2021-2022学年湖南省邵阳市新邵县第八中学高一上学期选调研考试数学试题（解析版）

2021-2022学年湖南省邵阳市新邵县第八中学高一上学期选调研考试数学试题

一、单选题

1．已知角，则的弧度数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用角的度数与弧度数互化关系求解作答.

【详解】因，因此，

所以的弧度数为.

故选：D

2．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先计算，再求补集.

【详解】集合中的元素是偶数，所以，所以.

故选：B

3．已知，则用表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用指对互化，求，再表示.

【详解】，，

.

故选：C

4．若，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】在时解不等式，即可得出结论.

【详解】因为，由可得，故当时，是的充分必要条件，

故选：C.

5．若不计空气阻力，则以初速度坚直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系式，其中.现有一名同学以初速度竖直向上抛一个排球，则该排球在距离抛出点以上的位置停留的时间约为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将初始值代入解析式，转化为解不等式，即可求解.

【详解】由条件可知，，，

则，即，解得：，

即，所以停留的时间约为.

故选：A

6．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用作差法结合基本不等式可得出、的大小关系，利用对数函数的单调性可得出、的大小关系，即可得出结论.

【详解】因为

，即，

又因为，因此，.

故选：D.

7．已知函数，则有（    ）

A．最小值 B．最大值

C．最小值 D．最大值

【答案】B

【分析】利用双勾函数的单调性求出的最小值，再利用对数函数的单调性可求得函数的最大值，即可得出结论.

【详解】，令，，

任取、且，则，，

所以，，

则，所以，函数在上单调递增，故当时，，

所以，，

又因为函数为减函数，故，

故选：B.

8．已知定义域为的函数在上为减函数，且为奇函数，则给出下列结论：①的图象关于点对称；②在上为增函数；③.其中正确结论的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】将平移后得到具有对称中心判断①是否正确，根据有对称中心的函数两侧的单调性特征可判断②是否正确；在为奇函数的代数表达式中令即可得到的值.

【详解】因为为奇函数，所以的中心为，将的图象向右平移2个单位得到的图象，故的中心为，所以①正确；

有对称中心的函数在对称中心两侧的单调性相同，故在上为减函数，所以②不正确；

因为为奇函数，所以，令得，故，所以③正确；

故选：C

二、多选题

9．下列函数中，在区间上存在唯一零点的有（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】BCD

【分析】根据给定条件，求出函数的零点、利用零点存在性定理判断即可作答.

【详解】对于A，由，即，得或，因此函数在上有两个零点，A不正确；

对于B，在定义域上单调递增，，，

则存在，使得，因此函数有唯一零点，且在区间上，B正确；

对于C，函数在上单调递增，，因此函数有唯一零点1，且在区间上，C正确；

对于D，函数在定义域上单调递减，，

存在，使得，因此函数有唯一零点，且在区间上，D正确.

故选：BCD

10．下列命题中正确的有（    ）

A．，

B．，

C．若，则

D．圆心角为，弧长为的扇形面积为

【答案】ABD

【分析】利用三角函数的值符号与角的范围之间的关系可判断A选项；取可判断B选项；利用同角三角函数的平方关系可判断C选项；利用扇形的面积公式可判断D选项.

【详解】对于A选项，，，A对；

对于B选项，当时，，则，B对；

对于C选项，若，则，C错；

对于D选项，设扇形的半径为，则，因此该扇形的面积为，D对.

故选：ABD.

11．已知集合，则下列关系正确的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】由元素与集合，集合与集合的关系对选项逐一判断，

【详解】由题意得是由的子集组成的集合，

对于A，，故A正确，

对于B，C，是的一个元素，，故C正确，B错误，

对于D，是的一个元素，，故D正确，

故选：ACD

12．已知函数，设的图象为曲线，则（    ）

A．曲线是中心对称图形

B．曲线是轴对称图形

C．在上为增函数

D．在上为减函数

【答案】BD

【分析】求出函数的定义域，并变形函数解析式，再分析函数的对称性及单调性即可判断作答.

【详解】函数的定义域为，

，令，有，

，显然，，

即函数是定义域上的偶函数，其图象关于y轴对称，

令，，，

，因，则，即，

因此，即，函数在上单调递减，

而函数在上单调递减，于是得函数在上单调递减，

在上单调递增，函数的图象不是中心对称图形，

显然函数的图象向右平移2个单位得函数的图象，

因此函数的图象不是中心对称图形，是轴对称图形，对称轴为，A不正确，B正确；

由函数在上单调递减，得函数在上单调递减，D正确；

由函数在上单调递增，得函数在上单调递增，C不正确.

故选：BD

三、填空题

13．写出一个定义域不是的偶函数：__________.

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据所给函数的性质，写出一个满足条件的.

【详解】定义域不是的偶函数，，函数的定义域是，

满足，函数是偶函数.

故答案为：（答案不唯一）

14．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过半径为（单位：）的圆形管道时，其流量速率（单位：）与的四次方成正比，若气体在半径为的管道中，流量速率为，则当气体通过半径为的管道时，该气体的流量速率为__________.

【答案】

【分析】由待定系数法求与的关系式后代入求解，

【详解】设，当时，，则，得，

当时，，

故答案为：

15．若命题“，为真命题，则的最小值为__________.

【答案】##

【分析】由参变量分离法可得，利用基本不等式求出在时的最大值，即可得出实数的最小值.

【详解】，，则，

当时，，当且仅当时，等号成立，故.

所以，实数的最小值为.

故答案为：.

16．已知函数，若与有相同的最小值，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】根据给定条件，利用均值不等式结合二次函数最值，确定函数取最小值的x值，再借助函数能成立求解作答.

【详解】依题意，函数，显然，

当且仅当，即时取等号，，当且仅当时取等号，

因此当时，，因与有相同的最小值，

于是得成立，即成立，

而，当且仅当时取等号，因此，即，

所以实数的取值范围是.

故答案为：

四、解答题

17．已知函数，且的解集为.

(1)求的值；

(2)若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)，；

(2)实数的取值范围为.

【分析】（1）依题意为方程的两根，根据根与系数关系列方程组，解方程即可；

（2）依题意，求出函数的最小值可求出参数的取值范围.

【详解】（1）因为的解集为，且，

所以，且为方程的两根，所以，，

所以，；

（2）由(1)可得，不等式可化为，所以

因为对于任意的，不等式恒成立，

所以对于任意的，不等式恒成立，

即，其中，

因为，其中，

所以当时，取最小值，最小值为，

所以，故实数的取值范围为.

18．已知函数，且的反函数为.

(1)求的值；

(2)若函数，问：是否存在零点，若存在，请求出零点及相应实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）求出函数的解析式，利用对数的运算性质结合对数恒等式可求得所求代数式的值；

（2）设，设，对的符号进行分类讨论，判断函数的零点个数，结合二次方程以及对数与指数的互化可得出函数的零点.

【详解】（1）解：由题意可知，

所以，.

（2）解：因为，令，则，

设，则.

①当时，即当时，函数无零点；

②当时，即当时，，

由可得，解得，此时函数的零点为；

③当时，即当时，

的根为，，

由可得或，解得或.

此时，函数的零点为和.

综上所述，当时，函数无零点；

当时，函数的零点为；

当时，函数的零点为和.

19．已知集合，或，.

(1)若，求的取值范围；

(2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出集合，分析可知，分、两种情况讨论，可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围；

（2）由题意可知，求出集合，可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围.

【详解】（1）解：因为，

因为，则.

①当时，即当时，，合乎题意；

②当时，即当时，，要使得，

则，解得，此时.

综上所述，实数的取值范围是.

（2）解：由题意可知，且，所以，解得.

因此，实数的取值范围是.

20．2020年初，一场突如其来的“新冠肺炎”袭击了我国，给人民的身体健康造成了很大的威胁，也造成了医用物资的严重短缺，为此，某公司决定大量生产医用防护服.已知该公司生产防护服的固定成本为30万元，每生产一件防护服需另投入40元.设该公司一个月内生产该产品万件，且能全部售完.若每万件防护服的销售收入为万元，且

(1)求月利润（万元）关于月产量（万件）的函数关系式（利润销售收入一成本）；

(2)当月产量为多少万件时，该公司可获得最大利润，并求该公司月利润的最大值.

【答案】(1)

(2)当月产量万件时，该公司可获得最大利润，月利润最大值为万元，

【分析】（1）由题意列式求解，

（2）由二次函数性质与基本不等式求解，

【详解】（1）由题意得，

，

当时，，

当时，

故

（2）当时，在时最大，最大值，

当时，由基本不等式得，

当且仅当即时等号成立，

故在时最大，最大值，

综上，当月产量万件时，该公司可获得最大利润，月利润最大值为万元，

21．已知函数是上的奇函数（为常数）.

(1)求的解析式；

(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用奇函数定义及性质，列式计算求出a，b作答.

（2）由（1）的结论，探讨函数的单调性，再等价变形不等式，分离参数即可求解作答.

【详解】（1）因函数是上的奇函数，则有，解得，即，

，，即，，解得，

所以.

（2）由（1）知，在上单调递减，

而，

即，则，

依题意，存在，，当时，，

，当且仅当，即取等号，

又，因此当时，取得最大值，则，

所以实数的取值范围是.

22．已知函数.

(1)求的单调区间；

(2)若，且，使得，求的取值范围.

【答案】(1)递减区间是，递增区间是；

(2).

【分析】（1）化函数为分段函数，再直接求出单调区间作答.

（2）求出函数，再求出在上的最小值，在上的最小值，利用给定条件列式求解作答.

【详解】（1）函数定义域为R，

显然当时，是递减的，当时，是递增的，

所以函数的递减区间是，递增区间是.

（2）依题意，，而，，

当时，是递减的，当时，是递增的，

因此当时，，

，而，当时，在上单调递增，，

当时，在上单调递减，在上单调递增，，

当时，在上的最小值为，因此当时，，

当时，，于是得在上的最小值为和中最小的，

，使得，等价于在上的最小值大于在上的最小值，

因此，当时，，解得，

当时，恒成立，即有，

当时，或，即或，解得，

综上得，

所以的取值范围是.