吉林省长春市汽开区联盟校区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷(含答案)

2022-2023学年吉林省长春市汽开区联盟校区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若函数是二次函数，则有(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列命题是真命题的是(    )

A. 直径是圆中最长的弦 B. 三个点确定一个圆
C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 相等的圆心角所对的弦相等

3.  已知一元二次方程，下列判断正确的是(    )

A. 该方程有两个相等的实数根 B. 该方程有两个不相等的实数根
C. 该方程无实数根 D. 该方程根的情况无法确定

4.  如图，在中，点，分别在，上，若，且的面积为，则四边形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，木杆斜靠在墙壁上，是的中点，当木杆的上端沿墙壁竖直下滑时，木杆的底端也随之沿着射线方向滑动，则下滑过程中的长度变化情况是(    )

A. 逐渐变大 B. 不断变小 C. 不变 D. 先变大再变小

6.  在中，，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，为半圆的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点在半圆上，斜边过点，一条直角边交该半圆于点若，则线段的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，已知点，，射线绕点逆时针旋转，与轴交于点，则过，，三点的二次函数中的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  已知二次函数的图象如图所示，线段轴，交抛物线于、两点，且点的横坐标为，则的长度为______．

10.  如图，在中，，，以为直径的交于点是上一点，且，连结过点作，交的延长线于点，则为______

11.  随着国内新冠疫情逐步得到控制，人们的口罩储备逐渐充足，市场的口罩需求量在逐渐减少，某口罩厂六月份的口罩产量为万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为______．

12.  如图，与位似，点为位似中心，位似比为：若的周长为，则的周长是______．

13.  三个正方形方格和扇形的位置如图所示，点为扇形的圆心，格点，，分别在扇形的两条半径和弧上，已知每个方格的边长为，则扇形的面积为______．

14.  已知点与点的坐标，抛物线与线段有交点，则的取值范围是______．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
解方程．

16.  本小题分
如图，是的直径，弦于点，若，，求的长．

17.  本小题分
图、图均是由边长为的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，在图、图给定的网格中，只用无刻度直尺，保留作图痕迹，按要求作图：
图中，的长为______．
在图中的边上确定一点，使点到三个顶点距离相等．
在图中，在的边上确定一点，使得．

18.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．
这条抛物线所对应的函数表达式______．
这条抛物线与轴的交点坐标______．
当时，的取值范围为______．

19.  本小题分
如图，为的直径，为上一点，的平分线交于点，于点．
求证：为的切线：
若，，则弧的长为______．

20.  本小题分
近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图所示的护眼灯，其侧面示意图台灯底座高度忽略不计如图所示，其中灯柱，灯臂，灯罩，，、分别可以绕点、上下调节一定的角度．经使用发现：当，且时，台灯光线最佳．求此时点到桌面的距离．精确到，参考数值：，，

21.  本小题分
某商店购进了一种消毒用品，进价为每件元，在销售过程中发现，每天的销售量件与每件售价元
之间存在一次函数关系其中，且为整数设该商店销售这种消毒用品每天获利元．
求与之间的函数关系式；
当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

22.  本小题分
在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单：

“神州”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上点、除外，小乐同学画出了符合要求的一条圆弧如图．
小乐同学提出了下列问题，请你帮助解决．
该弧所在圆的半径长为______；
面积的最大值为______；
经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图所示的弓形外部，我们记为，请你利用图证明．
请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图，已知矩形的边长，，点在直线的右侧，且，则线段长的最大值为______．

23.  本小题分
如图，在中，，，，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动，设点的运动时间为秒过点作的垂线交于点．
______．
求的长．用含有的代数式表示
若将点绕点逆时针旋转于点．
求的长用含的代数式表示
在点运动的同时，做点关于点的对称点，连结当为等腰三角形时，直接写出的值．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线顶点的坐标为，抛物线上不重合的两点、的横坐标分别为，．
______．
若、两点的纵坐标相等，求的值．
当点在对称轴左侧时，将抛物线上、两点之间含、两点的图象记为，设图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求与之间的函数关系式．
当点在点的右侧时，过、两点分别向抛物线的对称轴作垂线，垂足分别为点、若点、、中任意两点不重合且其中一点到另两点距离相等，直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故选：．
直接根据二次函数的定义解答即可．
本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、直径是圆中最长的弦，正确，是真命题；
B、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故原命题是假命题；
C、平分弦不是直径的直径垂直于弦，故原命题是假命题；
D、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故原命题是假命题；
故选：．
利用圆的有关定义及垂径定理、圆心角与弦之间的关系分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识涉及到圆的有关概念、垂径定理、圆心角与弦之间的关系，解题的关键是了解圆的有关定义及性质，难度不大．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，，
，
方程有两个不相等实数根．
故选：．
判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了．
此题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
又，
∽，
，
的面积为，
的面积为，
四边形的面积为，
故选：．
先根据两边成比例夹角相等可证∽，再根据相似三角形的性质可得，进一步可得四边形的面积．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：是的中点，，
，
木杆的长固定，
的长度不变，
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线性质，可得，即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题可知：，
则．
故选：．
直接利用锐角三角函数关系得出的长，再利用勾股定理得出答案．
此题主要考查了锐角三角函数关系，正确得出的长是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，，
，
，，
是等腰直角三角形．
，
，
．
故选：．
连接，，根据圆周角定理可得出，，故是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得出结论．
本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于点，

点，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
把和代入二次函数中得：，
解得：，
故选：．
作辅助线，根据平行相似可证明∽，列比例式可得点的坐标，列方程组可得结论．
本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，此题正确构建直角三角形利用含角的直角三角形的性质确定点的坐标是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据抛物线的对称性，点的横坐标为，
点的横坐标是，
线段轴，
．
故答案为：．
根据抛物线的对称性求出点的横坐标，然后求解即可．
本题考查了二次函数的图象，主要利用了二次函数的对称性．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
，，
，
，
，
，
，
，
而，
．
故答案为：．
连接，如图，先利用互余计算出，再根据圆周角定理得到，接着根据圆心角、弧、弦的关系得到，然后根据四边形的内角和计算的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系．
 

11.【答案】 

【解析】解：设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为．
故答案为：．
设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为，利用八月份的产量六月份的产量月平均减少率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：与位似，点为位似中心，相似比为：．
的周长：的周长：，
的周长为，
的周长，
故答案为：．
利用相似三角形的性质求解即可．
本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，

由勾股定理得：，
由正方形的性质得：，
所以扇形的面积为：，
故答案为：．
连接，先求出长和的度数，再根据扇形的面积公式求出即可．
本题考查了扇形的面积，勾股定理和正方形的性质，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：抛物线，如图，
顶点坐标为，对称轴为，
当抛物线过点时，即，解得，，
当抛物线过点时，即，解得，，
又抛物线当越大，开口越小，
的取值范围为，
故答案为：．
根据抛物线的关系式可得出抛物线的顶点坐标、对称轴，由过点、点可求出此时的的值，再根据抛物线的开口与的关系确定的取值范围．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，数形结合以及代入求值是常用的方法．
 

15.【答案】解：，
，
，即，
，
，． 

【解析】利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．
本题考查了解一元二次方程配方法：掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
 

16.【答案】解：如图，连接．
弦于点，，
．
在中，，，，
． 

【解析】连接，根据垂径定理得出，然后在中由勾股定理求出的长度，最后由，即可求出的长度．
本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，关键在于熟练的运用垂径定理得出、的长度．
 

17.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：；

如图中，点即为所求；
如图中，点即为所求．
利用勾股定理求解即可；
取格点，，连接交于点，点即为所求；
取格点，连接交于点，点即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

18.【答案】 或   

【解析】解：将点、代入抛物线解析式，得，，
解得：，
抛物线解析式为：，
令中，，
即，
解得：或，
这条抛物线与轴的交点坐标为或；
，
顶点坐标为，对称轴为直线，抛物线开口向下，
当时，最大值为，
时，
当时，的取值范围为，
故答案为：．
将点、代入抛物线解析式，待定系数法求解析式即可求解；
根据题意，令，解方程即可求解；
根据解析式配方成顶点式，求得最大值，进而根据与与抛物线对称轴的距离判断出最小值，即可求得的取值范围，即可求解．
本题考查了待定系数法求解析式，求抛物线与轴的交点坐标，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】证明：连接，

，
，
的平分线交于点，
，
，
，
于点，
，
是的半径，
与相切；
解：，
，
，
，
，
弧的长为：，
故答案为：
连接，根据角平分线定义和半径相等证明，得，进而可以证明为的切线；
根据已知条件可得圆心角是，利用弧长公式即可求出弧的长．
本题考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，添加恰当辅助线是本题的关键．
 

20.【答案】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，如右图所示，
，，，
，
四边形为矩形，
，，
又，
，
，，
，
，
答：点到桌面的距离约为． 

【解析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数，即可得到的长，再根据，即可求得的长，从而可以解答本题．
本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：由题意得：，且为整数；

，
则抛物线的对称轴为直线，
，且为整数
当时，随的增大而增大，
当时，有最大值，最大值为．
答：每件消毒用品的售价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 

【解析】由题意得：，即可求解；
，则则抛物线的对称轴为直线，而当时，随的增大而增大，进而求解．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系列出函数关系式．
 

22.【答案】     

【解析】解：设圆心为，连接，，

，
，
是等边三角形，
，
故答案为：；
当时，最大，

此时，
，
，
故答案为：；
设交于，

由圆周角定理知，
是的外角，
，
；
如图，作等腰，使，
以为圆心，为半径作圆，则点在优弧上，连接交于，此时最小，
过作于，于，

，
，
在中，，
，，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
设圆心为，连接，，可得是等边三角形，则；
当时，最大，求出的长即可；
设交于，由圆周角定理知，由是的外角，则；
作等腰，使，以为圆心，为半径作圆，则点在优弧上，连接交于，此时最小，过作于，于，利用勾股定理求出的长即可．
本题考查圆的综合应用，掌握圆周角定理，三角形外角的性质，等边三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：在中，由勾股定理得，
，
故答案为：；
，
，
又，
∽，
，
，
；
点绕点逆时针旋转于点，
，
由勾股定理得，
当时，即，此时点与重合，
当时，如图，，

当时，如图，，

当时，即点在线段上，
，
当时，

，
解得，
当时，，
，
解得舍，
当时，如图，过点作于，

此时，，
，
解得，
当时，即在的延长线上，
，
只能是，

，
，
解得舍，
当点在的延长线上时，同理可求

综上：或或．
在中，利用勾股定理直接计算；
根据∽，可得的长；
当时，即，此时点与重合，故分当时或当时，分别画图计算；
当时，即点在线段上，分，，三种情形，当时，即在的延长线上，由，只能是，分别计算即可．
本题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，旋转、对称的性质等知识，运用分类思想、数形结合思想是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：将代入得，
解得，
故答案为：．
抛物线顶点坐标为，
抛物线对称轴为直线，
、两点的纵坐标相等，
，
解得．
将代入得，
点坐标为，
将代入得，
点坐标为，
点在对称轴左侧，
，
解得，
当时，，
时，点为最高点，顶点为最低点，
，
当时，点为最高点，顶点为最低点，
，
当时，点为最高点，点为最低点，
，
综上所述，．
点在点右侧，
，
解得，
如图，点到点，距离相等，即点为中点，

，即，
解得．
如图，点到点，距离相等时，即点为的中点，

，即，
解得舍或．
综上所述，或．
将顶点坐标代入解析式求解．
由顶点坐标可得抛物线的对称轴，由点，关于对称轴对称求解．
分类讨论点，为最高点，顶点为最低点或点为最高点，点为最低点三种情况求解．
求出点，坐标，结合图象，分类讨论点点为中点，点为的中点求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，通过分类讨论与数形结合求解．