2021-2022学年山东省聊城市聊城第一中学高一下学期5月质量检测数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年山东省聊城市聊城第一中学高一下学期5月质量检测数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年山东省聊城市聊城第一中学高一下学期5月质量检测数学试题

一、单选题
1．下列四个选项中的命题是真命题的是（　　）
A．若四点不共面，则其中任意三点不共线
B．空间中，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．空间中，两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两个不重合的平面最多可将空间分成三个部分
【答案】A
【分析】A选项用反证法进行判断；BCD选项根据空间图形的位置关系进行判断.
【详解】A选项，对于空间中的个点，若其中个点共线，则这个点共面，
此时与“四点不共面”矛盾，所以若四点不共面，则其中任意三点不共线，A选项正确.
B选项，空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能异面，所以B选项错误.
C选项，空间中，两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，不是平面图形，所以C选项错误.
D选项，两个不重合的平面最多可将空间分成四个部分，D选项错误.
故选：A
2．名跳高运动员参加一项校际比赛，成绩分别为、、、、、、、、、、、、、、、（单位：），则比赛成绩的分位数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将数据由小到大排列，结合百分位数的定义可求得结果.
【详解】将成绩由小到大进行排列：、、、、、、
、、、、、、、、、，
，故比赛成绩的分位数是.
故选：C.
3．下列说法中正确的是（　　）
A．若，则
B．平面内的三个顶点到平面的距离相等，则与平行
C．若，则
D．若，，则
【答案】C
【分析】根据线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】A选项，，则与可能异面，所以A选项错误.
B选项，平面内的三个顶点到平面的距离相等，
则与可能相交，所以B选项错误.
C选项，由于，所以；
由于，根据线面平行的性质可知，在平面内，存在直线，
则，所以，所以C选项正确.
D选项，，，则可能在平面内，所以D选项错误.
故选：C
4．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且，，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据互斥事件的知识列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】由于互斥，且发生的概率均不为，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
5．在长方体中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取的中点，连接、、、，分析可知异面直线与所成角为或其补角，计算出三边边长，可求得的值，即可得解.
【详解】取的中点，连接、、、，如下图所示：

因为且，、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，所以，且，
因为且，且，
故四边形为平行四边形，所以，，
所以，异面直线与所成角为或其补角，
由勾股定理可得，，
，，则，
所以，，因为，故.
因此，异面直线与所成角的大小是.
故选：B.
6．下列命题正确的是（　　）
A．事件、满足，则、是对立事件
B．互斥事件一定是对立事件
C．若事件、、两两互斥，则
D．若为不可能事件，则
【答案】D
【分析】利用特例可判断A选项；利用互斥事件与对立事件的关系可判断B选项；利用互斥事件的概率加法公式可判断C选项；利用并事件的概率公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，例如，在编号为、、、、的小球中任取一球，
定义事件所抽小球的编号不小于，定义事件所抽小球编号不小于，
则，且，A错；
对于B选项，互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件，B错；
对于C选项，若事件、、两两互斥，则，C错；
对于D选项，若为不可能事件，则，D对.
故选：D
7．在四棱锥中，平面，四边形ABCD为矩形，，PC与平面所成的角为，则该四棱锥外接球的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】判断出是外接球的直径，求得，从而计算出外接球的体积.
【详解】由于平面，平面，所以，
由于四边形是矩形，所以，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以；同理可证得，
所以是外接球的直径.
由平面可知：是PC与平面所成的角，
所以，所以.
所以外接球的半径为，
所以外接球的体积为.
故选：C

8．如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点E，F，且，以下结论不正确的有（　　）

A．
B．异面直线所成的角为定值
C．二面角A－EF－B的大小为定值
D．三棱锥的体积是定值
【答案】B
【分析】先判断平面，对选项逐一分析，结合线线垂直、异面直线所成角、二面角、三棱锥的体积的知识确定正确答案.
【详解】连接，设，则，

根据正方体的性质可知，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以，所以A选项正确.
过作，交于，连接，
由于，所以四边形是平行四边形，
所以，所以是异面直线所成的角（或其补角），
在中，是定值，点在线段上运动（非圆弧），所以不是定值，
所以B选项错误.
平面也即是平面，当运动时，平面不变，
平面（即平面）也不变，所以二面角的大小为定值，C选项正确.
由上述分析可知平面，，
由于三角形的面积和的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，D选项正确.
故选：B


二、多选题
9．设，为两个不同的平面，则的充分条件可以是（　　）
A．内的所有直线都与平行 B．内有无数条直线与平行
C．和都平行于同一平面 D．和平行于同一条直线
【答案】AC
【分析】根据线面平行、面面平行的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，若内的所有直线都与平行，则与没有公共点，所以，A选项正确.
B选项，若内有无数条直线与平行，则与可能相交，B选项错误.
C选项，若和都平行于同一平面，则与没有公共点，所以，C选项正确.
D选项，若和平行于同一条直线，则与可能相交，D选项错误.
故选：AC
10．如图，正四棱柱中，，，点E，F，G分别为棱CD，，的中点，则下列结论中正确的有（　　）

A．
B．平面AEF
C．
D．点D到平面AEF的距离为
【答案】ABD
【分析】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出 、的坐标，求数量积可判断A；求出、平面的一个法向量的坐标，由线面平行的向量求法可判断B；求出、的坐标，根据向量共线的条件可判断C；利用点到平面的距离的向量求法可判断D.
【详解】以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，
对于A，，，所以，
即，所以，故A正确；
对于B，，，，，，
，，，
设为平面的一个法向量，
所以，即，令，则，所以，
所以，，所以平面，故B正确；
对于C， ，，，，
，，所以，所以与不平行，故C错误；
对于D，平面的一个法向量为，，
所以点D到平面的距离为，故D正确.
故选：ABD，

11．某校高二年级有男生600人，女生400人，张华按男生、女生进行分层，通过分层抽样的方法，得到一个总样本量为100的样本，计算得到男生、女生的平均身高分别为170cm和160cm，方差分别为15和30，则下列说法正确的有（　　）
A．若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则男生、女生分别应抽取60人和40人；
B．若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则样本的方差为37.8；
C．若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则样本的平均数为166，此时可用样本平均数估计总体的平均数；
D．若张华采用等额抽取，即男生、女生分别抽取50人，则某男生甲被抽到的概率为.
【答案】AC
【分析】根据分层抽样、方差、平均数、古典概型等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，男生抽取，女生抽取人，A选项正确.
C选项，样本平均数为，可以用样本平均数估计总体的平均数，C选项正确.
B选项，样本方差为
，所以B选项错误.
D选项，男生甲被抽到的概率为，D选项错误.
故选：AC
12．已知在直四棱柱中，底面为菱形且，四边形是边长为的正方形，点为底面内一动点（不包含边界），满足平面，则下列说法正确的是（　　）
A．异面直线BC1与所成角为
B．任意点均满足
C．三棱锥的体积为
D．点的轨迹长度为
【答案】BC
【分析】首先分析直四棱柱的棱长，然后根据线线角、线线垂直（线面垂直）、锥体体积、动点轨迹等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，在直四棱柱中，底面为菱形且，
四边形是边长为的正方形，,
所以是等边三角形，设，
则，
所以.
对于A选项，根据直四棱柱的性质可知，
设，则是异面直线BC1与所成角（或其补角），
，所以，
所以三角形是等边三角形，所以，所以A选项错误.
根据直棱柱的性质可知，
由于平面，平面，所以平面；
同理可证得平面；由于平面，
所以平面平面，
由于平面，且为底面内一动点（不包含边界），
所以的轨迹是线段，所以点的轨迹长度是，D选项错误.
由于四边形是菱形，所以，
根据直棱柱的性质 ，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以，所以B选项正确.
，所以C选项正确.
故选：BC


三、填空题
13．已知长方体中，点A在平面上的射影为O，则点O是的_______心.
【答案】垂
【分析】连接延长交于，连接延长交于，利用线面垂直的性质可得，，再由线面垂直的判定定理可得平面，从而，同理可得
，从而点到答案.
【详解】连接延长交于，连接延长交于，
因为平面，平面，所以，
因为平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
平面，所以，
因为平面，平面，所以，
因为平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
平面，所以，
则点O是的垂心.
故答案为：垂.

14．两位男同学和两位女学生随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是______.
【答案】
【分析】利用捆绑法可求得两位女同学相邻的排法数；通过全排列求得四位同学排成一列的排法总数，根据古典概型概率公式求得结果.
【详解】两位女同学相邻的排法共有：种排法
四位同学排成一列共有：种排法
两位女同学不相邻的概率：
本题正确结果：
【点睛】本题考查古典概型求解概率问题，关键是能够利用排列的知识求解出符合题意的排法数和总体的排法数，涉及到利用捆绑法解决排列中的相邻问题.
15．已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=4，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么点P到平面ABC的距离为___________.
【答案】
【分析】通过线线垂直、线面垂直以及勾股定理等知识求得到平面的距离.
【详解】设在平面内的射影为，则平面，
由于平面，所以，
过作，垂足分别为，
由于，所以四边形是矩形.
由于平面，所以平面，
平面，所以；同理可证得.
所以，，
，即到平面的距离是.
故答案为：

16．已知二面角的大小为，点，，为垂足，点，，为垂足. 若，，则_______.
【答案】
【分析】以、为邻边作平行四边形，连接、，分析可知二面角的平面角为，推导出，求出、的长，利用勾股定理可求得的长.
【详解】以、为邻边作平行四边形，连接、，如下图所示：

因为四边形为平行四边形，
则且，，，
因为，则，又因为，
所以，二面角的平面角为，
因为，故为等边三角形，所以，，
，，则，，
，、平面，平面，
平面，，.
故答案为：.

四、解答题
17．如图，在长方体中，.

(1)求直线与平面的距离；
(2)求四棱锥的体积；
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）先证得平面，然后利用等面积法求得直线与平面的距离.
（2）根据锥体体积公式求得正确答案.
【详解】（1）由于平面平面，
所以平面.
过作，垂足为，
根据长方体的性质可知，
由于平面，所以平面，
在直角三角形中，，，
解得，所以直线与平面的距离为.
（2）由（1）知，四棱锥的高为，
所以.

18．如图，在中，，，，沿中线将翻折成使得平面平面，设为的中点.

(1)求线段的长；
(2)求直线与平面所成角的正切值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）推导出平面，可得出，利用余弦定理以及勾股定理可求得线段的长；
（2）利用线面角的定义可知即为直线与平面所成的角，在中可求得的正切值，即为所求.
【详解】（1）翻折前，在中，，，则，
且，故是正三角形，
翻折后，连接，仍有是正三角形，而为的中点，所以，，
且，
如图，在中，，，，

由余弦定理得：，
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
而平面，故，则有，即.
（2）由（1）知，平面，则即为直线与平面所成的角，
在中，，，，
所以直线与平面所成角的正切值为.
19．一个信箱里装有标号为1，2，3，4的4封大小完全相同的信件，先后随机地选取2封信，根据下列条件，分别求2封信上的数字为不相邻整数的概率.
(1)信的选取是无放回的；
(2)信的选取是有放回的.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据“无放回”选取，利用列举法，结合古典概型概率计算公式、对立事件概率计算公式，计算出正确答案.
（2）根据“有放回”选取，利用列举法，结合古典概型概率计算公式计算出正确答案.
【详解】（1）记事件为“选取的2封信上的数字为相邻整数”．
从4封信中无放回地随机选取2封，则试验的样本空间
{（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），
（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）}，
共有12个样本点，这12个样本点出现的可能性是相等的，
{（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）}，包含6个样本点．
由古典概型的概率计算公式知，
故无放回地选取2封信，这2封信上数字为不相邻整数的概率为.
（2）从4封信中有放回地随机选取2封，则试验的样本空间{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），
（4，2），（4，3），（4，4）}，
共有16个样本点，这16个样本点出现的可能性是相等的．
{（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）}，包含6个样本点，
且这6个样本点出现的可能性是相等的．
由古典概型的概率计算公式知，
故有放回地选取2封信，这2封信上数字为不相邻整数的概率为.
20．共享单车入驻某城区5年以来，因其“绿色出行，低碳环保”的理念而备受人们的喜爱，值此5周年之际，某机构为了了解共享单车使用者的年龄段、使用频率、满意度等三个方面的信息，在全市范围内发放10000份调查问卷，回收到有效问卷6300份，现从中随机抽取160份，分别对使用者的年龄段、26～35岁使用者的使用频率、26～35岁使用者的满意度进行汇总，得到如下三个表格：
表（一）
使用者年龄段
25岁以下
26岁～35岁
36岁～45岁
45岁以上
人数
40
80
20
20

表（二）
使用频率
0～6次/月
7～14次/月
15～22次/月
23～31次/月
人数
10
20
40
10

表（三）
满意度
非常满意（10）
满意（9）
一般（8）
不满意（7）
人数
30
20
20
10

(1)依据上述表格完成下列三个统计图形：
　　  


　
(2)某城区现有常住人口80万，请用样本估计总体的思想，试估计年龄在26岁～35岁之间，每月使用共享单车在7～14次的人数.
【答案】(1)答案见解析
(2)10（万人）

【分析】（1）依据表格完成三个统计图形即可；
（2）由表（一）年龄在26岁～35岁之间的人数占总抽取人数的比估算80万人口中年龄在26岁～35岁之间的人数即可；由表（二）年龄在26岁～35岁之间每月使用共享单车在7～14次之间的人数占总抽取人数的比来估算年龄在26岁～35岁之间的40万人中每月使用共享单车在7～14次之间的人数可得答案.
【详解】（1）

（2）由表（一）可知年龄在26岁～35岁之间的有80人，占总抽取人数的，所以80万人口中年龄在26岁～35岁之间的约有（万人）．
由表（二）可知，年龄在26岁～35岁之间每月使用共享单车在7～14次之间的有20人，占总抽取人数的，所以年龄在26岁～35岁之间的40万人中，每月使用共享单车在7～14次之间的约有（万人）
21．如图，在直角梯形ABCD中，，，，点E是BC的中点. 将沿BD折起，使，连接AE、AC、DE，得到三棱锥.

(1)求证：平面ABD；
(2)若，求二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2).

【分析】（1）通过证明来证得平面.
（2）作出二面角的平面角，解三角形求得平面角的大小.
【详解】（1）由于平面，
所以平面.由于平面，所以.
由于平面，
所以平面.
（2）分别取的中点，连接，
由于分别是的中点，所以，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以.
由于分别是的中点，所以，
由于，所以，
由于平面，所以平面，
所以是二面角的平面角.
在中，，
所以，则为锐角，且，
所以二面角的平面角为.

22．如图，四棱锥中，，，点为上一点，为，且平面.

(1)若平面与平面的交线为，求证：平面；
(2)求证：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）结合线面平行的判定定理和性质定理证得：平面.
（2）结合线面平行的性质定理和三角形重心的知识证得：.
【详解】（1）∵，平面平面，∴平面.
∵平面，平面平面，∴.
∵平面平面，   
∴平面.
（2）连接，设，，连接，
∵平面平面，平面平面，
∴，
∵，，所以，
∴，
∴点是的重心，
∴点是的中点，
∴，
∴，
∴.