2023届天津市实验中学滨海学校高三上学期期中数学试题（解析版）

2023届天津市实验中学滨海学校高三上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先由补集的定义求出，再由并集的定义得答案.

【详解】∵全集，集合

∴，又

∴.

故选：C.

2．已知向量，且，则x＝（　　）.

A．8 B．2 C．4 D．

【答案】A

【分析】由向量垂直得到方程，求出的值.

【详解】由题意得：，解得：.

故选：A

3．若a，b均为实数，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据函数与解不等式，即可判断.

【详解】解：因为，由函数在上单调递增得：

又，由于函数在上单调递增得：

由“”是“”的充分不必要条件

可得“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

4．函数的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题意，去掉绝对值，变函数为分段函数，结合导数研究其单调性，可得答案.

【详解】由函数，

当时，，易知单调递增，

且，可得下表：

则，

当时，，令，

，令，解得，可得下表：

则，即，则单调递增.

故选：A.

5．若，则（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】C

【分析】由已知表示出，再由换底公式可求.

【详解】，，

.

故选：C.

6．已知 ， 则 （    ）

A．506 B．1011 C．2022 D．4044

【答案】D

【分析】根据累乘法得，再根据通项公式求解即可.

【详解】解：，

，

，，

，，

显然，当时，满足，

∴，

.

故选：D.

7．已知函数，，，，则、、的大小关系为（    ）

A． B．    

C． D．

【答案】D

【分析】先判断函数是奇函数，同时又是增函数，结合指数幂和对数的性质判断三个变量的大小，结合单调性进行判定，即可得到答案.

【详解】函数是奇函数，当时，，由

所以在上为增函数，

又由

所以，又，所以，

所以，

故选：D.

8．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走315里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人第一天走的路程为（    ）

A．180里 B．170里 C．160里 D．150里

【答案】C

【分析】根据题意，设此人每天所走的路程数为数列，其首项为，分析可得是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的前项和公式可得，解可得的值，即可得答案．

【详解】解：根据题意，设此人每天所走的路程为数列，其首项为，即此人第一天走的路程为，

又由从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，则是以为首项，为公比的等比数列，

又由，即有，

解得：；

故选：．

【点睛】本题考查等比数列的通项公式与求和公式，关键是依据题意，建立等比数列的数学模型，属于基础题．

9．已知函数，则下列结论中错误的是（    ）

A．的最小正周期为

B．是图象的一个对称中心

C．是图象的一条对称轴

D．将函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象

【答案】B

【分析】利用三角恒等变换化简函数可得，再根据正弦函数的性质及平移变换的特征逐一分析，即可得出答案．

【详解】解：

，

对于A，，故A正确；

对于B，因为，

所以不是图象的一个对称中心，故B错误；

对于C，因为为最大值，

所以是图象的一条对称轴，故C正确；

对于D，将函数的图象向左平移个单位长度，

即可得到函数的图象，故D正确．

故选：B．

10．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（    ）

A．1 B．-1 C．2 D．-2

【答案】B

【分析】根据f（x）是R上的奇函数，并且f（x+1）=f（1-x），便可推出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期为4，而由x∈[0，1]时，f（x）=2x-m及f（x）是奇函数，即可得出f（0）=1-m=0，从而求得m=1，这样便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）=-1．

【详解】∵是定义在R上的奇函数，且；

∴；

∴；

∴的周期为4；

∵时，；

∴由奇函数性质可得；

∴；

∴时，；

∴.

故选：B.

【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值，此类问题一般根据条件先推导出周期，利用函数的周期变换来求解，考查理解能力和计算能力，属于中等题.

11．已知函数，对任意的，，总有成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知可得在为增函数，分段函数两段均为单调递增，而且右段的最低点不低于左段的最高点，即可求解.

【详解】∵对任意的，，总有成立，

不妨设，

∴函数在定义域上是增函数，

∴，解得，

故选：C.

【点睛】本题考查分段函数的单调性，要注意分段函数各段单调性相同的区间合并的条件，属于基础题.

12．已知函数，，若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，则的图象可由的图象上下平移得到，作出函数与的图象，由题意，原问题等价于与的图象有三个不同的交点，结合图象列出不等式组求解即可得答案．

【详解】解：设，作出函数和的图象如图，

则的图象可由的图象上下平移得到，

要使方程恰有三个不相等的实数解，等价于与的图象有三个不同的交点，

由图象可知，只须满足，即，解得，

所以实数的取值范围是，，

故选：A．

二、双空题

13．已知是的共轭复数，且满足（其中是虚数单位），则z的模为________，虚部为_________

【答案】         

【分析】根据复数的除法运算求得，可得复数z，根据复数模的计算以及虚部的概念，即可得答案.

【详解】因为，所以，

故 ，z的虚部为2，

故答案为：

三、填空题

14．将函数y=sin(2x+（0的图像向左平移个单位后，得到的函数恰好为偶函数，则__________

【答案】##

【分析】由题设知是一个偶函数，进而可得，结合已知即可求.

【详解】由题意，是一个偶函数，

∴则，又 ,

∴

故答案为：

15．已知平面向量满足，且与的夹角为，则_________．

【答案】

【分析】直接由结合已知条件求解即可

【详解】因为平面向量满足，且与的夹角为，

所以

，

故答案为：

16．已知数列的前项和为，若，，则的最大值为________.

【答案】57

【分析】先判定数列为等差数列，再令，解得.可得的最大值为，即得解.

【详解】因为，，

所以，

所以数列为等差数列，

令，解得.

所以

则的最大值为.

故答案为：57.

【点睛】本题考查等差数列的判定，考查等差数列的通项公式与求和公式，考查了等差数列前项和最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

17．若，，则的最小值为___________.

【答案】8

【分析】，然后利用基本不等式求解即可.

【详解】因为，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

故答案为：8

18．如图，在直角梯形中，已知，，，对角线交于点，点在上，且满足，则的值为___________.

【答案】

【分析】建立平面直角坐标系如图，分别表示出，，再根据平面向量数量积的坐标表示计算可得；

【详解】解：如图以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系；

则，，，；

则，

因为

所以，所以是的一个三等分点，且

所以，．

设，则，，

因为，所以，解得．

则，，

所以．

故答案为：．

【点睛】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的坐标表示，考查计算能力．

四、解答题

19．在中，角的对边分别为，且满足．

（Ⅰ）求角;

（Ⅱ）若，求．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】(1)利用正弦定理边化角公式可得,再将

整理可得；

(2)根据余弦定理可得，，再由正弦、余弦定理的二倍角公式求得，根据余弦的差角公式可求得答案.

【详解】（1）由正弦定理知，

有，且，

所以，

由（1）得

所以，，，，

所以.

【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，以及正弦、余弦的二倍角公式，余弦的差角公式，属于中档题.

20．已知是等比数列，且，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设等比数列的公比为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，利用等比数列的通项公式可求得结果；

（2）求得，利用分组求和法可求得.

【详解】（1）解：设等比数列的公比为，则，

由题意可得，解得，则.

（2）解：因为，

所以，

.

21．已知等比数列的前n项和为，且，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列及数列的前n项和．

(3)设，求的前2n项和．

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】（1）由及可得q的值，由可得的值，可得数列的通项公式；

（2）由可得，可得=，利用错位相减法即得；

（3）可得，利用裂项相消法即得.

【详解】（1）由题意得：，可得，

∴，

由，可得，

由，可得，

∴，

可得；

（2）由，可得，

由，可得，

∴，

可得的通项公式：=，

可得：，

，

∴

，

∴；

（3）由，可得

，

可得：

.

22．已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点（1，）处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）已如函数，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）在（0，）递增，在递减；（Ⅲ）.

【分析】（Ⅰ）求函数导数得切线斜率，进而由点斜式即可得解；

（Ⅱ）求函数导数，根据导数的正负即可得单调区间；

（Ⅲ）由（Ⅱ）得的最大值是，，，不等式恒成立，转化为恒成立，再求的导数，讨论单调性求最值即可.

【详解】（Ⅰ）∵，定义域是，

∴，，，

故切线方程为，即；

（Ⅱ）由（Ⅰ），

令，解得，令，解得，

故在（0，）递增，在递减；

（Ⅲ）由（Ⅱ）得的极大值是，

即的最大值是，

∵，∴，

令，解得或，

若，，不等式恒成立，

则时，恒成立，

①当即时，在上单调递增，

此时，令，得；

②当时，即时，在递减，在递增，

此时，

令，解得，不符合题意；

③当即时，在递减，

故，

令，解得，不符合题意

综上，实数的取值范围是．

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，，，.

（1）若，，有成立，则；

（2）若，，有成立，则；

（3）若，，有成立，则；

（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.