2021-2022学年山东省聊城市聊城第一中学高一下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年山东省聊城市聊城第一中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．己知是虚数单位，复数，下列说法正确的是（    ）

A．的虚部为 B．的共轭复数对应的点在第三象限

C．的实部为1 D．的共轭复数的模为1

【答案】D

【分析】首先求出复数，从而根据实部虚部的概念即可直接判断AC选项，然后求出的共轭复数为，结合模长公式以及复数在复平面所对应点的特征即可判断BD选项.

【详解】因为，所以，

所以的虚部为，故A错误；

的共轭复数为，其对应的点是，在第一象限，故B错误；

的实部为，故C错误；

的共轭复数为，则模长为，故D正确，

故选：D.

2．已知为三条不重合的直线，是两个不重合的平面，给出下列四个说法：

①，则；

②，则；

③，则；

④，则.

其中正确的是（    ）

A．①④ B．①② C．②④ D．③④

【答案】C

【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对各选项逐一判断即可．

【详解】对①，，则，可以平行、相交或异面，故①不正确；

对②，根据平行线的传递性，可知②正确；

对③，，则或，故③不正确；

对④，根据线面平行的判定定理，可知④正确．

故选：C

3．下列命题中正确的个数是（    ）

①起点相同的单位向量，终点必相同；

②已知向量，则四点必在一直线上；

③若，则；

④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【分析】由平面向量的概念对选项逐一判断，

【详解】对于A，单位向量的方向不确定，故起点相同的单位向量，终点不一定相同，故A错误，

对于B，向量，则四点共线或，故B错误，

对于C，若，当时，不一定平行，故C错误，

对于D，若三点共线，则，此时起点不同，终点相同，故D错误，

故选：A

4．已知复数是纯虚数，则实数（    ）

A． B． C．0 D．1

【答案】B

【分析】由纯虚数的定义得出实数.

【详解】，因为复数是纯虚数，所以，且，解得.

故选：B

5．在中，，则中最小的边长为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】易得，再根据正弦定理计算最小角的对边即可.

【详解】由题意，，故中最小的边长为.

由正弦定理，故.

故选：B

6．已知底面为正方形的四棱锥内接于半径为2的球，若底面正方形的边长为2，则四棱锥的体积最大值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】当球心在高线上时，四棱锥的体积最大，求出高，进而得出体积.

【详解】底面为正方形的四棱锥内接于半径为2的球，若四棱锥的体积最大，

则四棱锥的高最大，即球心在高线上，

设四棱锥的高为，可得，则，

故四棱锥的体积最大值为.

故选：D

7．已知，点在线段上，且，设，，则的值分别为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意可知为直角三角形，且，结合余弦定理证得为的中点，从而得出结论.

【详解】

根据题意可知为直角三角形，且，又因为，所以，设，则，所以，则，故为的中点，因此，即，

故选：C.

8．已知正方体的棱长为分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，若平面，则线段的长度范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先过点画出与平面平行的平面，然后得出点的轨迹，最后计算的长度取值范围即可.

【详解】如图，分别作的中点,连接

显然,

且平面，；平面,

所以平面平面

平面平面

所以动点在正方形的轨迹为线段

在三角形中，，

所以点到点的最大距离为，最小距离为等腰三角形在边上的高为

故选：B

二、多选题

9．下列命题正确的是（    ）

A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台

B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形

C．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形

D．棱柱的面中，至少有两个面互相平行

【答案】BD

【分析】根据常见几何体的性质与定义逐个选项辨析即可.

【详解】对A，棱台指一个棱锥被平行于它的底面的一个平面所截后，截面与底面之间的几何形体，其侧棱延长线需要交于一点，故A错误；

对B，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故B正确；

对C，用平面截圆柱得到的截面也可能是椭圆，故C错误；

对D，棱柱的面中，至少上下两个面互相平行，故D正确；

故选：BD

10．下列说法中正确的有（    ）

A．已知在上的投影向量为且，则；

B．已知，且与夹角为锐角，则的取值范围是；

C．若非零向量满足，则与的夹角是.

D．在中，若，则为锐角；

【答案】AC

【分析】结合投影向量的概念以及平面向量数量积的定义可判断A选项，结合平面向量数量积和向量共线的坐标运算即可判断B选项，根据平面向量夹角的公式以及数量积的运算律即可判断C选项，结合平面向量数量积的定义即可判断D选项.

【详解】设与的夹角为，又因为在上的投影向量为，所以，即，所以，故A正确；

因为，则，又因为与夹角为锐角，

所以，且与不共线，即，解得，所以则的取值范围是，故B错误；

因为，两边同时平方得，即，所以，即，

因此

，又因为向量夹角的范围是，所以，故C正确；

因为，所以，

因为，故，又因为，故，因此为钝角，故D错误，

故选：AC.

11．下列说法中正确的有（    ）

A．已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点在第四象限；

B．已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点在第三象限；

C．在中，若，则为等腰或直角三角形；

D．在中，若，则为等腰三角形.

【答案】ABD

【分析】结合复数的四则运算以及复数在复平面内所对应点的特征即可判断AB选项，结合正弦定理即可判断C选项，根据平面向量数量积的定义以及诱导公式即可判断D选项.

【详解】因为，所以，所以，其所对应的点的坐标是，在第四象限，故A正确；

，所对应的点的坐标是，在第三象限，故B正确；

因为，结合正弦定理可得，因此为等腰三角形，故C错误；

因为，所以，即，即，

所以，又因为，所以，所以为等腰三角形，故D正确，

故选：ABD.

12．如图在正方体中，分别是棱的中点，点是线段上的动点（不包含端点）则下列说法中一定正确的是（    ）

A．MN平面APC；

B．存在唯一点，使得平面；

C．点到平面的距离为定值；

D．若为棱的中点，则四面体的体积为定值.

【答案】BD

【分析】对A，举反例在平面上即可；对B，根据平面，结合线面平行的判定与性质判断即可；对C，推导可得在平面两侧即可判断；对D，连接交于，连接，根据平面判断即可.

【详解】对A，因为分别是棱的中点，故，所以共面，故当是线段与平面的交点时，平面不成立，故A错误；

对B，因为分别是棱的中点，易得均全等，故，所以四边形为菱形，故.

又平面，平面，故平面.

又因为，连接交于，此时平面；当不为交点时，与平面不平行，故B正确；

对C，取中点，由A可得，同理，又，故.

故平面即平面，易得在平面两侧，故点到平面的距离不为定值，故C正确；

对D，连接交于，连接.因为为中点，故，平面，平面，故平面，故到平面的距离为定值，故四面体的体积为定值，故D正确；

故选：BD

三、填空题

13．已知平面向量，则与的夹角为______.

【答案】

【分析】由平面向量夹角的坐标表示求解，

【详解】由题意得，，，

故答案为：

14．一个四棱锥的体积为4，其底面是边长为2的正方形，侧棱长都相等，则该四棱锥的侧面积为______.

【答案】

【分析】先求出该四棱锥的高以及侧棱长，进而得出该四棱锥的侧面积.

【详解】设侧棱长为，该四棱锥的高为，由题意可得底面正方形的对角线为，

则，解得，

即该四棱锥的侧面积为.

故答案为：

15．2021年6月，位于聊城开发区的中华路徒骇河大桥建成通车，成为聊城市的又一大地标性建筑.某人想了解大桥的最高点到地面的距离，在地面上的两点测得最高点的仰角分别为（点与在地面上的投影O在同一条直线上），又量得米，根据测量数据可得高度______米.

【答案】

【分析】由得出，再由正弦定理求解即可.

【详解】由题可得，所以米，由正弦定理可得米.

故答案为：

四、双空题

16．如图，三角形中，，点在线段上，，则面积为______，点是外接圆上任意一点，则最大值为______.

【答案】          18

【分析】利用勾股定理及余弦定理求得，从而可求得，即可得出面积，利用余弦定理求出，设外接圆的圆心为，半径为，利用正弦定理求出外接圆半径，再以为原点建立平面直角坐标系，设，利用坐标法结合三角函数的性质即可得出答案.

【详解】解：因为，所以，

则，

又

，

解得，

所以，

所以，

在中，，

则，

又，所以，

设外接圆的圆心为，半径为，

则，所以，

则为等边三角形，，

如图，以为原点建立平面直角坐标系，

则，

设，

则，

则，

所以当时，.

故答案为：；18.

五、解答题

17．已知为虚数单位.

(1)若复数在复平面内对应的点在第三象限，求的范围；

(2)若复数满足，求复数.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据复数在复平面内对应的点的特点，解不等式组得出的范围；

（2）根据复数相等以及模长公式得出复数.

【详解】（1）因为复数在复平面内对应的点在第三象限，

所以，

得的取值范围是：

（2）设复数，由条件得，

所以解得：，所以

18．已知的内角所对的边分别为，______且，请从①，②，③这三个条件中任选一个补充在横线上，求出此时的面积.

【答案】

【分析】选择①：由正弦定理的边化角得出，再由正弦定理得出，最后由面积公式计算即可.

选择②：由辅助角公式结合三角函数的性质得出，再由正弦定理得出，最后由面积公式计算即可.

选择③：由余弦定理得出，再由正弦定理得出，最后由面积公式计算即可.

【详解】解：若选择①，则，

因为，所以，

因为，所以

所以，在中由正弦定理，

得，因为，所以，

所以，

所以

若选择②，则，

所以，因为，所以，

所以，所以；

所以，在中由正弦定理，

得，因为，所以，

所以，

所以

若选择③，

由余弦定理，因为，所以；

所以，在中由正弦定理，

得，因为，所以，

所以，

所以

19．如图：在正方体中，为的中点.

(1)求证：平面；

(2)若为的中点，求证：平面平面.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）设，接，证明，再根据线面平行的判定定理即可得证；

（2）证明四边形为平行四边形，从而可得，即可证得平面，再根据面面平行的判定定理即可得证.

【详解】（1）证明：设，接，

在正方体中，四边形是正方形，是中点，

是的中点，，

平面平面

平面；

（2）证明：为的中点，为的中点，

，

四边形为平行四边形，，

又平面平面平面，

由（1）知平面平面平面，

平面平面.

20．如图所示，正三棱柱所有棱长均为分别为棱的中点.

(1)求三棱锥的体积；

(2)求直线与所成角的余弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据锥体的体积公式结合转换顶点法运算求解；（2）先证，故即为直线与所成角或其补角，利用余弦定理运算求解.

【详解】（1）由题意可知：点到上底面的距离为2，，

所以.

（2）取中点，连接，

∵分别为棱的中点，

∴，

又∵分别为棱的中点，则，

∴且，则四边形为平行四边形，则，

故即为直线与所成角或其补角，连接，

因为三棱柱各棱长为2，则，

在中，由余弦定理可得，

即异面直线与所成角的余弦值为.

21．某农户有一个三角形地块，如图所示.该农户想要围出一块三角形区域（点在上）用来养一些家禽，经专业测量得到.

(1)若，求的长；

(2)若，求的周长.

【答案】(1)4

(2)

【分析】（1）在中应用正弦定理得出的长；

（2）由结合面积公式得出，再由余弦定理得出，，进而得出的周长.

【详解】（1）解：在中，，且，所以.

因为，，所以.

在，由正弦定理可得，

所以.

（2）因为，所以，

所以，即：，可得.

在中，由余弦定理可得，

所以，解得或（舍去）.

因为，所以.

在中，由余弦定理可得

所以的周长为.

22．如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为的中点.

(1)证明：AF平面；

(2)在线段上是否存在一点，使得平面，并给出必要的证明.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，证明见解析

【分析】（1）取中点，证明四边形为平行四边形即可；

（2）设，取中点，先证明平面，即可证明点在线段靠近端的三等分点时符合题意.

【详解】（1）证明：取中点，连接，在中，为的中点，

.

为的中点，，

即四边形为平行四边形，.

平面平面平面.

（2）设，取中点，连接，则在中，

分别是的中点，

平面平面，

平面.

与相似，且相似比为，

为的三等分点.

在点位置时满足平面.

即点在线段靠近端的三等分点时符合题意.

23．在中，内角的对边分别为，已知.

(1)求内角；

(2)若为锐角三角形且，求周长的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变化公式，结合三角形内角范围化简求解即可；

（2）根据正弦定理与三角恒等变换公式可得，再根据三角形内角范围求解即可.

【详解】（1）在中，因为，由正弦定理得：

化简得：.

因为，所以，所以，即，所以，即.

因为，所以.所以.

（2）在中，由正弦定理得，所以.

同理，所以周长：

，

因为为锐角三角形，所以，由，所以，所以，

所以周长的取值范围是：