2023届四川省成都市重点中学高三上学期开学考试数学理试题（解析版）
展开2022年联考2023届高三第一学期开学考
理科数学总分: 150分
单选题（5分*12）
1. 设集合，则( )
A. B. C. D.
2. 设复数满足，则( )
A. B. C. D.
3. 函数 的零点共有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
4. 已知正方体中，分別为的中点，则( )
A. B.
C. D.
5. 已知的内角的对边分别是,则“”是“是钝角三角形”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6. 已知函数，下列说法正确的是( )
A.的最小正周期是
B.的图象关于直线对称
C.在区间上单调递增
D.的图象可由的图象向左平移个单位得到
7. 已知均为单位向量，且满足，命题，命题，则下列命题恒为真命题的是( )
A. B.
C. D.
8. 函数的最小值为( )
A. B. C. D.
9. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
10. 已知某校高三年级共人，按照顺序从到编学号.为了如实了解学生“是否有带智能手机进入校园的行为”，设计如下调查方案：先从装有个黑球和个白球的不透明盒子中随机取出个球，如果是白球，回答问题一；否则回答问题二.问题如下：一、你的学号的末位数字是奇数吗？二、你是否有带智能手机进入校园的行为？现在高三年级人全部参与调查，经统计：有人回答“否”，其余人回答“是”.则该校高三年级“带智能手机进入校园”的人数大概为( )
A. B. C. D.
11. 单位正四面体的外接球内接的最大正三角形边长为( )
A. B.
C. D.
12. , 则（ ）
A. B.
C. D.
填空题（5分*4）
13. 已知函数则____________.
14. 函数的一条过原点的切线方程为____________.
15. 设是抛物线的焦点，点在抛物线上，，若，则____________.
16. 已知正实数满足, 则的最小值为____________.
解答题部分70分
17. （12分）在三棱锥中，平面平面是的中点.
(1)证明：；
(2)若，求二面角的大小.
18. （12分）已知的内角所对的边分别为.
(1)求；
(2)若，求.
19. （12分）记数列前项和为.
(1)证明：为等差数列；
(2)若，记为数列的前项积，证明：.
20. （12分）设椭圆，右焦点，短轴长为，直线与轴的交点到右焦点的距离为.
(1)求的方程；
(2)点均在上，且满足，若与轴交点为，求满足条件的点的坐标.
21. （12分）设函数为常数).
(1)讨论的单调性；
(2)若函数有两个不相同的零点, 证明:.
选考题
22. （10分）
[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是(为参数)，正方形的顶点均在上，且依逆时针次序排列，点.
(1)求的普通方程及点的坐标；
(2)设为上任意一点，求的最小值.
23. （10分）
[选修4-5：不等式选讲]
已知为正实数，.
(1)求证：；
(2)求证：.
答案
1. B
【解析】
由题意，得.
2. C
【解析】
由题意，得.则.
3. C
【解析】
当时无解；
当时，有解
综上，函数有个零点.
4. D
【解析】
建立如图坐标系，不妨设正方体的棱长为.
则.
故.
5. A
【解析】
, 即为钝角, 故充分,
而若钝角三角形中 为钝角, 则为锐角,
, 即有, 故不必要.
6. D
【解析】
，故选项错误；
令，
此时对应的不为整数，
直线不为其对称轴，故选项错误；
上，函数单调递减，故选项错误；
将的图象向左移个单位得
.故D选项正确.
7. B
【解析】
条件说明的夹角和的夹角相等，作图知命题必有一个为真命题，故恒为真命题的是.
8. D
【解析】
.
9. D
【解析】
由题意，得.则单调递增.
又当时，；
当时，.
时，的解集为.
又为奇函数，为偶函数，
的解集为.
10. B
【解析】
理想情况下，人分为(人)和(人)，
人中将有人回答“否”，则人中有(人)回答“否”，人回答“是”，
则问是否带手机的回答是人数约占，
该校高三年级“带智能手机进入校园”的人数约为(人).
11. C
【解析】
如图为单位正四面体.
过点作面的垂线交面于点为外接球球心，
则为的中心，
.
不妨设.
在中，由勾股定理，得.解得.
最大正三角形得边长为.
12. A
【解析】
构造 , 则,
故 .
由切线不等式 ,
即 . 故.
13.
【解析】
原式.
14.
【解析】
由题意，得的切线方程为
当时，此直线过原点，故函数过原点的一条切线方程为.
15.
【解析】
由题意，得.
点到抛物线准线的距离为.
抛物线的准线方程为，
或，
.
16.
【解析】
原式
令
则
在正负性上等价, 故此函数在上单调递减,上单调递增.
将 代入, 得原式.
17.
（2）
【解析】
(1)证明：由题意，得
面.
又，
面.
(2)建立如图坐标系：
由题意, 得 .
设面 的一个法向量,
则由
设 .
同理求得面 的一个法向量.
则 .
则二面角 的大小为.
18.
（1）
（2）
【解析】
(1)由题意，得.
，
.
(2)将代入(1)中两式，得.
.
当时，解得；
当时，解得.
又，.
，
.
综上，.
19.
证明：
(1)由题意，得.
则.
两式相减，得，
即，
是等差数列.
(2)，
20.
(1).
(2)或或.
【解析】
(1)由题意，得
.
即椭圆的方程为.
(2)当轴时，此时点不存在；
当不平行轴时，不妨设.
联立直线和椭圆C的方程，得.
则.
由韦达定理，得.
设的中点为，则.
.
结合直线和，得.
，
即.
若，则，
将代入，解得.
.经验证：符合，此时点的坐标为；
若，即，解得.
经验证：符合，此时点的坐标为或.
综上所述，符合条件的点的坐标有或或.
21.
(1)由题意，得.
又，
在上，，在上，，
在上单调递减，上单调递增.
(2)由(1)的结论不妨有.
又均，
只需证.
构造函数.
则
，
当时，等号成立，不能取到，
故，
说明恒成立，结论得证.
22.
(1)曲线的普通方程为；
.
(2).
【解析】
(1)曲线的普通方程为；
.
(2)设.
原式
.
当时取等号，其最小值为.
23.
证明：(1)由三元柯西不等式，得
原式.
当时，取等号.
(2)由平均不等式，得
整理，得.
当时，取等号.
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