2023届四川省泸县第五中学高三上学期第三学月考试数学（文）试题（解析版）

2023届四川省泸县第五中学高三上学期第三学月考试数学（文）试题

一、单选题

1．设全集，集合,,则

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】进行交集、补集的运算即可．

【详解】＝{x|﹣2＜x＜1}；

∴A∩（）＝{x|﹣1＜x＜1}．

故选A．

【点睛】考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．

2．设，则的虚部为(　　)

A．1 B． C．－1 D．

【答案】C

【分析】利用复数的乘法运算法则计算出z，然后找出虚部．

【详解】，则虚部是，选C

【点睛】本题考查复数的运算，解题的关键是先进行乘法运算将其化成形式，其中实部为,虚部为，属于简单题.

3．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（    ）

A． B． C．-1 D．1

【答案】A

【分析】根据投影的定义和向量的数量积求解即可．

【详解】解：∵，，

∴向量在向量方向上的投影，

故选：A．

【点睛】本题主要考查向量的数量积的定义及其坐标运算，属于基础题．

4．是成立的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】解出关于x的不等式，再结合充分必要条件的定义找出两者之间的关系.

【详解】解：lnx＞1⇔x＞e

∵x＞3⇒x＞e，

x＞e推不出x＞3，

∴x＞3是lnx＞1成立的充分不必要条件

故选A．

【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，解不等式，属于基础题.

5．若实数x，y满足约束条件，则的最小值为（    ）．

A． B．4 C．5 D．14

【答案】B

【分析】由题设作出不等式组表示的区域，结合的几何意义即可求出答案.

【详解】作出不等式组表示的区域如下图中阴影部分，

直线化为：表示斜率为的一组平行线，当经过点

有最小值，由，所以，则的最小值为：.

故选：B.

6．已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率是　　

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】设双曲线方程为，可得渐近线方程是，结合题意解出，再利用平方关系算出，根据离心率公式即得答案．

【详解】解：双曲线的焦点在x轴上，

设双曲线的方程为

可得双曲线的渐近线方程是

结合题意双曲线的渐近线方程是，得

，可得

因此，此双曲线的离心率．

故选B．

【点睛】本题考查双曲线的标准方程与简单几何性质，考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，属于基础题．

7．某班共有50名学生，其数学科学业水平考试成绩记作2，3，，，若成绩不低于60分为合格，则如图所示的程序框图的功能是　　

A．求该班学生数学科学业水平考试的不合格人数

B．求该班学生数学科学业水平考试的不合格率

C．求该班学生数学科学业水平考试的合格人数

D．求该班学生数学科学业水平考试的合格率

【答案】D

【分析】执行程序框图，可知其功能为用表示成绩合格的人数，表示全班总人数，从而可得输出结果的实际意义．

【详解】执行程序框图，可知其功能为输入50个学生成绩，

 表示该班学生数学科成绩合格的人数，

表示全班总人数，

输出的为该班学生数学科学业水平考试的合格率，故选D．

【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．

8．已知，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用正切的二倍角公式展开后，代入tana值即可求出.

【详解】，

故选B.

【点睛】本题考查正切函数二倍角公式的运用，属于基础题.

9．抛物线：的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，若，则（    ）

A． B．1 C．2 D．4

【答案】C

【解析】设过且斜率为1的直线方程为,与抛物线方程联立可得根与系数关系,再利用弦长公式,即可得出.

【详解】设过且斜率为1的直线方程为,联立,化为,

设,则,

,解得.

故选:C.

【点睛】本题考查了直线与抛物线相交问题、根与系数、弦长公式,属于中档题.

10．已知是焦距为8的双曲线的左右焦点，点关于双曲线的一条渐近线的对称点为点，若，则此双曲线的离心率为

A． B． C．2 D．3

【答案】C

【分析】由题意知AF2＝=4，结合点到直线的距离与双曲线中a、b、c间得关系得到，解得结果.

【详解】如下图，因为A为F2关于渐近线的对称点，所以，B为AF2的中点，又O为F1F2的中点，所以，OB为三角形AF1F2的中位线，所以，OB∥AF1，由AF2⊥OB，可得AF2⊥AF1，

AF2＝=4，点F2（4,0），渐近线：x，

所以，解得：b＝2，＝2，所以离心率为e＝2,

故选C.

【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查勾股定理的运用及点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．

11．已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，，是边长为的正三角形，则球O的半径长为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据几何关系，设△ABC外接圆半径为r，S到底面ABC距离为h，三棱锥外接球半径为R，则，据此即可求出答案．

【详解】易知三棱锥S-ABC为正三棱锥，

设底面△ABC外接圆圆心为D，半径为AD=r=，

S到底面ABC距离为SD=h=，

设外接球球心为O，半径为SO=OA=R，

则在Rt△AOD中，，解得R=.

故选：B.

12．已知函数在区间内有唯一零点，则的取值范围为

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用导数判断的单调性，再根据零点存在定理，分类讨论零点的所有可能，利用线性规划求解目标式的范围即可.

【详解】因为，则，

因为，故可得，即，

则在单调递减；又在内有唯一的零点，

若该零点是1，则，即此时；

则

若该零点是，则，即此时满足，且；

则，由，则，解得

此时，

若该零点在，则且，即且，且；

此时，可以理解为点与点构成直线的斜率，根据所求，作图如下：

数形结合可知，当点与点重合时，此时斜率取得最小值，即，

当点与点重合时，此时斜率取得最大值，即，

故此时，.

综上所述，.

故选：.

【点睛】本题考察利用导数研究函数的零点问题，涉及零点存在定理、线性规划，解决问题的关键是熟练应用综合类知识，属综合困难题.

二、填空题

13．在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未被污损，即9，10，11，1，那么这组数据的方差可能的最大值是__________．

【答案】32.8

【详解】设这组数据的最后两个分别是：，，则，得：，故，故，显然最大取时，有最大值，故答案为.

14．已知等比数列中，，则__________．

【答案】

【详解】等比数列中，，

故答案为.

15．已知，，则__________.

【答案】

【分析】利用对数运算、指数运算求得正确结果.

【详解】，，.

故答案为：

16．已知函数，函数对任意的都有成立，且与的图象有个交点为，则_____．

【答案】

【详解】对任意的都有成立，

即，故关于（1，2）中心对称，

函数=也关于（1，2）中心对称，故两个图像有相同的对称中心，

每两个对称的点横坐标之和为2，纵坐标之和为4，故得到

故.

故答案为:3m.

点睛：这个题目考查了函数图像的对称性，通过两个图像由共同的对称中心来研究零点的和．一般函数零点问题，可以转化为两个图像的交点问题，还能转化为函数图像和x轴的交点问题,在利用图像解决问题时注意画图的准确性.

三、解答题

17．广元某中学调查了该校某班全部名同学参加棋艺社团和武术社团的情况，数据如下表：(单位：人)

（1）能否有的把握认为参加棋艺社团和参加武术社团有关？

（2）已知在参加武术社团且未参加棋艺社团的人中，从到进行编号，从中抽取一人.按照先后两次抛掷一枚骰子，出现的点数之和为被抽取的序号，试求抽到号或号的概率.

附：

【答案】（1）没有的把握认为参加棋艺社团和参加武术社团有关；（2）.

【分析】（1）求出卡方值，和3.841比较即可判断；

（2）先求出先后两次抛掷一枚骰子的所有情况，求点数之和为号或号的情况即可求出概率.

【详解】解.（1）由

则，所以没有的把握认为参加棋艺社团和参加武术社团有关.

（2）两次抛掷一枚骰子的点数记为，则基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种，

其中点数和为或的基本事件有：

，，，，，，，，，，共种.

所以抽到号或号的概率：.

18．中，角的对边分别是，.

(1)求角；

(2)若为边的中点，且，求的最大值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用正弦定理角化边，整理后可求得，由此可得；

（2）由，利用余弦定理可得，结合（1）中，可得，利用基本不等式可求得最大值.

【详解】（1）由正弦定理可得：，，，

，；

（2）

由（1）知：，即；

在中，由余弦定理得：；

在中，由余弦定理得：；

，，

，整理可得：；

，即，

（当且仅当时取等号），，

即的最大值为.

19．如图所示，平面平面是等腰直角三角形，，四边形是直角梯形，，，，分别为的中点.

(1)试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；

(2)求四面体的体积.

【答案】(1)平面，理由见解析；

(2).

【分析】（1）根据已知条件及三角形的中位线定理，再利用平行的传递性及平行四边形的判定，再结合线面平行的判定即可求解；

（2）根据已知条件得出点到平面的距离，进而得到点到平面的距离，再求出面积，结合三棱锥的体积公式即可求解.

【详解】（1）直线与平面平行，理由如下

如图所示，

取中点为，连接，

因为为的中点，为的中点，

所以.

又 ，，所以，

所以，

所以四边形为平行四边形.则.

又平面，平面，

所以平面.

（2）因为是等腰直角三角形，，为的中点.

所以,，，

因为平面平面，，

平面平面，

所以平面，平面，所以，，

又，所以平面，

所以点到平面的距离为，因为为的中点.

即点到平面的距离为，

因为为的中点，所以，

又因为四边形是直角梯形，，，，

所以

，

所以四面体ODME的体积为

.

20．已知函数.

(1)当时，求函数的极小值；

(2)当时，讨论的单调性.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【详解】（1）当时：，令解得，

又因为当，，函数为减函数；

当，，函数为增函数.

所以的极小值为.

（2），

当时，由，得或.

①若，则，故在上单调递增；

②若，则.故当时，或；

当时，.

所以在，单调递增，在单调递减.

③若，则.故当时，或；

当时，.

所以在，单调递增，在单调递减.

21．已知抛物线，过点作斜率为的直线与抛物线C相交于A，B两点．

（Ⅰ）求k的取值范围；

（Ⅱ）过P点且斜率为的直线与抛物线C相交于M，N两点，求证：直线、及y轴围成等腰三角形．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．

【分析】（1）直线方程与抛物线方程联立方程组消元后由判别式大于0可得参数范围；

（2）设，由（Ⅰ）知，同理可得，计算，可证．

【详解】（Ⅰ）由题意设直线的方程为，

由，得到：        

由题意知，所以，即或         

因为，所以k的取值范围为．        

（Ⅱ）设，

由（Ⅰ）知         

由题意设直线的方程为，

由，得到：，         

所以，       

因为，           

同理可得：，

所以，         

即直线、直线及y轴围成等腰三角形．

【点睛】易错点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线与直线相交问题解题关键是通过证明，得出等腰三角形．轴改为轴也一样．

22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

(1)求直线 l 的直角坐标方程与曲线C的普通方程；

(2)已知点P的直角坐标为，直线 l 与曲线C相交于不同的两点A，B，求的值．

【答案】(1)；；

(2).

【分析】（1）由曲线的参数方程消去即可得曲线的普通方程；由直线的极坐标方程为及，即可得直线的直角坐标方程；

（2）根据题意得直线的标准参数方程为（为参数），把它代入曲线的直角坐标方程，利用直线的参数的几何意义解题即可.

【详解】（1）由曲线C的参数方程得．

∴曲线C的普通方程为．

直线 l 的极坐标方程化简为．

由极坐标与直角坐标的互化关系，，

得直线 l 的直角坐标方程为．

（2）设直线 l 的参数方程为（m为参数）．

将直线 l 的参数方程代入曲线C的普通方程，

整理可得．

．

设，是方程的两个实数根．

则，．

∴．

23．已知函数R，且的解集为[-1，1].

(1)求m的值；

(2)若，且，求证：.

【答案】(1)1；

(2)证明见解析.

【分析】(1)根据的解集为，结合绝对值不等式的解法，即可求出m的值；

(2)利用“1”的替换和基本不等式计算，即可证明.

【详解】（1）不等式即，

即，解得，

又的解集是，所以，

综上，；

（2）由(1)知，，

所以

.

当且仅当即时等号成立.

综上，.