2023届四川省泸县第五中学高三上学期第三学月考试数学（理）试题（解析版）

这是一份2023届四川省泸县第五中学高三上学期第三学月考试数学（理）试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届四川省泸县第五中学高三上学期第三学月考试数学（理）试题 一、单选题1．设全集，集合,,则A． B．C． D．【答案】A【分析】进行交集、补集的运算即可．【详解】＝{x|﹣2＜x＜1}；∴A∩（）＝{x|﹣1＜x＜1}．故选A．【点睛】考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．2．设，则的虚部为(　　)A．1 B． C．－1 D．【答案】C【分析】利用复数的乘法运算法则计算出z，然后找出虚部．【详解】，则虚部是，选C【点睛】本题考查复数的运算，解题的关键是先进行乘法运算将其化成形式，其中实部为,虚部为，属于简单题.3．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（    ）A． B． C．-1 D．1【答案】A【分析】根据投影的定义和向量的数量积求解即可．【详解】解：∵，，∴向量在向量方向上的投影，故选：A．【点睛】本题主要考查向量的数量积的定义及其坐标运算，属于基础题．4．是成立的（　　）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解出关于x的不等式，再结合充分必要条件的定义找出两者之间的关系.【详解】解：lnx＞1⇔x＞e∵x＞3⇒x＞e，x＞e推不出x＞3，∴x＞3是lnx＞1成立的充分不必要条件故选A．【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，解不等式，属于基础题.5．已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率是　　A． B． C．2 D．【答案】B【分析】设双曲线方程为，可得渐近线方程是，结合题意解出，再利用平方关系算出，根据离心率公式即得答案．【详解】解：双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为可得双曲线的渐近线方程是结合题意双曲线的渐近线方程是，得，可得因此，此双曲线的离心率．故选B．【点睛】本题考查双曲线的标准方程与简单几何性质，考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，属于基础题．6．已知，则（　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正切的二倍角公式展开后，代入tana值即可求出.【详解】，故选B.【点睛】本题考查正切函数二倍角公式的运用，属于基础题.7．某班共有50名学生，其数学科学业水平考试成绩记作2，3，，，若成绩不低于60分为合格，则如图所示的程序框图的功能是　　A．求该班学生数学科学业水平考试的不合格人数B．求该班学生数学科学业水平考试的不合格率C．求该班学生数学科学业水平考试的合格人数D．求该班学生数学科学业水平考试的合格率【答案】D【分析】执行程序框图，可知其功能为用表示成绩合格的人数，表示全班总人数，从而可得输出结果的实际意义．【详解】执行程序框图，可知其功能为输入50个学生成绩， 表示该班学生数学科成绩合格的人数，表示全班总人数，输出的为该班学生数学科学业水平考试的合格率，故选D．【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．8．在展开式中的常数项为　　A．1 B．2 C．3 D．7【答案】D【分析】求出展开项中的常数项及含的项，问题得解．【详解】展开项中的常数项及含的项分别为：,，所以展开式中的常数项为：.故选D【点睛】本题主要考查了二项式定理中展开式的通项公式及转化思想，考查计算能力，属于基础题．9．已知斜率为2的直线l过抛物线C：的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为1，则p＝A．1 B． C．2 D．4【答案】C【分析】设直线l的方程为x＝y，与抛物线联立利用韦达定理可得p．【详解】由已知得F（，0），设直线l的方程为x＝y，并与y2＝2px联立得y2﹣py﹣p2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点C（x0，y0），∴y1+y2＝p，又线段AB的中点M的纵坐标为1，则y0（y1+y2）＝，所以p=2,故选C．【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题．10．已知是焦距为8的双曲线的左右焦点，点关于双曲线的一条渐近线的对称点为点，若，则此双曲线的离心率为A． B． C．2 D．3【答案】C【分析】由题意知AF2＝=4，结合点到直线的距离与双曲线中a、b、c间得关系得到，解得结果.【详解】如下图，因为A为F2关于渐近线的对称点，所以，B为AF2的中点，又O为F1F2的中点，所以，OB为三角形AF1F2的中位线，所以，OB∥AF1，由AF2⊥OB，可得AF2⊥AF1，AF2＝=4，点F2（4,0），渐近线：x，所以，解得：b＝2，＝2，所以离心率为e＝2,故选C.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查勾股定理的运用及点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．11．已知函数在区间内有唯一零点，则的取值范围为A． B．C． D．【答案】A【分析】利用导数判断的单调性，再根据零点存在定理，分类讨论零点的所有可能，利用线性规划求解目标式的范围即可.【详解】因为，则，因为，故可得，即，则在单调递减；又在内有唯一的零点，若该零点是1，则，即此时；则若该零点是，则，即此时满足，且；则，由，则，解得此时，若该零点在，则且，即且，且；此时，可以理解为点与点构成直线的斜率，根据所求，作图如下：数形结合可知，当点与点重合时，此时斜率取得最小值，即，当点与点重合时，此时斜率取得最大值，即，故此时，.综上所述，.故选：.【点睛】本题考察利用导数研究函数的零点问题，涉及零点存在定理、线性规划，解决问题的关键是熟练应用综合类知识，属综合困难题.12．把平面图形上的所有点在一个平面上的射影构成的图形叫作图形在这个平面上的射影.如图，在三棱锥中，，，，，，将围成三棱锥的四个三角形的面积从小到大依次记为，，，，设面积为的三角形所在的平面为，则面积为的三角形在平面上的射影的面积是A． B． C． D．【答案】A【分析】将所给三棱锥补形为长方体，根据长方体的性质，分别计算，，，，然后找到对应的，在所在的平面上的投影，计算其面积得答案.【详解】将该三棱锥补形为长方体如图所示，因为，，由长方体性质可得，  ，，所以，，，在中，由余弦定理可得，，则，所以，由上面计算可知，平面是平面，也即是平面则问题转化为求解三角形在平面平面上的射影面积，过点在平面内作，交于点，因为平面，平面，所以，又因为，平面，平面，所以平面，则面积为的在平面上的射影为故射影面积为.故选：A.【点睛】求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解，其中一个很重要的方法为将几何体补形为长方体，这使得几何体中的位置关系更为直观明确. 二、填空题13．在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未被污损，即9，10，11，1，那么这组数据的方差可能的最大值是__________．【答案】32.8【详解】设这组数据的最后两个分别是：，，则，得：，故，故，显然最大取时，有最大值，故答案为.14．已知等比数列中，，则__________．【答案】【详解】等比数列中，， 故答案为.15．已知，，则__________.【答案】【分析】利用对数运算、指数运算求得正确结果.【详解】，，.故答案为：16．已知函数，函数对任意的都有成立，且与的图象有个交点为，则_____．【答案】【详解】对任意的都有成立，即，故关于（1，2）中心对称，函数=也关于（1，2）中心对称，故两个图像有相同的对称中心，每两个对称的点横坐标之和为2，纵坐标之和为4，故得到 故.故答案为:3m.点睛：这个题目考查了函数图像的对称性，通过两个图像由共同的对称中心来研究零点的和．一般函数零点问题，可以转化为两个图像的交点问题，还能转化为函数图像和x轴的交点问题,在利用图像解决问题时注意画图的准确性. 三、解答题17．为了解男性家长和女性家长对高中学生成人礼仪式的接受程度，某中学团委以问卷形式调查了位家长，得到如下统计表： 男性家长女性家长合计赞成121426无所谓18624合计302050 （1）据此样本，能否有的把握认为“接受程度”与家长性别有关？说明理由；（2）学校决定从男性家长中按分层抽样方法选出人参加今年的高中学生成人礼仪式，并从中选人交流发言，设是发言人中持“赞成”态度的人数，求的分布列及数学期望.参考数据 参考公式【答案】(1) 没有的把握认为“接受程度”与家长性别有关(2) 【详解】试题分析：（1）计算卡方，根据表中数据作出判断（2）根据分层抽样所得名男性家长中持“赞成”态度的有人，持“无所谓”态度的有人.所以可以取值为、、，计算相应的概率值，得到分布列及期望.试题解析：（1）由题：，，，，∴，所以，没有的把握认为“接受程度”与家长性别有关.（2）根据分层抽样所得名男性家长中持“赞成”态度的有人，持“无所谓”态度的有人.所以可以取值为、、，，，分布列： 期望点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.18．中，角的对边分别是，.(1)求角；(2)若为边的中点，且，求的最大值.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用正弦定理角化边，整理后可求得，由此可得；（2）由，利用余弦定理可得，结合（1）中，可得，利用基本不等式可求得最大值.【详解】（1）由正弦定理可得：，，，，；（2）由（1）知：，即；在中，由余弦定理得：；在中，由余弦定理得：；，，，整理可得：；，即，（当且仅当时取等号），，即的最大值为.19．如图，在矩形中，，，是的中点，以为折痕将向上折起，变为，且平面平面．（1）求证：；（2）求二面角的大小．【答案】（1）见证明；（2）90°【分析】（1）利用垂直于所在的平面，从而证得；（2）找到三条两两互相垂直的直线，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，再分别求出两个面的法向量，，最后求法向量的夹角的余弦值，进而得到二面角的大小.【详解】（1）证明：∵，，∴，∴，∵，，，∴，，∴.（2）如图建立空间直角坐标系，则、、、、，从而，，.设为平面的法向量，则令，所以，设为平面的法向量，则，令，所以，因此，，有，即，故二面角的大小为.【点睛】证明线线垂直的一般思路：证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面，所以根据题目所给的图形，观察并确定哪一条线垂直于哪一条线所在的平面，是证明的关键.20．已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．【答案】(1) 取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）(2)证明过程见解析【详解】分析：（1）先确定p,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线l的斜率的取值范围，最后根据PA，PB与y轴相交，舍去k=3，（2）先设A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立，根据韦达定理可得，．再由，得，．利用直线PA，PB的方程分别得点M，N的纵坐标，代入化简可得结论.详解：解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．由得．依题意，解得k<0或0<k<1．又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3．所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．由（I）知，．直线PA的方程为．令x=0，得点M的纵坐标为．同理得点N的纵坐标为．由，得，．所以．所以为定值．点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21．已知函数.(1)当时，求函数的极值；(2)若曲线在上任意一点处切线的倾斜角均为钝角，求实数的取值范围.【答案】(1)在处取极小值且极小值为.(2) 【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的极值.（1）曲线在上任意一点处切线的倾斜角均为钝角即为对任意的恒成立，参变分离后可求参数的取值范围.【详解】（1）当时，，故，当时，；时，，故在处取极小值且极小值为.（2），因为曲线在上任意一点处切线的倾斜角均为钝角，故对任意的恒成立，即对任意的恒成立.当时，，此时，当时，即对任意恒成立，设，则，故在上为增函数，故，故即.当时，即对任意恒成立，同理有在上为增函数，故，故即，综上，有.【点睛】思路点睛：含参数的不等式的恒成立问题，可以通过对原函数的分类讨论求出参数的取值范围，也可以通过参变分离后结合导数求出新函数的值域或范围，从而得到参数的取值范围.22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．(1)求直线 l 的直角坐标方程与曲线C的普通方程；(2)已知点P的直角坐标为，直线 l 与曲线C相交于不同的两点A，B，求的值．【答案】(1)；；(2). 【分析】（1）由曲线的参数方程消去即可得曲线的普通方程；由直线的极坐标方程为及，即可得直线的直角坐标方程；（2）根据题意得直线的标准参数方程为（为参数），把它代入曲线的直角坐标方程，利用直线的参数的几何意义解题即可.【详解】（1）由曲线C的参数方程得．∴曲线C的普通方程为．直线 l 的极坐标方程化简为．由极坐标与直角坐标的互化关系，，得直线 l 的直角坐标方程为．（2）设直线 l 的参数方程为（m为参数）．将直线 l 的参数方程代入曲线C的普通方程，整理可得． ．设，是方程的两个实数根．则，．∴．23．已知函数R，且的解集为[-1，1].(1)求m的值；(2)若，且，求证：.【答案】(1)1；(2)证明见解析. 【分析】(1)根据的解集为，结合绝对值不等式的解法，即可求出m的值；(2)利用“1”的替换和基本不等式计算，即可证明.【详解】（1）不等式即，即，解得，又的解集是，所以，综上，；（2）由(1)知，，所以.当且仅当即时等号成立.综上，.