2023届四川省南充市南充高级中学高三上学期第三次质量检测数学（理）试题（解析版）

这是一份2023届四川省南充市南充高级中学高三上学期第三次质量检测数学（理）试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【分析】根据不等式的解法，求得，结合补集的运算，即可求解.
【详解】由不等式，解得，即，
根据补集的概念及运算，可得或.
故选：D.
2．若向量与分别用复数与表示，则用复数表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由结合复数的运算求解即可.
【详解】因为向量与分别用复数与表示，
所以用复数表示为
，
故选：B.
3．已知，是两个具有线性相关的两个变量，其取值如下表：
其回归直线过点的一个充要条件是（ ）A．B．
C．D．，
【答案】C
【分析】求出数据的样本中心点，根据回归直线过样本中心点，结合已知即可确定题设的充要条件.
【详解】由题设，，，又、都在回归直线上，
所以，必有，故，
故回归直线过点的一个充要条件是.
故选：C
4．已知等比数列满足，则的值为
A．2B．4C．D．6
【答案】B
【分析】根据题意和等比数列的性质求出，结合计算即可.
【详解】根据等比数列的性质可得，∴，
即，解得，
又∵，，故可得，
故选：B
5．设满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．0B．
C．D．2
【答案】D
【分析】根据题意，作出可行域，又，它表示区域内动点与原点连线的斜率，利用数形结合即可求解．
【详解】可行域如图所示．
又，它表示区域内动点与原点连线的斜率，
其最大值为直线的斜率，而，故，
所以的最大值为．
故答案为：D.
【点睛】本题考查分式型目标函数的最值，属基础题.
6．已知直线与圆相交于、两点，点在圆上，且满足，则满足条件的点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】本题首先可确定圆心与半径，然后求出圆心到直线的距离以及弦长，再然后求出点到直线的距离，最后根据两侧圆上的点到直线的最大距离分别为和即可得出结果.
【详解】，，
圆心，半径，
则圆心到的距离，
弦长，
设点到的距离为，
则，解得，
因为两侧圆上的点到直线的最大距离分别为和，
所以满足条件的点个数为，
故选：D.
7．若a＞b＞c，则使恒成立的最大的正整数k为
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【详解】试题分析：，，，且，又，，故的最大整数为，故选C.
考点: 1、基本不等式求最值；2、不等式的性质及不等式恒成立问题.
8．函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．D．
【答案】B
【分析】根据奇偶函数的定义，结合函数的周期性、对称性，整理化简，即可得答案.
【详解】因为是奇函数，
∴，
∵是偶函数，
∴，即，
，
则，即周期为8；
另一方面，
∴，即是偶函数.
故选：B.
9．从今年8月开始，南充高中教师踊跃报名志愿者参加各街道办、小区、学校的防疫工作，彰显师者先行、师德担当的精神，防疫工作包含扫描健康码、取咽拭子、后勤协调三项工作，现从8名教师自愿者中，选派5人担任扫描健康码、取咽拭子、后勤协调工作，要求每项工作都有自愿者参加不同的选派方法共有（ ）种
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】选派5人担任扫描健康码、取咽拭子、后勤协调三项工作，分为两种情况：有三人担任同一项工作、有两人担任同一项工作，另两人担任另外同一项工作，再根据分类加法计数原理计算即可.
【详解】选派5人中有三人担任同一项工作，不同的选派方法有种，
选派5人中有两人担任同一项工作，另两人担任另外同一项工作，不同的选派方法有种，
根据分类加法计数原理，不同的选派方法共有种.
故选：D .
10．已知F是椭圆的一个焦点，若存在直线与椭圆相交于A，B两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由椭圆的性质可得四边形为平行四边形，可得，在三角形中有余弦定理及均值不等式可得离心率的取值范围．
【详解】解：连接，与左右焦点，的连线，
由，由椭圆及直线的对称性可得四边形为平行四边形，，
在三角形中，，
所以，即，当且仅当时等号成立，又直线的斜率存在，故，
即，可得，
所以椭圆的离心率.
故选：A．
11．已知函数在处取得最大值，则下列判断正确的是（ ）
①，②，③，④
A．①③B．②③C．①④D．②④
【答案】B
【分析】，，，令，利用导数研究函数的单调性极值与最值，即可得出结论．
【详解】解：，，，
令， ，
可得函数在上单调递增，在上单调递减．
时，；（1）；
（3），（4），
存在唯一，满足．
使得函数在单调递增，在，上单调递减．
函数在处取得极大值即最大值，
满足，
因此②③正确．
故选：B．
12．已知函数.若函数 在区间内没有零点 ， 则的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】 ，
, 函数 在区间内没有零点
(1) ，则 ，则 ，取 ， ；
（2），则 ，解得： ，取 ， ；
综上可知： 的取值范围是，选.
【点睛】有关函数求的值及取值范围问题是近几年高考的重点考题，应引起足够的注意.本题首先利用降幂公式和辅助角公式把函数的解析式化为标准型，函数 在区间内没有零点，根据的范围求出的范围，使其在或在内，恰好函数无零点，求出的范围.
二、填空题
13．若，则__________
【答案】
【分析】将对数方程化为指数方程，解指数方程即可．
【详解】解：
且
解得：，
故答案为：
14．已知一个圆锥的体积为，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径为_________
【答案】
【分析】根据圆锥的体积公式以及侧面公式即可求解.
【详解】设圆锥的母线和底面圆半径分别为，则圆锥的高为 ，
由，故
由，故 ，解得 ，
故答案为：
15．若 ，则的值 ___________________.
【答案】
【分析】根据赋值法分别令、，然后可得.
【详解】令，得，令，得，所以
故答案为：
16．等腰直角三角形（）的直角边长，、是三角形内的两点，且满足，，则__________
【答案】.
【分析】由结合正弦定理和向量的运算可得为的内心，由，可得，则得在的平分线上，延长交于点，可求得，从而可得的值，记的周长为，可求得内切圆半径，从而可求得，进而可得.
【详解】因为，
所以由正弦定理得，
所以，
所以，
所以，
所以在的角平分线上，
同理可得在的角平分线上，
所以为的内心，
因为，，
所以，
所以可知点在的平分线上，
延长交于点，则，，
所以，
所以，
所以
记的周长为，则内切圆半径为
，
所以，
所以
所以，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：此题考查向量数的数量积运算，考查正弦定理的应用，解题的关键是对由正弦定理化为，现变形得，则得在的角平分线上，从而可得为的内心，然后再利用向量的数量积运算求解即可，考查数学转化思想和计算能力，属于难题..
三、解答题
17．已知，将的图象向右平移单位后，得到的图象，且的图象关于对称．
(1)求；
(2)若的角A，B，C所对的边依次为a，b，c，且，若点D为边靠近B的三等分点，试求的长度．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用三角恒等变换化简，根据三角函数图象的变换求得，再根据其对称中心，即可求得参数；
（2）根据（1）中所求，求得，再利用余弦定理求得，再在△中，利用余弦定理，即可求得.
【详解】（1）因为
．
又将的图象向右平移单位后，得到的图象
则，又其一个对称中点为，
故将代入，则，解得，
故当时，满足题意，∴.
（2）由（1）可知，又，则或，
则或，即或，
又，故可得，又，
故在△中，由余弦定理可得，
则，又为边上靠近点的三等分点，故；
又，
在中，由余弦定理可得：,
故可得即为所求.
18．2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲､乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，其中.
(1)若，分别求出该考生报考甲､乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据独立事件的乘法公式和二项分布的概率公式求解即可；
（2）该考生报考甲大学通过的科目数为，报考乙大学通过的科目数为，进而结合二项分布求解，根据独立事件的乘法公式求解的分布列及其期望，进而结合题意求解.
【详解】（1）解：设“该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目”为事件，“该考生报考乙
大学恰好通过一门笔试科目”为事件，
根据题意可得，
（2）解：设该考生报考甲大学通过的科目数为，报考乙大学通过的科目数为，
根据题意可知，，所以，，
，
，
.
则随机变量的分布列为：
，
若该考生更希望通过乙大学的笔试时，有，
所以，又因为，所以，
所以，的取值范围是.
19．如图，在四边形中，，，，.沿将翻折到的位置，使得.
（1）作出平面与平面的交线，并证明平面；
（2）点是棱于异于，的一点，连接，当二面角的余弦值为，求此时三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）延长，相交于，连接，则为平面与平面的交线，由勾股定理可得，结合可得平面，在判断出平面即可证明；
（2）以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，设，由二面角的余弦值为建立向量关系，求出即可求出体积.
【详解】（1）如图，延长，相交于，连接，则为平面与平面的交线.
证明：在中，，，，则，所以.
由，，，得平面.
又，所以平面，所以.
由，，，得.
所以，所以.
又因为，所以平面，即平面.
（2）由（1）知，，，.以点A为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
易得，，，，，则.
设（），则，则.
设是平面的一个法向量，
则，
令，则.
是平面的一个法向量.
由，解得.
所以点是的中点.
所以.
【点睛】利用法向量求解空间面面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
20．已知函数有两个不同的零点，．
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，求出函数的最小值，结合已知条件可得到关于a的不等式求解即可；
（2）构造函数，利用导数研究函数的单调性及最值可知，再结合的单调性可证得结论.
【详解】（1）函数，函数的定义域为，求导
当时，，为减函数；当时，，为增函数，
故当时，函数取最小值且，
若函数有两个不同的零点，则，即
所以实数的取值范围为
（2）证明：若函数有两个不同的零点，．不妨设，
则，且，
若证，即证，
令，，
求导，，
令，则，所以单调递增，则，
所以，函数单调递减，所以，
即，，
又，所以
因为在区间上单调递增，所以，
故原不等式得证．
【点睛】思路点睛：本题第一问主要考查利用导数解决函数的零点问题，第二问考查转化思想，将证，转化为证，构造函数，利用导数研究函数的单调性及最值可知，再结合的单调性可证得结论，考查学生的转化思想及运算求解能力，属于难题．
21．在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点为直线：与椭圆：的一个交点，且，.
（1）证明：直线与椭圆相切；
（2）已知直线与椭圆：交于，两点，且点为的中点.
（i）证明：椭圆的离心率为定值；
（ii）记的面积为，若，证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析；
【分析】（1）联立椭圆与直线的方程，得关于的一元二次方程，由表示出，代入，计算得，可证明直线与椭圆相切；
（2）（i）联立方程，得关于的一元二次方程，由韦达定理代入化简得的关系，即可求得离心率；（ii）由弦长公式表示出，利用点到直线距离公式求解的高，代入面积公式，化简计算得，即可证明.
【详解】（1）由题意，，得，
所以，
因为点为直线与椭圆的一个交点，且，
所以，代入的表达式可得，
，
所以直线与椭圆相切；
（2）（i），可得，
由韦达定理知，，又因为点为的中点，
所以，解得，
所以为定值；
（ii），
所以，
由（i）中韦达定理知，，
所以，因为，
代入化简得，因为，所以，
证明，只需证，又因为显然成立，
所以成立.
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．若正方形的顶点都在上，且，，，依逆时针次序排列，点的极坐标为．
（1）求点，，，的直角坐标；
（2）设为上任意一点，求的取值范围．
【答案】（1）点的直角坐标是，点的直角坐标是，点的直角坐标是，点的直角坐标是；（2）．
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标之间的互化：即可求解.
（2）根据直角坐标与极坐标的互化可得，即，利用椭圆的参数方程以及两点间的距离公式，结合三角函数的性质即可求解.
【详解】解：（1）点的直角坐标是，
点的直角坐标是，
点的直角坐标是，
点的直角坐标是．
（2）方程可化为
把，代入上式得，
即，设，
则
．
23．已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）记集合中的最大元素为，若不等式在上有解，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）易得，再分，，三种情况讨论求解；
（2）由（1）得到，由 ，转化为在有解，由求解.
【详解】（1）由题意可知：．
当时，原不等式可化为，解得，∴
当时，原不等式可化为，解得，∴
当时，原不等式可化为，解得，∴
综上，不等式的解集．
（2）由题意：，则不等式等价为：，
∵，∴，
∴，即，
要使不等式在有解，则，
因为在上递增，所以，
因为在上递减，所以，
∴．
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间D上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
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