2023届四川省蓬溪县蓬南中学高三上期第四次月考数学试题（解析版）

这是一份2023届四川省蓬溪县蓬南中学高三上期第四次月考数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届四川省蓬溪县蓬南中学高三上期第四次月考数学试题 一、单选题1．设集合，Z为整数集，则中元素的个数是A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【详解】试题分析：由题意，，故其中的元素个数为5，选C.【解析】集合中交集的运算.2．设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为(　　)A．－15x4 B．15x4 C．－20ix4 D．20ix4【答案】A【详解】试题分析：二项式的展开式的通项为，令，则，故展开式中含的项为，故选A.【解析】二项展开式，复数的运算【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式可以写为，则其通项为，则含的项为． 3．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【答案】D【详解】试题分析：由题意，为得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，故选D.【解析】三角函数图象的平移【名师点睛】本题考查三角函数图象的平移，在函数的图象平移变换中要注意“”的影响，变换有两种顺序：一种的图象向左平移个单位得的图象，再把横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，另一种是把的图象横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，再向左平移个单位得的图象．4．已知等差数列的前项和为，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．【详解】设等差数列的公差为，∵，∴．解得：，．则．故选：C．5．2020年初，新型冠状病毒引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：周数治愈人数 由表格可得关于的线性回归方程为则此回归模型第周的残差(实际值与预报值之差)为（    ）A． B．              C．              D．【答案】B【分析】将样本中心点的坐标代入回归直线方程，求出的值，可得出回归直线方程，再将代入回归直线方程，用13减去所得结果即可得解.【详解】由表格中的数据可得，，由于回归直线过样本的中心点，则，解得，回归直线方程为，将代入回归直线方程可得，因此，第周的残差为.故选：B.6．已知向量，的夹角为，，，则等于A． B． C． D．【答案】A【分析】将化为，根据模长公式和平面向量的数量积的定义可得结果.【详解】因为，所以，因为，所以，所以，解得，故选：A【点睛】本题考查了平面向量的模长公式，考查了平面向量的数量积的定义，属于基础题.7．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312【答案】A【详解】试题分析：该同学通过测试的概率为，故选A．【解析】次独立重复试验． 8．已知，满足约束条件，则的最大值为（    ）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】先画出可行域，由于表示点与连线的斜率，所以结合图形可求得其最小值.【详解】可行域如图所示，表示点与连线的斜率，由图可知，直线过点时，直线的斜率最大，由，得，即，所以所以的最大值为1.故选：B9．已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）【答案】C【详解】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.10．已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且 则双曲线的方程为A． B．C． D．【答案】A【详解】分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后利用离心率求解a的值即可确定双曲线方程.详解：设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择A选项.点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.11．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为A． B． C． D．【答案】A【分析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为，故选A.点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.12．已知直线是曲线与曲线的一条公切线，与曲线切于点，且是函数的零点，则的解析式可能为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】设公切线在曲线上的切点坐标为，在曲线上的切点坐标为，利用导数的几何意义可得出，消去可得出关于的等式，即可得出函数可能的解析式.【详解】由，可得.由，可得.设公切线在曲线上的切点坐标为，在曲线上的切点坐标为，则，整理可得①.曲线在点处的切线方程为，即，曲线在点处的切线方程为，即，所以，，即②，将①代入②中整理可得.因为是函数的零点，所以的解析式可能为.故选：B. 二、填空题13．如图是一个算法流程图，若输出的值为，则输入的值是_____.【答案】【分析】根据指数函数的性质，判断出，由此求得的值.【详解】由于，所以，解得.故答案为：【点睛】本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值，考查指数函数的性质，属于基础题.14．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|+2，曲线C2的方程为（x+1）2+y2＝4，若C1与C2有且仅有三个公共点，则实数k的值为__．【答案】【分析】根据C1与C2有且仅有三个公共点，由圆心到直线y＝kx+2的距离等于圆的半径求解.【详解】由C1与C2有且仅有三个公共点如图：由题意可知，k＜0，C2（﹣1，0），故C2到直线y＝kx+2的距离等于圆的半径，即，解得k＝0或，又k＜0，∴．故答案为：15．已知函数，方程在区间有且仅有四个根，则正数的取值范围是_________．【答案】【分析】由方程得到，，然后得到的范围，根据原方程在区间有且仅有四个根，列出不等式，求解即可得到结果.【详解】由，可得，所以，又因为当时，，所以的可能取值为因为原方程在区间有且仅有四个根，所以，解得即的取值范围是故答案为：16．在底面是正方形的四棱锥中，底面，点为棱的中点，点在棱上，平面与交于点，且，，则四棱锥的外接球的表面积为______.【答案】【解析】如图所示，延长，，交于，连接，与交于，则，过做，与交于，则，可得出长度，即可的外接球的表面积．【详解】解：如图所示，延长，，交于，连接，与交于，则，过做，与交于，则．，底面是正方形的四棱锥，连接和交于，设球心为，可得．球心到，，，距离等于球的半径，，外接球的表面积．故答案为：．【点睛】本题考查棱锥的结构特征，考查平面与平面交线的求法，球的表面积，其中根据已知求出半径是解答的关键．属于中档题 三、解答题17．年四川持续出现高温天气，导致电力供应紧张．某市电力局在保证居民生活用电的前提下，尽量合理利用资源，保障企业生产．为了解电力资源分配情况，在8月初，分别对该市A区和区各10个企业7月的供电量与需求量的比值进行统计，结果用茎叶图表示如图． 不受影响受影响合计A区   B区   合计    (1)求区企业7月的供电量与需求量的比值的中位数；B区7月的供电量与需求量的比值的平均数；(2)当供电量与需求量的比值小于时，生产要受到影响，统计茎叶图中的数据，填写2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为生产受到影响与企业所在区有关？附：；临界值表：  【答案】(1)中位数为，平均数为0.798(2)列联表见解析，没有 【分析】（1）根据中位数和平均数的定义直接求解即可；（2）根据茎叶图中的数据完成列联表，然后根据公式计算，再根据临界值表判断即可.【详解】（1）A区供电量与需求量的比值由小到大排列为则第5个数，第6个数分别为，故所求中位数为；B区供电量与需求量的比值平均数为；（2）由2×2列联表为： 不受影响受影响合计区7310区4610合计11920 没有95%的把握认为生产有影响与企业所在区有关.18．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求角B的大小；（2）设a=2，c=3，求b和的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【详解】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因为a<c，故．因此， 所以， 点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．19．给定数列，若满足，对于任意的，都有，则称为“指数型数列”.若数列满足：；(1)判断是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)是，证明见解析(2) 【分析】（1）首先将原式化简整理成，根据等比数列的定义证明为等比数列，再根据等比数列的首项和公比求解的通项公式，最后通过通项公式证明是“指数型数列”；（2）首先根据（1）求解出，然后根据分组求和求解的前项和即可.【详解】（1）将两边同除得：，是以为首项，公比为的等比数列，是“指数型数列”（2）因为，则.20．如图，在四棱锥中，侧面底面，底面平行四边形，，,，为的中点，点在线段上.(1)求证：；(2)试确定点的位置，使得直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）先证明，，从而平面，然后可得；（2）以为原点，直线，，为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系设，然后求出平面的法向量为、平面的法向量为及的坐标，由已知得，即，化简可得的值，即可确定点的位置.【详解】(1)证明:　如图，在平行四边形中，连接，因为，，，由余弦定理得，，得，所以，所以，即.又，所以，因为，，所以，所以，又，所以平面，所以.(2)解:因为侧面底面，，所以底面，所以直线，，两两互相垂直，以为原点，直线，，为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，,，，，所以，，.设，则，，所以，易得平面的一个法向量为.设平面的法向量为，由得，令，得.因为直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，所以，即，所以，解得，所以.即当时，直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等.【点睛】本题第一问通过线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明线线垂直，第二问主要通过建立空间直角坐标系并分别求出平面的法向量为、平面的法向量为及的坐标，把直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等的问题转化为的问题，综合性强，对运算能力要求高，属中等难度题.21．已知函数的两个极值点满足，且，其中为自然对数的底数．（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【详解】分析：（Ⅰ）由题设有，因为有两个极值点且，所以有两个不同解为，故，结合题设有，从而得到.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以，又，从而，其中，利用导数可以求出该函数的值域.详解：（Ⅰ），由题意知即为方程的两个根.由韦达定理：，所以且.令， 则由可得，解得.（Ⅱ），∵，∴，由（Ⅰ）知，代入得，令，于是可得，故∴在上单调递减，∴.点睛：（1）因为函数在上导数是存在的，所以函数的极值点即为导数的零点，也是对应的一元二次方程的根，利用根分布就可以求出参数的取值范围.（2）复杂的多元函数的最值问题可以先消元处理，再利用导数分析函数的单调性从而求出函数的值域.22．在平面直角坐标中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线的普通方程；(2)在平面直角坐标中，若过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求证：成等差数列．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）首先通过参数方程中两个式子相比得，再将其代入中消掉参数即可得到曲线的普通方程；（2）首先根据已知条件求出直线的参数方程，然后将参数方程代入曲线的普通方程中，进而通过参数方程的几何意义求解出与的值，最后通过等差中项性质进行证明即可.【详解】（1）由得，代入整理得，即，∵，则，，故曲线的普通方程为，（2）由题意可得：直线l的参数方程为（t为参数），代入，整理得，设直线与曲线的交点，对应的参数值分别为，，∴，，则，即，∴成等差数列23．已知函数（1）若关于的不等式的解集为，求的值；（2）若不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【分析】（1）对平方处理，由题可得是关于的方程的两根，利用韦达定理即可得解；（2）根据绝对值三角不等式求解最值解决恒成立问题.【详解】（1），即，两边平方并整理得，由已知是关于的方程的两根，由韦达定理得，又因为，解得.（2）因为，所以不等式恒成立，只需，当时，，解得或；当时，，解得.综上可知实数的取值范围是【点睛】此题考查根据不等式的解集求参数的取值，根据不等式恒成立求参数的取值范围，涉及绝对值三角不等式.