2023届四川省绵阳南山中学高三上学期11月月考数学（理）试题（解析版）

这是一份2023届四川省绵阳南山中学高三上学期11月月考数学（理）试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则的子集个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．8个
【答案】C
【分析】求出集合A中元素，再求，则子集个数可求.
【详解】 ，
，
则的子集个数是.
故选：C.
2．抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】把抛物线方程化成标准形式，直接写出准线方程作答.
【详解】抛物线的标准方程为，所以所求准线方程为.
故选：D
3．已知，那么下列命题中正确的是（ ）.
A．若，则B．若，则
C．若且，则D．若，则
【答案】C
【分析】根据不等式的性质或通过举反例，对四个选项进行分析得解．
【详解】．若，当时， ，所以选项不成立；
．若，当时，则，所以选项不成立；
．因为，将两边同除以，则，所以选项成立；
．如果满足，但是，所以选项不成立．
故选：．
4．已知直线：，：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先根据公式求两直线平行时的值，再判断充分，必要条件.
【详解】当时，，解得：，
验证：当时，，，两直线平行，
当，，，两直线平行，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
5．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性以及特殊点的函数值求得正确答案.
【详解】，所以的定义域为，
，所以是奇函数，
图象关于原点对称，排除BD选项.
，排除C选项，
所以A选项正确.
故选：A
6．已知为等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A．15B．C．D．
【答案】C
【分析】两式联立，可求出首项和公比，代入求解即可.
【详解】设公比为q，显然，由已知得，，
所以，故，即，
所以，
故选：C.
7．在中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知的面积为4，b=4，，则a=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题中的两个等式解得A与c的值，再由余弦定理解得a的值.
【详解】∵，，
∴ ①，②，
∴由①②得，
∵
∴
∴，
∴，
∴.
故选：C.
8．每年3月3日是国际爱耳日，2022年的主题是“关爱听力健康，聆听精彩未来”．声强级是表示声强度相对大小，其值为（单位），定义，其中为声场中某点的声强度，其单位为m2（瓦/平方米）m2为基准值．如果飞机起飞时的声音是120，两人轻声交谈的声音是40，那么前者的声强度是后者的声强度的（ ）倍？
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用代入法，结合指数式与对数式的互化公式进行求解即可.
【详解】设声音是的声强度为，则，即，
声音是40的声强度为，则，即，
，前者的声强度是后者的声强度的倍．
故选
9．设F1，F2是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若，，，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）
A．90°B．45°C．60°D．30°
【答案】C
【分析】根据题目条件求出双曲线方程，得到渐近线方程，可得两条渐近线的夹角.
【详解】设，，由双曲线的定义可知，
又，，，可得，，
即，解得，，
可得双曲线的渐近线方程为，两条渐近线的夹角为.
故选：C
10．已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意，利用同角三角函数的平方式以及二倍角公式，化简等式，联立平方式，求得正弦与余弦的值，利用二倍角公式，化简代入，可得答案.
【详解】，由，得，，所以，即，
联立，解得，，
所以.
故选：D.
11．椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由椭圆的定义及题设，求出、、，利用，由余弦定理建立方程化简即可得解.
【详解】因为，由椭圆定义知，
又，所以，再由椭圆定义，
因为，所以，
所以由余弦定理可得，
即，
化简可得，即，
解得或（舍去）.
故选：D
12．已知正实数，，满足，，，则a，b，c的大小关系为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据可得，由此可构造函数，根据f(x)的单调性即可判断a和c的大小；根据对数的计算法则和对数的性质可得b与2的大小关系；变形为，利用函数与函数的图象可判断两个函数的交点的横坐标c的范围，从而判断b与c的大小.由此即可得到答案．
【详解】，
故令，则，．
易知和均为上的增函数，故在为增函数．
∵，故由题可知，，即，则．
易知，，
作出函数与函数的图象，如图所示，
则两图象交点横坐标在内，即，
，
．
故选：B．
二、填空题
13．已知向量，，且，则______．
【答案】
【分析】由向量平行,可得的坐标形式，之后可得答案.
【详解】由题，因，则，解得，则.
得.
故答案为:
14．在平面直角坐标系中，过双曲线的右顶点作轴的垂线，与的一条渐近线相交于点，若以的右焦点为圆心、半径为的圆经过两点，则双曲线的标准方程为_________．
【答案】
【分析】由双曲线的性质求解，
【详解】由题意得，双曲线的渐近线为，设，
，则，
，而，解得
双曲线的标准方程为，
故答案为：
15．已知函数在处取得极值0，则______．
【答案】11
【分析】求出导函数，然后由极值点和极值求出参数值即可得，注意检验符合极值点的定义．
【详解】，则，即，解得或
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，
令，得或；令，得．
所以在，上单调递增，在上单调递减，符合题意，则．
故答案为：11．
16．已知直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为__________．
【答案】
【分析】由两直线方程可知两直线垂直，且分别过定点、，所以点P的轨迹为以两定点连线段为直径的圆，方程为，因为要求的最大值，可作垂直线段CD⊥AB，根据向量的运算可得，，根据条件求得CD的长度为1，所以点D的轨迹为。根据两圆方程可知点P的轨迹与点D的轨迹外离，故的最大值为两圆的圆心距加上两圆的半径的两倍.
【详解】
∵l1：mx﹣y﹣3m+1=0与l2：x+my﹣3m﹣1=0，
∴l1⊥l2，l1过定点，l2过定点，
∴点P的轨迹方程为圆，
作CD⊥AB，，
所以点D的轨迹为,
则，
因为圆P和圆D的圆心距为，
所以两圆外离，所以|PD|最大值为，
所以的最大值为
故答案为：
三、解答题
17．已知函数（，）．且 的最大值为1；其图像的相邻两条对称轴之间的距离为．求：
(1)函数的解析式；
(2)若将函数图像上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向右平移个单位，得到函数的图像，若在区间上的最小值为，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将用三角恒等变换公式化简，再根据最大值和相邻两条对称轴之间的距离分别求出a和代入即可；（2）根据三角函数图像变换规律，得到函数的解析式，再根据正弦函数的图像与性质求的最大值.
【详解】（1），
因为的最大值为1，的相邻两条对称轴之间的距离为
所以，，解得，，所以
（2）将函数图像上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的，可得函数的图像，再将其向右平移个单位可得函数的图像，所以，
因为，所以，
因为在区间上的最小值为，
所以，，解得．所以的最大值为．
18．已知正项数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，作差得到，即可得到是以为首项，为公差的等差数列，从而求出其通项公式；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得.
【详解】（1）解：因为，即①，
当时，解得或（舍去），
当时②，
①②时，即，
即，即，
因为，所以，即，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以.
（2）解：由（1）可得，
所以
.
19．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线过F且与抛物线交于A，B两点，线段的垂直平分线交轴于点N，交于点M，求证：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据抛物线的定义可求得，即可得抛物线方程；
（2）根据直线与抛物线的位置，分别求解线段，即可验证.
【详解】（1）解：点在抛物线上，由抛物线的定义得故，所以．
（2）解：由题意知直线l的斜率存在且不为0，
∵直线l过焦点F，故设直线l的方程为，设．
由，得，
∴．
∴，
∴．
∴的方程为．
令，解得，
∴，∴，为定值．
20．已知函数在点处的切线与y轴垂直.
（1）若，求的单调区间；
（2）若，成立，求a的取值范围
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）令f′（1）＝0求出b，再根据f′（x）的符号得出f（x）的单调区间；
（2）分类讨论，分别求出在（0，e）上的最小值，即可得出a的范围．
【详解】（1），由题，
解得，由，得.
因为的定义域为，所以，
故当时，， 为增函数，
当时，，为减函数，
（2）由（1）知，
所以
（ⅰ）若，则由（1）知，即恒成立
（ⅱ）若，则且
故当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
，即恒成立
（ⅲ）若，则且
故当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
由题只需即可，即，解得，
而由，且，
得
（ⅳ）若，则，为增函数，且，
所以，，不合题意，舍去；
（ⅴ）若，则，在上都为增函数，且
所以，，不合题意，舍去；
综上所述，a的取值范围是
【点睛】本题考查了函数单调性与导数的关系、导数的几何意义，函数恒成立问题与函数最值的计算，考查了分类讨论思想，属于中档题．
21．已知椭圆的离心率为，过右焦点作与轴垂直的直线，与椭圆的交点到轴的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，过点的直线与椭圆交于两点（不在轴上），若，求四边形面积的最大值.
【答案】（1）；（2）3.
【分析】（1）由，结合解方程组即可；
（2）设，联立直线与椭圆的方程得到根与系数的关系，因为，可得四边形为平行四边形，，将根与系数的关系代入化简即可解决.
【详解】(1)由已知得，
直线经过右焦点，
，
又，，
故所求椭圆的方程为.
（2）过的直线与椭圆交于两点（不在轴上），
设，由，得，
设，则，
，
四边形为平行四边形，
，
令，
得，
由对勾函数的单调性易得当，即时，.
【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的方程、椭圆中面积的最值问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是．
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，点，求的值．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）消去参数可得C的普通方程，根据极坐标与直角坐标转化公式可求直线直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程代入椭圆普通方程，消元后根据参数的几何意义求解.
【详解】（1）由（为参数），得，
故曲线C的普通方程为．
由，得，
故直线l的直角坐标方程为．
（2）由题意可知直线l的参数方程为（t为参数）．
将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程并整理得，
设A，B对应的参数分别是，，
则，，
故．
23．已知函数的最小值为．
(1)求；
(2)已知为正数，且，求的最小值．
【答案】(1)
(2)12
【分析】（1）方法一：由题知，进而分类讨论求解即可；
方法二：根据绝对值三角不等式求解即可；
（2）结合（1）得，进根据基本不等式求解即可.
【详解】（1）解：方法一：
依题意得：，
当时，，
当时，，
当时，，
综上，当时，取得最小值1，即的最小值．
方法二：
根据绝对值三角不等式可得：，
当且仅当，即时等号成立，
所以，的最小值．
（2）解：由（1）知，，
（当且仅当时等号成立），
∴，
当且仅当，即，时等号成立，
∴的最小值为12．