2021-2022学年湖北省十堰市郧阳中学高一下学期6月月考数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年湖北省十堰市郧阳中学高一下学期6月月考数学试题（解析版），共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年湖北省十堰市郧阳中学高一下学期6月月考数学试题

一、单选题
1．（    ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】根据的周期性，计算即可得到结果.
【详解】因为
则
故选:A
2．若表示直线，表示平面，下面推论中正确的个数为（    ）
①，则；
②，则；
③，则.
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】A
【分析】对于①，利用线面垂直的性质判断即可，对于②，由线面垂直的性质和线面平行的判定判断，对于③，由线面平行的性质判断
【详解】对于①，当时，则相交垂直或异面垂直，所以①正确，
对于②，当时，或，所以②错误，
对于③，当时，与平行，或相交，或，所以③错误，
故选：A
3．如图，在中，点M是线段上靠近B的三等分点，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算计算作答.
【详解】在中，点M是线段上靠近B的三等分点，则，
所以.
故选：B
4．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的菱形，且，则原平面图形的周长为（    ）

A． B． C． D．8
【答案】B
【分析】利用斜二测画法还原直观图即得.
【详解】由题可知，
∴，还原直观图可得原平面图形，如图，

则，
∴，
∴原平面图形的周长为.
故选：B.
5．对以下两组数据进行分析，下列说法不正确的是（    ）
甲：8    12    13    27    24    37    22    20    25    26
乙：9    14    13    11    18    19    20    21    21    23
A．甲的极差是29 B．甲的中位数是25
C．乙的众数是21 D．甲的平均数比乙的大
【答案】B
【分析】根据已知数据依次计算判断即可.
【详解】对A，甲的极差为，故A正确；
对B，甲按从小到大为8，12，13，20，22，24，25，26，27，37，则中位数为，故B错误；
对C，乙中最多的为21，所以众数为21，故C正确；
对D，甲的平均数为，
乙的平均数为，所以甲的平均数比乙的大，故D正确.
故选：B.
6．下列叙述中正确的个数为（    ）
若，则“”的充要条件是“”；
若，则“”的充要条件是“”；
“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件；
④“”是“”的充分不必要条件.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由已知，选项A，可举例的特殊情况；选项B，可举例且的特殊情况；选项C，可由方程有一个正根和一个负根，得到参数的取值范围，然后对比即可；选项D，可通过条件和结论互推做出判断.
【详解】由已知，
选项A，当时，满足，但此时不成立，故该选项错误；
选项B，若，且时，推不出，故该选项错误；
选项C，若方程有一个正根和一个负根，则，解得，
而是必要不充分条件，所以，该选项正确；
选项D，，但是可得或，推不出，所以该选项正确.
故选：B.
7．已知圆柱的底面半径和母线长均为1，A，B分别为圆、圆上的点，若，则异面直线，所成的角为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】做平行线，将所求的异面直线夹角转化为同一平面内的直线夹角，
构造三角形即可求解.
【详解】
如上图，过点A做平面 的垂线，垂足为D，即AD是母线，连接DB，
平面， ，所以四边形是平行四边形，
，与的所成的角就是或其补角；
由题意可知AB=2，AD=1，
在 中， ，
在等腰 中，
由余弦定理 ，
，由于异面直线的夹角范围是 ，故取 的补角，
故选：B.
8．小说《三体》中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，由强相互作用力材料制成，被形容为“像一滴圣母的眼泪”．小刘是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的水滴（如图），由线段AB，AC和优弧BC围成，其中BC连线竖直，AB，AC与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为，则（    ）．

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设优弧BC的圆心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，如图，进而可得“水滴”的水平宽度为+，竖直高度为，根据题意求得，由切线的性质和正弦函数的定义可得，结合圆的对称性和二倍角的余弦公式即可得出结果.
【详解】设优弧BC的圆心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，如下图所示

易知“水滴”的水平宽度为+，竖直高度为，
则由题意知，解得，
AB与圆弧相切于点B，则，
∴在中，，
由对称性可知，，则，
∴，
故选：A．
9．克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，，为半圆上一点，以为一边作等边三角形，则当线段的长取最大值时，（ ）

A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【解析】根据已知条件先分析出的最大值并得到之间的关系，由此借助余弦定理求解出的长度，再利用余弦定理即可求解出的大小.
【详解】因为，且为等边三角形，，
所以，所以，所以的最大值为，取等号时，
所以，不妨设，
所以，所以解得，
所以，所以，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解答问题的关键是理解题中所给的定理，由此分析得到角的关系，并借助余弦定理即可求解出结果.

二、多选题
10．已知下列四个命题为真命题的是（    ）
A．已知非零向量，若，则
B．若四边形中有，则四边形为平行四边形
C．已知，，可以作为平面向量的一组基底
D．已知向量，则向量在向量上的投影向量为
【答案】ABD
【分析】利用共线向量的性质判定选项A正确；利用向量相等判定两边平行且相等，进而判定选项B正确；利用向量共线定理判定两向量共线，进而判定选项C错误；利用投影向量的定义判定选项D正确.
【详解】对A：对于非零向量，若，则成立，
即选项A正确；
对于B：因为，所以边和平行且相等，
即四边形为平行四边形，
即选项B正确；
对于C：因为，所以，
所以不可以作为平面向量的一组基底，
即选项C错误；
对于D：易知与同向的单位向量为，
设、的夹角为，则，
所以向量在向量上的投影向量为，
即选项D正确.
故选：ABD.
11．已知i为虚数单位，下列命题中正确的是（    ）
A．
B．若复数z的模是5，实部为3，则
C．若复数，则，
D．若，，则的充要条件是
【答案】AC
【分析】根据复数的运算、共轭复数的概念及模的定义可判断A，举反例可判断BD，根据只有实数才能比较大小判断C.
【详解】设，则，所以，故A正确；
复数z的模是5，实部为3，也可有，故B错误；
因为只有实数能比较大小，故由可得，，故C正确；
因为，，所以结论不成立，例如满足条件，得不出结论，故D错误.
故选：AC
12．.函数对任意总有，当时，，，则下列命题中正确的是（    ）
A．是偶函数
B．是上的减函数
C．在上的最小值为
D．若，则实数的取值范围为
【答案】CD
【分析】函数是奇函数，所以选项A错误；函数是上的增函数，所以选项B错误；在上的最小值为，所以选项C正确；实数的取值范围为，所以选项D正确.
【详解】解：取，，则，解得，
令，则，
即，函数是奇函数，所以选项A错误；
令，且，则，
因为当时，，所以，
则，
即，函数是上的增函数，所以选项B错误；
因为函数是上的增函数，所以函数在上的最小值为，
，，
，
故，在上的最小值为，所以选项C正确；
，即，
因为函数是上的增函数，
所以，所以，所以实数的取值范围为，所以选项D正确.
故选：CD.
13．已知正方体的棱长为2，E为线段的中点，，其中，则下列选项正确的是（    ）
A．时， B．时，的最小值为
C．时，直线与面的交点轨迹长度为 D．时，正方体被平面截的图形最大面积是
【答案】ABD
【分析】A选项，作出辅助线，得到点在线段上，证明线面垂直，得到线线垂直；
B选项，作出辅助线，将两平面展开为同一平面内，利用两点之间线段最短，得到的最小值，求出答案；
C选项，作出辅助线，找到直线与面的交点轨迹，求出长度；
D选项，作出辅助线，分P位于线段DZ上和线段BZ上，分别求出截面的最大面积，比较得到结果.
【详解】取AD中点F，BC的中点G，连接，，，则，
因为，，
所以，即点在线段上，
因为E为线段的中点，则，故，
所以，由于，
所以，
又⊥平面，平面，
所以⊥，
因为，所以平面，
因为平面，
所以，A正确；

B选项，在AB上取点H，使得，在DC上取点K，
使得，
因为，，
所以点P在线段HK上，
将平面与平面沿着HK展开到同一平面内，如图1，
连接交HK于点P，即三点共线时，取得最小值，
其中由勾股定理得：，所以，
所以，故B正确；


C选项，，，时，
由向量共线定理的推论可得：P点在线段BD上，
连接，交于点M，交于点N，连接MN，
则线段MN即为直线与面的交点轨迹，
其中三角形是等边三角形，，
由三角形相似可知：，而，所以，
同理可得：，所以三角形是等边三角形，所以，
直线与面的交点轨迹长度为，C错误；

由C选项的分析可知，：P点在线段BD上，
连接AC，BD相交于点Z，当P位于线段DZ上时，连接AP并延长交CD于点Q，
连接，则平面截正方体所得图形为三角形，
则当与重合时，Q与C重合，此时截面三角形面积最大，
面积为；
当P位于线段BZ上时，如图3，连接AP并延长，交BC于点W，
过点W做WR∥交于点R，连接，
则四边形即为平面截正方体所得的截面，
设，则由平行性质可知：，
则，所以四边形为等腰梯形，
其中，设梯形的高为h，则，
则截面面积为，
如图4所示，直角三角形，直角边，
在上取一点，连接，
则三角形的面积即为，
显然当时，面积取得最大值，最大面积为，
因为，所以时，正方体被平面截的图形最大面积是，D正确..


故选：ABD
【点睛】立体几何中的点的运动轨迹问题，或线的运动轨迹问题，要结合题目特征，利用平行或垂直关系，找出轨迹是线段或圆弧，或是椭圆，抛物线等，进而求出相应的轨迹长度.
14．在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则以下说法正确的是（    ）
A．当时，平面
B．当时，存在唯一点P使得DP与直线的夹角为
C．当时，的最小值为
D．当点P落在以为球心，为半径的球面上时，的最小值为
【答案】ACD
【分析】根据已知条件，结合向量关系，分别对答案进行空间关系的判断和求值即可.
【详解】当时，如图（1），的轨迹为线段，由正方体的结构特征，可知平面平面，而平面，∴平面，故A正确；

当时，如图（1），点的轨迹为线段，直线直线，当与重合时，与直线所成角最大，即与直线所成角最大，最大为，故B错误；
当时，如图（2），点轨迹为线段，将三角形旋转至平面内，可知．故C正确；

当点落在以为球心，为半径的球面上时，点的轨迹为以为圆心，1为半径的四分之一圆弧，建立如图所示的平面直角坐标系，则，

则的轨迹方程为：，设，
有可得，
故，故，
因为，故当时，．故D正确．
故选：ACD．

三、填空题
15．已知角的终边与单位圆交于点()，则=__________.
【答案】
【分析】由角的终边与单位圆交于点()，利用三角函数的定义求得，然后利用二倍角的正弦公式求得，然后由诱导公式由求解.
【详解】因为角的终边与单位圆交于点()，
所以，
所以，
所以，
故答案为：
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，诱导公式以及二倍角公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
16．若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x＋log2y＝1，则的最小值为__________．
【答案】4
【详解】由log2x＋log2y＝1，得xy＝2，＝＝＝x－y＋≥4，则的最小值为4.
17．在中，角､､所对的边分别为､､，，的平分线交于点，且，则的最小值为___________.
【答案】9
【分析】先根据三角形面积公式得出，再利用基本不等式求最值.
【详解】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，
化简得，即，
因此
当且仅当，即时取等号，即的最小值为.
故答案为：9
18．在梯形中，，，为的中点，将沿直线翻折成，当三棱锥的体积最大时，过点的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为___________.
【答案】2π
【分析】当三棱锥的体积最大时，此时到底面的高最大，即此时平面平面，即平面，设球心为在平面内作，垂足为,证明平面即得解.
【详解】解：由题得, 因为.
因为,所以是△外接圆的圆心，外接圆的半径为
当三棱锥的体积最大时，由于底面的面积是定值，所以此时到底面的高最大，即此时平面平面，即平面.
如图，设球心为在平面内作，垂足为, 因为,所以,所以平面,
所以过点的平面截三棱锥的外接球所得最小截面就是过的外接圆. 所以截面的最小值为.
故答案为：

19．已知三棱锥的底面为等腰直角三角形，其顶点到底面的距离为3，体积为24，若该三棱锥的外接球的半径为5，则满足上述条件的顶点的轨迹长度为__________.
【答案】
【分析】先设出，并根据体积求解出，然后再根据给出的外接球半径，计算球心到底面的距离，然后分两种情况，球心在底面和截面圆之间和球心在底面和截面圆同一侧，分别计算截面圆的半径，从而求得顶点的轨迹长度.
【详解】由为等腰直角三角形可得：，
由顶点到底面的距离为3，
三棱锥体积为24，可得：，所以，
所以，
因为三棱锥外接球的半径为5，为底面的外接圆圆心，
在中，，解得，
即球心到底面的距离为，又因为顶点到底面的距离为3，
所以顶点的轨迹是一个截面圆的圆周，
当球心在底面和截面圆之间时，球心到该截面圆的距离为，
设顶点的轨迹所在圆的半径为，可得：，
所以顶点的轨迹长度为，
当球心在底面和截面圆同一侧时，球心到该截面圆的距离为，
所以截面圆的半径为，
所以顶点的轨迹长度为，
综上，顶点的轨迹长度为：.
故答案为：.

四、解答题
20．已知函数是指数函数．
(1)求的解析式；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由指数函数定义可直接构造方程组求得，进而得到所求解析式；
（2）将不等式化为，根据对数函数单调性和定义域要求可构造不等式组求得结果.
【详解】（1）为指数函数，
，解得：，
.
（2）由（1）知：，
，解得：，
的取值范围为.
21．某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.

(1)求直方图中x的值；
(2)估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数；
(3)估计全校学生的平均成绩.
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）由频率之和为1，即可求得；
（2）由百分位数的定义即可求得样本数据的80%分位数；
（3）由频率分布直方图即可求得平均数；
【详解】（1）由，得；
（2）低于90分的频率为，设样本数据的分位数约为分，则，解得，
（3）平均成绩为
22．如图，在棱长为4的正方体中，E为的中点，F为AE的中点．

(1)求证：平面BDF；
(2)求三棱锥E-BDF的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2).

【分析】（1）连接AC交BD于O ，连接FO，利用中位线定理及线面平行判定定理即得；
（2）由题可得，然后利用棱锥体积公式即得.
【详解】（1）连接AC交BD于O ，连接FO，

因为F为AE的中点，又O为AC的中点，
则FO是△ACE的中位线，所，
又因为面BDF，且平面BDF，
所以平面BDF．
（2）在正方体中，棱长为4，，，，
则

．
所以三棱锥E-BDF的体积为．
23．在中，角所对的边分别，已知且.
(1)求角的大小；
(2)若是的中点，，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据向量共线坐标满足公式列出方程，结合正弦定理化简，即可得到结果；
（2）由，结合向量的模长公式，根据基本不等式以及三角形的面积公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由且得：，
由正弦定理得，

又，即；
（2）由，得到，
则，化简得，当且仅当时，等号成立，
面积，即面积的最大值为；
24．已知O为坐标原点，，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.已知函数，
(1)求的伴随向量，并求.
(2)关于x的方程在内恒有两个不相等实数解，求实数的取值范围.
(3)将函数图像上每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把整个图像向左平移个单位长度得到函数的图像，已知，在函数的图像上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在一点P，P（0，2）

【分析】（1）利用三角恒等变换公式展开化简即可求解
（2）转化为图像交点问题
（3）利用向量垂直列出方程，结合范围解方程即可
【详解】（1）因为.
所以
（2）因为关于的方程在内恒有两个不相等实数解.
所以的图像与直线在内恒有两个不同的交点.
因为.
所以

由图像知,实数的取值范围为
（3）依题意可得.
假设在函数的图像上存在一点,使得,则
又
所以
即,化简得
因为,所以
结合,得,所以.
所以函数的图像上存在一点,使得,且
25．如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点为棱的中点.

(1)证明：平面平面；
(2)当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角.
【答案】(1)证明见解析
(2).

【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得线面垂直，从而得到，再由线面垂直的判定定理可证平面，从而证得平面平面；
（2）根据题意过作于，连接，可得就是二面角的平面角，然后计算即可得到结果.
【详解】（1）因为平面平面，且，即，
且平面，平面平面，所以平面
又因为平面，所以
因为为菱形，所以，且，平面，
所以平面，又因为平面，所以平面平面
（2）
设.
平面平面，平面平面平面.
连接，则就是直线与平面所成的角.
由题意得，为等边三角形.
过作于，则为的中点，
平面，又平面.
过作于，连接，则就是二面角的平面角.

易得.
，解得，
，
，即直线与平面所成的角为.
26．如图，在五面体中，平面平面，，且.

（1）求证：平面平面
（2）线段上是否存在一点F，使得二面角的余弦值等于，若存在，求的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.
【分析】（1）设中点为O，过O作，则有，又平面平面，所以平面，所以，故､､三条直线两两垂直建立空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量，利用向量数量积为0可得答案.
（2）设，则，设平面的法向量，利用得，由，可得答案.
【详解】（1）如图，设中点为O，过O作，则有，
又平面平面，所以平面，所以，
又，故､､三条直线两两垂直，
如图建立空间直角坐标系，
依题意可得，设平面的法向量，
则有 即，取，
取平面的法向量，
因为，所以平面平面.
（2）设，则，
设平面的法向量，
则有即，取，
，易知二面角的大小与向量､的夹角大小一致，所以，化简得，解得或（舍），
所以，
所以线段上存在一点F，使得二面角的余弦值等于，此时.