，能够利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，严密推理；同时对于外接球的公共圆的突破口在于找到两个三棱锥的公共面，从而得解.

三、填空题

13．若双曲线：，的离心率为，则的两条渐近线所成的角等于__________.

【答案】

【分析】根据离心率与的关系以及渐近线方程的表达式即可求解.

【详解】因为双曲线的离心率为，所以，

又因为，所以，解得，

所以双曲线的一条渐近线为，倾斜角为，

所以两条渐近线所成的角等于.

故答案为: .

14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数解析式为__________.

①不是常数函数；②；③.

【答案】（答案不唯一）

【分析】首先理解条件中的性质，再写出满足条件的函数.

【详解】因为，即，所以函数是偶函数，

因为，所以函数关于对称，且函数不是常函数，所以满足条件的函数.

故答案为：（答案不唯一）

15．若的展开式中所有项的系数和为243，则展开式中的系数是___________.

【答案】9

【分析】先赋值，求出，再求出的展开式的通项公式，得到，与的对应项相乘后得到展开式中的系数.

【详解】中令得：，解得：，

的展开式的通项公式为，

当时，，则，

当时，，则，

当时，，不合要求，舍去，

故展开式中的系数为.

故答案为：9.

四、双空题

16．早在南北朝时期，祖冲之和他的儿子祖暅在研究几何体的体积时，得到了如下的祖暅原理：幂势既同，则积不容异.这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等.将双曲线：与，所围成的平面图形（含边界）绕其虚轴旋转一周得到如图所示的几何体，其中线段OA为双曲线的实半轴，点B和C为直线分别与双曲线一条渐近线及右支的交点，则线段BC旋转一周所得的图形的面积是__________，几何体的体积为__________.

【答案】         

【分析】根据题目分析可得，，则线段BC旋转一周所得的图形为圆环面积，可得其面积；根据祖暅定理可知几何体的体积为一个截面积相同的几何体体积加上等高的圆锥体积，即可得.

【详解】解：由双曲线得，则渐近线方程为

所以，则；又，则

则线段旋转一周所得的图形的面积为：；

因为被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总想等，

又双曲线的实半轴，此时截面面积为

所以根据祖暅定理可得：几何体的体积为；

故答案为：；.

五、解答题

17．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.

(1)证明：；

(2)若，，求的面积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由余弦定理和，联立得，结合正弦定理边化角，再将代换为即可求解；

（2）由同角三角函数求出，利用求出，由求出，结合求出，结合第三角公式与和角公式求出，由进而得解.

【详解】（1）在中，由余弦定理及，得，得.

由正弦定理得，因为，

所以，

所以，即.

因为A，B，C是三角形的内角，所以，即；

（2）由（1）可得，因为，所以，

所以，，

，

由正弦定理得，，所以，

所以的面积.

18．已知正项数列的前项和为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)若（其中表示不超过的最大整数），求数列的前100项的和.

【答案】(1)

(2)147

【分析】（1）先应用因式分解求出,再利用即可求出；

（2）根据数列特点采用分组求和法求解.

【详解】（1）因为，所以

又因为为正项数列,所以,可得

当时，，

当时，，

将代入上式验证显然适合，所以.

（2）已知,因为，，，

所以，

所以.

19．如图，四棱锥中，底面，∥，为的中点.

(1)若点M在AD上，，，证明：平面；

(2)若，，求二面角的余弦值.

【答案】(1)见解析；

(2).

【分析】(1) 取中点，连接，则有∥且，由已知条件可得∥且，于是可得四边形是平行四边形，所以∥，即可得证；

(2) 建立空间坐标系，利用空间向量求解.

【详解】（1）证明：如图所示：

取中点，连接，

因为，

所以，

又因为，

所以，

又因为∥，

所以∥，

又因为为的中点，

所以∥且，

即有∥且，

所以四边形是平行四边形，

所以∥，

又因为平面，平面，

所以平面；

（2）解：连接，

因为，

所以为等腰三角形，

取中点，连接，

则有，

又因为∥，

所以，

又因为底面，

所以建立如以为轴，为轴，为轴的空间坐标系，如图所示：

因为，，

则有，，，，

所以，

设平面的法向量为，

则有，所以，

令，

则，

因为底面，

取平面的法向量，

设二面角的大小为(为钝角)，

则有.

20．某棉纺厂为了解一批棉花的质量，在该批棉花中随机抽取了容量为120的样本，测量每个样本棉花的纤维长度（单位：mm，纤维长度是棉花质量的重要指标），所得数据均在区间内，将其按组距为2分组，制作成如图所示的频率分布直方图，其中纤维长度不小于28mm的棉花为优质棉.

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)已知抽取的容量为120的样本棉花产自于A，B两个试验区，部分数据如下2×2列联表：

将2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质棉与A，B两个试验区有关系；

(3)若从这批120个样本棉花中随机抽取3个，其中有X个优质棉，求X的分布列和数学期望.

注：①独立性检验的临界值表：

②，其中.

【答案】(1)

(2)列联表见解析，没有99.9%的把握认为优质棉与A，B两个试验区有关系；

(3)X的分布列见解析，

【分析】（1）利用频率和为1列出关于a的方程，解之即可求得a的值；

（2）先求得抽取的优质棉样本数为30，进而求得非优质棉样本数为90，进而补全表格；求得的值并与进行大小比较即可得到是否有99.9%的把握认为优质棉与A，B两个试验区有关系.

（3）先求得X的各可能取值的概率，进而得到X的分布列；依据数学期望的定义即可求得.

【详解】（1）由，解得

（2）抽取的优质棉样本数为

则非优质棉样本数为90，

则2×2列联表如下：

则没有99.9%的把握认为优质棉与A，B两个试验区有关系.

（3）X的可能取值为0，1，2，3

则，

，

则X的分布列如下：

数学期望.

21．已知椭圆：的离心率为，直线过C的焦点且垂直于x轴，直线被C所截得的线段长为.

(1)求C的方程；

(2)若C与y轴的正半轴相交于点P，点A在x轴的负半轴上，点B在C上，，，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得的方程.

（2），先求得直线的方程，进而求得点的坐标，由求得，进而求得的面积.

【详解】（1）不妨设直线过的右焦点，则直线的方程为，

由，解得，故①，

由于椭圆的离心率②，

由①②解得，

所以椭圆的方程为.

（2）由（1）得，设，

，由于，所以，

所以直线的方程为，

由，消去并整理得，

解得，

由于，所以，则，

，解得.

所以，

而.

22．已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若，证明：.

【答案】(1)当时，单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，单调递增区间为与，单调递减区间为；

当时，单调递减区间为与，单调递增区间为；

(2)详见解析.

【分析】（1），讨论系数是否为0，大于0，小于0三种情况确定单调区间.

（2）转化为证明，用导数求的最小值，当极值点不能求时可用隐零点处理.

【详解】（1），

当时，，

当时，单调递增，

当时， 单调递减，

当时，，

令得，

当或时，单调递增，

当时， 单调递减，

当时，当或时， 单调递减，

当时， 单调递增，

综上：当时，单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，单调递增区间为和，单调递减区间为；

当时，单调递减区间为和，单调递增区间为；

（2）要证，即证 ，

令，，

令，，显然在上为增函数，

所以，在上为增函数，

又 ，

，即 ，

当时， 为减函数，

当时， 为增函数，

，

令，显然在上为减函数，

所以，，

所以，，

即当时，成立.

【点睛】导数证明不等式方法： （1）构造函数：转化为求函数的最值问题；

（2）放缩法：要证，而，只要证明即可，可以通过函数不等式，切线不等式进行放缩.

（3）隐零点法：当导数零点不可求时可先证明零点存在，再用此零点代入求函数最小值；

（4）转化为比较两个函数最值大小：要证，只要证即可.