2023届天津市滨海新区塘沽第一中学高三上学期第三次月考数学试题（解析版）

2023届天津市滨海新区塘沽第一中学高三上学期第三次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据集合运算的定义计算．

【详解】由题意，，

．

故选：C．

2．设，则“”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】由，解得，由，可知“”是“”的充分不必要条件，选A.

3．已知奇函数，且在上是增函数.若，，，则a，b，c的大小关系为

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】因为是奇函数，从而是上的偶函数，且在上是增函数，

，

，又，则，所以即，

，

所以，故选C．

【解析】指数、对数、函数的单调性

【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.

4．某校抽取名学生做体能测认，其中百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间，将测试结果分成五组：第一组，第二组，，第五组．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩低于即为优秀，如果优秀的人数为人，则的估计值是（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用左边的矩形面积之和为列等式可求得实数的值.

【详解】优秀人数所占的频率为，

测试结果位于的频率为，测试结果位于的频率为，所以，，

由题意可得，解得.

故选：B.

5．函数的大致图像是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先根据判断出函数是奇函数，图像关于原点对称排除C选项，再根据函数值去进行排除即可.

【详解】由题意可知的定义域为，

∵，

∴为奇函数，其图像关于原点中心对称，∴排除C；

∵，∴排除A，

又，

故选B．

【点睛】本题考查图像的识别，此类问题一般利用函数的奇偶性，对称性，单调性，特殊值等进行判断.

6．三棱锥中，平面，其外接球表面积为，则三棱锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作图，分析图中的几何关系，根据条件求出三棱锥的高

【详解】依题意，三角形ABC的平面图如图1：

               图1

其中 是等腰 的外接圆的圆心， 是AC的垂直平分线， 是BC的垂直平分线， 在 的外部，

依题意有 ，  ；

三棱锥的直观图如图2：

              图2

外接圆的圆心为PB的中点D，

过 作垂直于平面ABC的垂线，过D作垂直于平面PAB的垂线，两垂线必相交于外接球的球心O，

外接球的半径 ，三棱锥P-ABC的高为PA，

则有 ，在 中， ，

三棱锥的体积为 ；

故选：D.

7．已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：双曲线的一条渐近线是，则①，抛物线的准线是，因此，即②，由①②联立解得，所以双曲线方程为．故选D．

【解析】双曲线的标准方程．

8．设都是正数，且，则下列结论错误的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先根据指对运算，利用对数表示，再利用换底公式和对数运算，判断选项.

【详解】设，所以，，，

A.由对数函数的单调性可知，，可知，故A正确；

B.

，故B错误；

C.，故C正确.

D.，则，故D正确.

故选：B

9．已知，给出下列结论：

①若，且，则；

②存在，使得的图像向左平移个单位长度后得到的图像关于轴对称；

③若，则在上单调递增；

④若在上恰有5个零点，则的取值范围为.

其中，所有正确结论的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】由二倍角公式可得，利用余弦函数的图像和性质判断各结论即可.

【详解】由题意可得，

①由且可得两相邻对称轴间的距离为，所以，解得，错误；

②的图像向左平移个单位长度得，

若关于轴对称，则，即，

解得，所以当时符合题意，正确；

③当时，所以当时，

因为在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，错误；

④设，当时，在上恰有5个零点，即在上有5个零点，

则，解得，正确；

综上②④正确，

故选：B

二、填空题

10．是虚数单位，复数的虚部是______.

【答案】

【分析】由复数模的定义和复数的除法法则计算．

【详解】．虚部为-2.

故答案为：．

11．在的展开式中，x的系数为_______．

【答案】

【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得展开式中含x项的系数．

【详解】的展开式中，

通项公式为，

令，求得，可得展开式中含x项的系数.

故答案为：．

12．已知圆与直线相交所得圆的弦长是，若过点作圆的切线，则切线长为______.

【答案】

【分析】先将圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，再由弦，弦心距和半径的关系列方程可求出，然后求出圆心与间的距离，再利用勾股定理可求得结果.

【详解】由，得，

则圆心为，半径为，

圆心到直线的距离为，

因为圆与直线相交所得圆的弦长是，

所以，解得或（舍去），

所以圆心为，半径为，

所以与间的距离为，

所以所求的切线长为，

故答案为：.

13．已知函数满足：，当时，；当时，，若关于的方程在区间上恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】由条件求函数在的解析式，作出函数在时的函数图像，分情况作函数的图象，结合条件观察图象确定的取值范围.

【详解】由已知当时，，当时，，

所以当时， ， ，

因为当时，，

所以当，，

当，，

作出函数在时的函数图像，如图所示，

方程可化为，因为方程在区间上恰有三个不同的实数解，所以函数与函数的图象在上有且仅有三个交点，

当时，函数与函数的图象在上有且仅有三个交点，

所以在区间上恰有三个不同的实数解，符合题意；

当时，函数与函数的图象在上有且仅有六个交点，所以在区间上恰有六个不同的实数解，不符合题意；

当时，函数与函数的图象在上有且仅有五个交点，

所以在区间上恰有五个不同的实数解，不符合题意；

当时，函数与函数的图象在上有且仅有四个交点，

所以在区间上恰有四个不同的实数解，不符合题意；

当时，函数与函数的图象在上有且仅有三个交点，

所以在区间上恰有三个不同的实数解，符合题意；

当时，函数与函数的图象在上有且仅有两个交点，

所以在区间上恰有两个不同的实数解，不符合题意；

当时，函数与函数的图象在上没有交点，

所以在区间上没有实数解，不符合题意；

综上所述，若关于的方程在区间上恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围是.

故答案为：

三、双空题

14．甲､乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为；乙第一次射击的命中率为，若第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为，如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为.乙若射中，则不再继续射击.则甲三次射击恰好命中1次的概率为______，乙射击次数的期望为______.

【答案】     ##0.096     ##1.15625

【分析】根据n次独立重复实验中恰好发生k次的概率计算空1，空2根据射击次数的取值算出对应概率，求解期望.

【详解】根据甲每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响，故甲三次射击恰好命中1次的概率为.

乙射击次数X可能的取值为1，2，3，

，，，

所以.

故答案为：；

15．已知向量满足分别是线段的中点，若，则______；若点为上的动点，且，则的最小值为______.

【答案】          ．

【分析】由得是平行四边形，把用表示后，由数量积的运算求得，同样用表示后平方可求得模，由向量的线性运算得，利用三点共线得出，代入，化简后引入函数，由导数求得其最小值．

【详解】因为，所以是平行四边形，

由题意,

,

即，，

，

，

，

，

又共线，所以，即，

在线段上，因此，

，

令，则，

时，，递减，时，，递增，

所以，

所以的最小值为．

故答案为：；．

四、解答题

16．在中，分别是三个内角的对边，若，且.

（1）求及的值；

（2）求的值.

【答案】（1），;（2）.

【分析】（1）由正弦定理可得，再利用二倍角的正弦公式可得，从而根据余弦定理可得；

（2）利用二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式求得的值，再由两角和的余弦公式可得结果.

【详解】（1）在中，由正弦定理，

得，

，，即，

解得，

在中，由余弦定理，

得，解得或．

，．

（2），

，

，

.

【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.

17．如图， 是边长为3的正方形，平面，，，BE与平面所成角为．

（Ⅰ）求证：平面 ；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）设点M在线段BD上，且平面BEF，求的长．

【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）（Ⅲ）

【分析】(Ⅰ)利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；

(Ⅱ)建立空间直角坐标系，利用平面的法向量可得二面角的余弦值；

(Ⅲ)结合(Ⅱ)中的结果和空间向量的结论求得点M的坐标即可求得的长．

【详解】（Ⅰ）因为平面，所以，

因为是正方形，所以，

又BD，DE交于点E，从而平面．

（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示．

因为BE与平面所成角为，即

所以．由可知，

则，，，，，

所以，

设平面BEF的法向量为，则，

即，令，则

因为平面，所以为平面的法向量，，

所以．

因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．

（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设．则，

因为平面BEF，所以，

即，解得．

此时，点M坐标为，，符合题意．

【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，空间向量求二面角余弦值的方法，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

18．等差数列的前项和为，且.数列的前项和为，且（为常数）.

(1)求数列的通项公式；

(2)数列满足，求.

【答案】(1)..

(2)

【分析】（1）根据等差数列得通项公式和求和公式即可求解，利用作差法和原式可以求出；

（2）分类讨论的奇偶性并利用分组求和错位相减法求和即可得出结论.

【详解】（1）因为数列为等差数列，且，

所以，

解得

.

又因为 ,

得 ，

当时,.

又因为

所以，，

所以，；

（2）

①若为奇数，则原式可化简为：

记，

所以，

所以，，

所以，，

所以，，

得，.

所以.

②若为偶数，则原式可化简为：

记，

则，

同理错位相减可得，，

所以原式=.

所以

19．已知椭圆的离心率，短轴长为，椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆位于轴上方的部分，

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线的斜率为，求弦的长度；

(3)若直线与轴交于点，点是轴上一点，且满足，直线与椭圆交于点.是否存在直线，使得的面积为2，若存在，求出直线的斜率，若不存在，说明理由.

【答案】(1)

(2)

(3)存在直线，使得的面积为2，此时直线的斜率

【分析】（1）由已知有，解方程组即可；

（2）直线的方程为，与椭圆方程联立，由弦长公式求解即可；

（3）由题意求出的坐标，进而可得直线的方程为，并与与椭圆方程联立，可得点坐标，由此可判断关于原点对称，故直线过原点，

所以，令求解即可

【详解】（1）由题意可得，

解得，

所以椭圆的方程为；

（2）由（1）可知，设，直线的方程为，

由得，

所以， ，

所以

；

（3）由（2）可知，即，

所以，即，

直线的方程为，令，解得，即，

设，由题意有，

解得，即，

进而可得直线的方程为，

由得，

解得，进而，即，

因为，，

所以关于原点对称，故直线过原点，

所以，

当时，即，

解得，

所以存在直线，使得的面积为2，此时直线的斜率

20．已知函数.

(1)设，求函数的极值；

(2)设，求证：存在唯一的，使得函数的图象在点处的切线与函数的图象也相切；

(3)设，对于任意，总存在，使成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)极小值；

(2)见解析；

(3).

【分析】(1)由题意可得，令，得，再根据导数的正负确定函数的单调性从而即可得函数的极值；

(2)由题意可得在处的切线方程为，只需证明此直线与曲线相切，假设此直线与相切于点，将问题转化为证明方程在上存在唯一解即可，构造函数，利用导数证明函数在上单调且只有一个零点即可；

(3)由题意可得在上恒成立，利用导数得,所以即转化为在上恒成立，令，只需在上恒成立，利用导数即可解决.

【详解】（1）解：因为，

所以，

令，解得，

所以当时， ，单调递减；当时， ，单调递增；

所以函数只有极小值，极小值

（2）证明：因为，

所以，

又因为，

所以在处的切线方程为，

假设此直线与曲线相切于点，

因为，

所以切线的斜率且，

所以，

所以，

化简为(>1)，

下面证明此方程在上存在唯一解.

令，

则，

令，

则，

所以当时，单调递增，

又因为，，

又为在(1,2)上连续，

所以在(1,2)上存在唯一零点，设为，

则有，即，

当时，，即，单调递减；

当时，，即，单调递增；

所以，，

所以在内存在唯一零点.

所以存在唯一的，使得函数的图象在点处的切线与函数的图象也相切；

（3）解：因为，

所以

令，则有，

又因为，

所以有，

又因为，在上单调递增，

所以，

所以在上恒成立，

所以在上单调递增，

所以,

所以在上恒成立，

令，

则，且在上恒成立，

因为，

当时，，在上单调递减，，不合题意；

当时，令，得，

当，即时，在上单调递减，存在，不合题意；

当，即时，在上单调递增，，满足题意.

综上所述，实数的取值范围为：.

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）若，，总有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；

（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．