2023届四川省成都市实验外国语学校高三上学期11月月考数学（文）试题（解析版）

2023届四川省成都市实验外国语学校高三上学期11月月考数学（文）试题

一、单选题

1．若以集合的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（    ）

A．矩形 B．平行四边形

C．梯形 D．菱形

【答案】C

【分析】根据集合中元素的互异性，可得四个元素互不相等，结合选项，即可求解.

【详解】由题意，集合的四个元素为边长构成一个四边形，

根据集合中元素的互异性，可得四个元素互不相等，

以四个元素为边长构成一个四边形，结合选项，只能为梯形.

故选：C.

2．已知复数（a为实数），若z为纯虚数，则是(    )

A．－1 B．1 C．－2 D．2

【答案】B

【分析】化简复数z，根据z为纯虚数，则实部等于0，即可求解．

【详解】∵复数，且z为纯虚数，∴a＝1

故选：B．

【点睛】本题考查复数的基本概念和代数形式的除法运算，化简复数是解题的关键，属于基础题.

3．在等差数列中，为其前n项和，若，则＝（　　）

A．20 B．27 C．36 D．45

【答案】C

【详解】由已知结合等差数列的性质先求出，然后结合等差数列的求和公式即可求解．

【解答】等差数列中，由等差数列的性质得，，

所以36．

故选：C．

4．设，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，，则

C．若，，则 D．若，，，则

【答案】C

【分析】利用直线、平面的位置关系进行判断以及通过举反例进行排除.

【详解】对于A，若，，则或，故A错误；

对于B，若，，，则或相交，故B错误；

对于C，利用线面垂直的性质定理以及平行的传递性，可知C正确；

对于D，若，，，当，不一定垂直于，

故D错误.

故选：C.

5．已知函数的图像在点处的切线方程是，则（    ）

A． B．2 C． D．3

【答案】D

【分析】利用导数的几何意义求出和，即可求得.

【详解】函数的图像在点处的切线的斜率就是在该点处的导数，即就是切线的斜率，所以.

又，

所以.

故选：D

6．已知均为锐角，且，则（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】D

【分析】根据两角和差的正弦公式，结合商数关系化简即可得解.

【详解】解：因为，

所以，

即，

又均为锐角，

所以，即.

故选：D.

7．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】建立平面直角坐标系，求出直线AB的方程，利用点到直线距离公式进行求解.

【详解】如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则，

直线，整理为，

原点O到直线距离为，

故选：B

8．执行如图所示的程序框图，若输入的k的值为8，则输出的n的值为（   ）

A．7 B．6 C．5 D．4

【答案】C

【分析】按照程序框图的循环结构依次求解，直至满足条件，输出.

【详解】输入，，，；

，，；

，，；

，，；

，，；

，结束循环，输出.

故选：C.

9．已知函数是定义域为的奇函数，且满足，当时，，则方程在区间上的解的个数是（    ）

A．3 B．5 C．7 D．9

【答案】D

【分析】由题意结合对数函数的性质可得，再由奇函数的性质、函数的周期可得，即可得解.

【详解】∵当时，，

令，则，解得或（舍去）.

∵，∴函数是周期为4的周期函数.

又∵函数是定义域为的奇函数，

∴在区间上，，，

∴，，

则方程在区间上的解有0，1，2，3，4，5，6，7，8，共9个.

故选：D.

【点睛】本题考查了函数周期性及奇偶性的综合应用，考查了函数与方程的的应用，属于基础题.

10．已知双曲线，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，点Q在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】设在渐近线上，直线的方程为，联立求得，由，求得，代入双曲线的方程化简即可得出答案.

【详解】设在渐近线上，直线的方程为，

由，得即，

由，得为的中点，又因为

所以，

因为在双曲线上，所以化简得：

故选：C

11．把函数的图象向左平移个单位长度，可得函数的图象，则（ ）

A．7 B．1

C．8 D．-1

【答案】A

【分析】写出函数的图象向右平移个单位长度所得图象对应的解析式，再变形整理即可得解.

【详解】依题意，将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象，

因，且，则，

而，

于是得的图象向右平移个单位长度所得图象所对函数为，

因此，对于任意实数，有，则，，

所以.

故选：A

12．在四棱锥中，底面是等腰梯形，若，，则下列结论可能成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】取中点，中点，A选项由得到，与已知矛盾即可判断；B选项求得即可判断；C选项由求得即可判断；D选项求得即可判断.

【详解】

若，取中点，中点，连接，易得，，则，又，

面，，则面，又面，则，与矛盾，A错误；

过作交延长线于，连接，易得，则，由可得，

又面，，则面，又面，则，则，B错误；

若，连接，易得四边形为平行四边形，则，，则，又，

则，由B选项知，矛盾，C错误；

若，同C选项可得，又由B选项知，可能成立，D正确.

故选：D.

13．圆：与圆：的公共弦的弦长等于（    ）

A．2 B．4 C． D．

【答案】D

【分析】计算圆心距确定两圆相交，得到公共弦为，根据弦长公式即得.

【详解】圆：，圆心为，半径为；

圆：，圆心为，半径为；

圆心距，，两圆相交，

联立两圆方程，得，

即公共弦所在直线的方程为，

故圆心到公共弦的距离为，

公共弦长为：.

故选：D.

二、填空题

14．若实数x，y满足，目标函数的最大值为________

【答案】5

【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．

【详解】作出可行域，如图阴影部分，

作直线，向上平移直线，则增大，

当直线过点时，取得最大值5．

故答案为：5．

15．已知，函数，若存在最小值，则的取值范围是__________.

【答案】

【分析】利用分段函数的单调性及最值求解即可.

【详解】解：当，即时，在上单调递增，故无最小值，不符合题意；

当时，在上单调递减，所以，又在上的最小值为，要使存在最小值，还需，

解得，

故；

当时，要使存在最小值，

还需：，因为，所以无解

综上的取值范围为.

故答案为：.

三、解答题

16．在数列，中，已知，，且，.

(1)证明：数列是等比数列；

(2)求数列的前项的和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用，得到，得到是以8为首项，2为公比的等比数列；

（2）在第一问的基础上，先求出，，再根据条件得到是等比数列，首项为4，公比为2，从而求出，利用分组求和和等比数列求和公式求出答案.

【详解】（1）证明：由题意可知，，

则，且，

所以数列是以8为首项，2为公比的等比数列；

（2）由（1）可知，，

所以，

所以，

又，

所以，

又，

即是等比数列，首项为4，公比为2，

所以，即，

所以，

即.

17．第17届亚运会于2014年9月19日至10月4日在韩国仁川进行，为了搞好接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余人不喜爱运动．

(1)根据以上数据完成以下2×2列联表：

(2)根据列联表的独立性检验，能否认为有99％把握性别与喜爱运动有关？

(3)如果从喜欢运动的女志愿者中（其中恰有4人会外语），抽取2名负责翻译工作，那么抽出的志愿者中至少有1人能胜任翻译工作的概率是多少？参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

参考数据：

【答案】(1)答案见解析；

(2)没有99％把握认为性别与喜爱运动有关；

(3)．

【分析】（1）由已知数据完善列联表；

（2）计算后可得结论；

（3）用列举法写出所有基本事件，得出所求概率事件包含的基本事件，计数概率．

【详解】（1）列联表如下：

（2）6.635，

所以没有99％把握认为性别与喜爱运动有关；

（3）喜欢运动的女志愿者有6人，编号为其中会英语能负责翻译工作，从中任取2人，基本事件有共15个，其中至少有1人能胜任翻译工作的基本事件有共14个，

所以所求概率为．

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

(1)若，求cosB的值；

(2)是否存在△ABC，满足B为直角？若存在，求出△ABC的面积；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)；

(2)不存在，理由见解析．

【分析】（1）根据正弦定理可得，结合可得的关系，再根据余弦定理即可求出cosB的值；

（2）假设存在△ABC，满足B为直角，从而可将题目条件化为，再解方程结合三角函数的范围即可判断．

【详解】（1）因为，所以，因为，

所以由正弦定理得，所以，

所以由余弦定理得.

（2）假设为直角，则，，由题意根据正弦定理可得，，即，

上式两边平方得：，

所以，由于，

所以，，与矛盾，

故不存在满足B为直角.

19．如图，在四棱锥中，为正三角形，，且，M为PC的中点，

(1)平面平面，求证：.

(2)求证：平面PAD．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）由线面垂直的判定定理与性质定理证明；

（2）由线面平行的判定定理证明，

【详解】（1）证明：延长AB，CD交于E，连PE.

已知面，面，又，面且面

∴面面，∴直线PE即为直线

∴要证，即证

取AD中点O，由已知与均为正三角形，

，，，

面PEO，面PEO，

面PEO，面PEO，，.

（2）证明：延长交于，连，

设，由已知，，，

由余弦定理知，，，且，

，，

，且

面，面，面.

20．已知椭圆：，若点，，，中恰有三点在椭圆上．

(1)求的方程；

(2)点是的左焦点，过点且与轴不重合的直线与交于不同的两点，，求证：内切圆的圆心在定直线上．

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据对称性，定在椭圆上，然后分别讨论，在椭圆上的情况，从而可求出椭圆方程，

（2）设，，：，将问题转化为证明的角平分线为定直线，只要证，将直线方程代入椭圆方程消去，利用根与系数的关系，代入上式化简即可得结论.

【详解】（1）根据对称性，定在椭圆上，

若也在椭圆上，则，方程组无解，

所以为椭圆上第三个点，

所以，解得，

所以椭圆的方程为：；

（2）由（1）得：，，设，，：．

要证明内切圆的圆心在定直线上，由对称性和内心的定义，即证明的角平分线为定直线，

即证，即，即证，

只要证，

由，得，

，得，

所以

所以成立，

即得证，

即内切圆的圆心在定直线上．

21．已知函数的图像记为曲线．

(1)过点A(2，0)作曲线的切线，若这样的切线有三条，求的取值范围；

(2)若对恒成立，求的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求导，得切线方程，将点A(2，0)代入方程，得，构造函数，利用三次函数的图像性质即可求解.（2）分情况讨论，构造函数，利用函数的单调性，确定最值，进而可求.

【详解】（1）∵，，

∴

设切点为，则，

所以切线方程为

将点代入得

可化为

设

∵，

令即，解得或；

令即，解得；

所以函数在上单调递减，在和上单调递增

∴的极值点0和2，

∵过点作曲线的切线，若这样的切线有三条， 有三个不同的实数根，由三次函数的图像得

∴，∴；

所以

（2）由得对恒成立，

①若，在单调递减，而 单调递增，显然不成立.

②若，则，

③若，则，

设函数，

令，即，解得；

令，即，解得；

所以函数在上单调递减，在上单调递增

∴

设，

∵

令，即，解得；

令，即，解得；

∴函数 在上单调递增，在上单调递减．

∴，即的最大值为，此时，.综上，的最大值为

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）．

(1)求直线与曲线的普通方程，并说明是什么曲线？

(2)设M，N是直线与曲线的公共点，点的坐标为，求的值．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）消去参数即可得到直线与曲线的普通方程即可说明曲线.

（2）将直线参数方程代入圆的普通方程即可得到与，根据参数的几何意义讨论求得的值.

【详解】（1）由题意可得：直线l的参数方程为消去参数

得：.

曲线的参数方程为.消去参数

得：

曲线表示以原点为圆心，以为半径的圆.

（2）由（1）知：将直线的参数方程代入

得：  

可知，，故与异号. 不妨设 ,

易知，故=

=

同理，

易知，故=

=

综上：

23．已知函数．

(1)若对，恒成立，求实数n的取值范围；

(2)若的最小值为4，且正数a，b，c满足a＋2b＋c＝n，求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由绝对值三角不等式得，由题意知，即可得出的取值范围；

（2）由题意得，利用基本不等式求出的最小值，从而得出答案．

【详解】（1）由绝对值三角不等式得，当且仅当时等号成立，即，

由题意知，所以或，即或．

综上，的取值范围是．

（2）由（1）知，的最小值为，所以，解得或．

当时，，不符合题意，故舍去．

从而，即．

，当且仅当，即时等号成立，所以，

综上，的最小值为．