2023届天津市第七中学高三上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份2023届天津市第七中学高三上学期12月月考数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届天津市第七中学高三上学期12月月考数学试题 一、单选题1．设集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】解不等式得集合B，再求A与B的交集即可得解.【详解】解不等式得，于是得，而，所以.故选：B2．已知命题：“”；命题：“函数单调递增”，则是的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不必要又不充分条件【答案】A【分析】通过导数研究的单调性，以此判断命题p与的关系即可.【详解】当时，，因，，则，得单调递增，有，即p是的充分条件.当函数单调递增，有恒成立，得，有不能推出p（a可以等于1）.即p不是的必要条件.综上：p是的充分不必要条件.故选：A3．函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用函数的奇偶性可排除B;比较A，C，D的图象可知，三者的差异在于函数的正负，结合分母在上恒成立，故考虑结合对数函数的性质通过判断在上的正负进行判断,由此可判断A,C,D.【详解】函数的定义域为，因为，即函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B；当时，，，故，排除C，D，而对于A，为奇函数，函数值符合图象的变化规律，结合以上分析，A正确，故选：A.4．某校100名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，分数不低于a即为优秀，如果优秀的人数为20人，则a的估计值是（    ）．A．130 B．140 C．133 D．137【答案】C【分析】根据频率分别直方图性质求解即可.【详解】优秀的频率为，的频率为，的频率为，所以的值在之间.即，解得.故选：C.5．已知是定义在上的奇函数，且，对于上任意两个不相等实数和，都满足，若，，，则的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题知函数为偶函数，在上单调递增，进而根据结合函数的性质比较大小即可.【详解】解：因为是定义在上的奇函数，所以，所以，即函数为偶函数，因为对于上任意两个不相等实数和，都满足，所以函数在上单调递增，因为，因为，所以，，即.故选：A6．设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，则该直三棱柱的体积是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先设出棱长，表示出球半径，利用球的表面积求出棱长，然后利用柱体的体积公式可求体积.【详解】设.因为，所以.由正弦定理得是外接圆的半径），.又球心到平面的距离等于侧棱长的一半，所以球的半径为.所以球的表面积为，解得.因此该直三棱柱的体积是故选：A.7．设为双曲线T：（a＞0，b＞0）的右焦点，P是双曲线T右支上一点，且满足，线段的垂直平分线经过坐标原点，设M是线段的中点，若，则双曲线T的离心率为（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】由条件可得OM是的中位线，由此求出，并证明，结合双曲线定义可求，再根据勾股定理求，由此可得离心率.【详解】如图，设F1为双曲线T：的左焦点，依题意可得OM是的中位线，又，所以且，所以，又，故．，，则双曲线T的离心率为．故选：C.  8．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由三角函数图象平移规则求得函数，再利用正弦曲线的零点即可求得的取值范围【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，得到再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数由函数在上没有零点，则，则由，可得假设函数在上有零点，则，则由，可得又，则则由函数在上没有零点，且，可得故选：A9．已知函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析分段函数的性质，画出草图，易知有三个不同的零点，有，进而可得，即可求范围.【详解】由题设，当时，当时，当且仅当时等号成立，故，且上递增，上递减，当时单调递增，且，综上可得，如下函数图象：∴要使有三个不同的零点，则，由图知：有，当时令，则，有，，∴且，而在上递减，∴.故选：A【点睛】关键点点睛：分析分段函数的性质并画出草图，将题设的零点问题转化为与的交点问题，应用数形结合的思想，求出关于的解析式，由单调性求范围. 二、填空题10．若复数满足： ，则复数的虚部是_________．【答案】；【分析】根据复数及模的定义计算即可.【详解】设 ，由题意 得： ， ，解得 ,其虚部为-1；故答案为：-1.11．已知的展开式中第6项的系数为，则实数__________.【答案】【分析】根据指定项系数，结合展开式通项公式列方程求参数a即可.【详解】由题设，展开式通项为，所以，故，则，所以，又，故.故答案为：12．当圆C：截直线l：所得的弦长最短时，实数______【答案】【分析】根据直线方程，求其所过定点，整理圆的一般方程，明确圆心与半径，根据弦长公式，确定当弦长最短时，圆心到直线距离的取值，根据点到直线的距离公式，可得答案.【详解】由直线l：，整理可得，令，解得，则直线过定点，由圆C：，整理可得：，可知圆心，半径，因为，故在圆内，设圆心到直线的距离为，在弦长为，显然当取得最大值，弦长最短，在时，，则弦长的最小值为，此时，则，两边平方整理可得，解得，故答案为：.13．已知实数，满足，且满足，则的最小值是________．【答案】【分析】将原式子化简为，，展开后再用均值不等式得到最终结果.【详解】实数，满足，满足，变形得到 等号成立的条件为： 故答案为：.14．如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为_______.【答案】【解析】本题首先可以设向量与的夹角为，然后根据以及向量的运算法则得出，再然后建立直角坐标系，写出各点的坐标，设，则，，最后根据向量的数量积的坐标表示得出，根据二次函数性质即可求出最值.【详解】因为，所以向量与的夹角和向量与的夹角相等，设向量与的夹角为，因为，所以，即，整理得，解得，，如图，过点作垂线，垂足为，建立如图所示的直角坐标系，易知，，，，则，，，，，，，因为，所以当时，取最小值，最小值为，故答案为：.【点睛】方法点睛：本题考查向量的数量积的求法，可通过建立直角坐标系的方式进行求解，考查向量的运算法则，考查向量的数量积的坐标表示，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题. 三、双空题15．教育部决定自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称强基计划）．强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀成基础学科拔尖的学生，强基计划的校考由试点高校自主命题．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目，且每门科目是否通过相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率分别为该考生报考乙大学，每门科目通过的概率均为，设A为件“该考生报考乙大学在笔试环节至少通过二门科目”，事件A发生的概率为________，设X为该考生通过甲大学的笔试环节科目数，随机变量X的数学期望为________．【答案】          【分析】（1）先分析出事件A包含该考生报考乙大学在笔试环节通过二门科目和通过三门科目，利用独立重复试验的概率公式求概率；（2）分析出X的值可能为0,1,2,3，分别利用独立重复试验的概率公式求概率，再求分布列即可.【详解】（1）事件A：该考生报考乙大学在笔试环节通过二门科目和通过三门科目，所以.（2）由题意可得,X的值可能为0,1,2,3.；；；.即随机变量X的数学期望为：. 四、解答题16．已知函数在处取得最大值.(1)求函数的最小正周期；(2)若的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，求a.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，结合以及求解即可；（2）由以及，可得，再结合三角形内角和以及正弦定理，即得解.【详解】（1）由题意，.由题意可知，可得.因为，所以，故，所以函数的最小正周期为.（2）由可得，故或.因为，所以.由，以及，可得，由正弦定理可得.17．如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点.(1)求证：平面；(2)若侧面底面，且，；①求与平面所成的角；②在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)①；②存在点， 【分析】（1）取线段的中点，连接，证明为平行四边形，即可证明结论；（2）①以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系如图所示，求出平面的一个法向量根据线面夹角向量公式即可求解；②设，则向量，根据点到直线距离向量公式解出参数，即可求出结果．【详解】（1）取线段的中点，连接，在中，分别为的中点.，且又底面是菱形，且为的中点，，且，，且四边形为平行四边形，又平面平面平面；（2）①在平面内过点作，由平面底面得平面，菱形中，则，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，是正三角形，则， ，，，设平面的一个法向量为，则，取，得，所以，设直线与平面所成的平面角为，且，则，故直线与平面所成的角为②设即化简得，故（舍负）综上，存在点，18．已知数列是公比的等比数列，前三项和为13，且，，恰好分别是等差数列的第一项，第三项，第五项．(1)求和的通项公式；(2)已知，数列满足，求数列的前2n项和；(3)设，求数列的前n项和．【答案】(1)（）；（）(2)（）(3)（） 【分析】（1）利用等比基本量法结合等差中项列式可求得通项公式，再利用等差基本量法求得通项公式；（2），令，得到，由裂项相消求得，令，得，由错位相减求得，即可求解；（3）代入得，对指数型式子配凑进行裂项可得，再由裂项相消即可求解.【详解】（1）（1）解：或，又，则，∴（）．设等差数列的公差为，由题意得，，，即，所以（）．（2）（2）解：时，，∴．时，∴，①，②由①②可得，∴∴（）．（3）（3）由（1）知，则∴故（）.19．已知两点在以为右焦点的椭圆C：上，斜率为1的直线l与椭圆C交于点(在直线MN的两侧)．(1)求椭圆C的方程；(2)求四边形面积的最大值．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）通过求出左焦点的坐标，利用椭圆的定义求出，再用算出，即可得到答案；（2）联立直线与椭圆的方程，可得，算出，则四边形ANBM的面积为，利用二次函数的性质即可求出最值.【详解】（1）∵右焦点为，∴左焦点为，所以，，∴，即，∴椭圆C的方程为；（2）设直线，联立可得①，设的坐标分别为，，解得，所以，∴，∴四边形ANBM的面积即：，∵当且仅当时，等号成立，验证：当时，①整理可得，解得，故交点在直线MN两侧，满足题意，∴四边形面积的最大值为.20．已知函数.(1)若函数有两个不同的零点，求的取值范围；(2)若函数有两个不同的极值点（其中），证明：.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）求导，分类讨论判断的单调性，进而根据零点运算求解；（2）根据极值点的概念整理原不等式可得，构建新函数，求导，利用导数证明.【详解】（1），当时，，所以在上单调递增，不可能有两个零点，舍去.当时，在上单调递减，在上单调递增，因为有两个不同的零点，则∴因为，所以在上存在一个零点；又当时，，所以在上也存在一个零点综上，（2）（），则.因为有两个不同的极值点，（），则，，要证，只要证，因为，所以只要证，又∵，，作差得，所以，所以原不等式等价于要证明，即.令，，则以上不等式等价于要证，.令，，则，，所以在上单调递增，，即，，所以.【点睛】对于，，常用作差建立关系，再结合题意化简整理，再利用导数证明不等式.