2021-2022学年山东省临沂市临沂第四中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年山东省临沂市临沂第四中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】该题考查了特称命题及否定形式知识，量词要改变，结论要否定．

【详解】根据特称命题的否定形式得，

“，”的否定是：，，故A，B，C错误.

故选：D．

2．已知集合，，若，则实数的值为（    ）

A． B．0

C．1 D．

【答案】A

【分析】根据，得到，再由集合元素的互异性求解.

【详解】因为，所以，

又，所以且，

所以，所以或（舍去），

此时满足.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念，集合中元素的互异性，属于基础题.

3．“是钝角”是“是第二象限角”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据钝角和第二象限角的定义，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.

【详解】因为是钝角，所以，因此是第二象限角，

当是第二象限角时，例如是第二象限角，但是显然不成立，

所以“是钝角”是“是第二象限角”的充分不必要条件，

故选：A

4．下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】D

【分析】对于A，根据两个函数的对应关系不同可知不表示同一个函数；

对于B，利用对数的性质化简函数解析式，再根据两个函数的对应关系不同可知不表示同一个函数；

对于C，根据两个函数的定义域不同可知不表示同一个函数；

对于D，利用对数的性质化简函数解析式，再根据两个函数的对应关系和定义域都相同可知表示同一个函数；

【详解】对于A，函数与函数的对应关系不同，不表示同一个函数，故A不正确；

对于B，函数与的对应关系不同，不表示同一个函数，故B不正确；

对于C，函数与的定义域不同，不表示同一个函数，故C不正确；

对于D，函数与的定义域和对应关系都相同，表示同一函数，故D正确.

故选：D

5．函数的零点所在的区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用函数的零点存在定理判断.

【详解】因为，

，

.

所以函数的零点所在的区间为，

故选：C

6．设，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先判断的范围，利用和判断出，，再结合正切函数判断出，即可求解.

【详解】由，可得，故，即，，即，又时，，，故，综上.

故选：D.

7．已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若，则的最小值为（    ）

A．2 B． C．3 D．

【答案】B

【分析】利用图象的变换可得，进而可得，即求.

【详解】由题可得，又，

∴函数为偶函数，

∴，即，,

∴时，有最小值为.

故选：B

8．在标准温度和压力下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位：，记作）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位：，记作）的乘积等于常数.已知值的定义为，健康人体血液值保持在7.35～7.45之间，则健康人体血液中的可以为

（参考数据：，）

A．5 B．7 C．9 D．10

【答案】B

【分析】首先根据题意，求出所求式子的常用对数，结合题中所给的条件，将其转化为与相关的量，借助于题中所给的范围以及两个对数值，求得结果.

【详解】由题意可知，，且，

所以，

因为，所以，

，

分析比较可知，所以可以为7，

故选B.

【点睛】该题考查的是有关健康人体血液中的的求值问题，该题属于现学现用型，在解题的过程中，需要认真审题，明确题意，借助于题中所给的两个对数值，寻求解题思路，属于较难题目.

二、多选题

9．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”．1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【解析】对A,B利用特殊值即可判断；对C，D利用函数的定义逐一验证即可.

【详解】解：对A，当时，，故A错误；

对B，当时，，故B错误；

在C中，当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

即任取，总有，故C正确；

在D中，当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

即任取，总有，故D正确．

故选：CD．

10．已知实数，满足等式，则下列不等式可能成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】作出函数与函数的图像，分，两种情况求解.

【详解】作出函数与函数的图像，如图，

当时，根据图像得，故A选项正确；

当时，根据图像得，故D选项正确；

故选：AD.

11．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，卫星图片可以看成一个圆形，如果将其一分为二成两个扇形，设其中一个扇形的面积为，圆心角为，天坛中剩余部分扇形的面积为，圆心角为，当与的比值为时，则裁剪出来的扇形看上去较为美观，那么（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】理解题意，根据扇形的面积公式化简，对选项依次判断

【详解】设天坛的圆形的半径为，由，故D正确；

由，所以，解得，故C正确；

由，则，所以，

所以，故A正确，B错误．

故选：ACD

12．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．是奇函数

B．函数与坐标轴有且仅有两个交点

C．函数的零点大于

D．函数有且仅有4个零点

【答案】AB

【分析】首先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性与单调性，再结合函数的性质一一分析分析即可；

【详解】解：因为，所以，即，解得，即函数的定义域为，且，故为奇函数，故A正确，

又在上单调递减，在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递减，则与只有一个交点，即与轴有一个交点，又，所以与坐标轴有两个交点，故B正确；

令，则，因为，所以，所以函数的零点小于，故C错误；

因为在定义域上单调递减，且，则令，即，解得，，即函数有无数个零点，故D错误；

故选：AB

三、填空题

13．已知幂函数的图像过点，则____________．

【答案】

【详解】试题分析：设幂函数，代入点，得，所以，所以答案应填：．

【解析】幂函数．

14．函数是定义在上的奇函数，并且满足，当时，，则__________.

【答案】

【分析】根据已知条件，可求函数的周期性，对称性，以及的值，利用函数函数的周期性，奇偶性进行计算即可.

【详解】解：因为，故，则函数的周期是2，

又函数是定义在上的奇函数，则；

则，，

当时，，则，

则.

故答案为：.

15．2020年12月4日，我国科学家宣布构建了76个光子（量子比特）的量子计算原型机“九章”．“九章”得名于我国古代的数学名著《九章算术》，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方（即尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）.设，则的值为__________．

【答案】

【分析】根据题意，将长度设为尺，则长度为尺，利用勾股定理求出得各边长，得到的值，再利用二倍角公式即可求解.

【详解】根据题意得，在中，，，

设长度为尺，则长度为尺，

所以，即，解得，即，

所以，又因为，

所以或，

因为，所以，所以.

故答案为：.

四、双空题

16．已知x>0，y>0，且x+2y=xy，若x+2y>m2+2m恒成立，则xy的最小值为_____，实数m的取值范围为_____.

【答案】     8    

【解析】x+2y=xy等价于1，根据基本不等式得出xy≥8，再次利用基本不等式求出x+2y的最小值，进而得出m的范围.

【详解】∵x>0，y>0，x+2y=xy，

∴1，

∴1，

∴xy≥8，当且仅当x=4，y=2时取等号，

∴x+2y=8(当x=2y时，等号成立)，

∴m2+2m<8，解得﹣4<m<2.

故答案为：8；(﹣4，2)

【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.

五、解答题

17．化简求值：

（1）；

（2）．

【答案】(1);(2)

【分析】（1）根据指数幂的运算,化简即可.

（2）由对数的运算化简即可得解.

【详解】（1）根据指数幂的运算,化简

（2）由对数的运算,化简

【点睛】本题考查了分数指数幂的运算与化简,对数的运算性质的应用,属于基础题.

18．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用三角函数的定义先求，再利用二倍角公式求解即可；

（2）利用三角函数的定义先求，再利用余弦两角和公式求解即可

【详解】（1）解：角以为始边，终边经过点

所以

所以.

（2）解：角以为始边，终边经过点

所以

所以.

19．已知函数是上的偶函数．

（1）解不等式；

（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】(1）先利用偶函数的定义求出，设，则不等式即为，再解关于x的不等式即可;

(2）问题转化为在恒成立，设，(t <0) ，则在时恒成立，即可求出的取值范围.

【详解】（1）为偶函数

恒成立，

恒成立，

即恒成立，

，，

，

，

设，则不等式即为，

，

所以原不等式解集为．

（2）在上恒成立，

即：在上恒成立，

令，则，

在时恒成立，所以，

又，当且仅当时等号成立，

则．

所以．

20．研究发现，在分钟的一节课中，注力指标与学生听课时间（单位：分钟）之间的函数关系为.

(1)在上课期间的前分钟内（包括第分钟），求注意力指标的最大值；

(2)根据专家研究，当注意力指标大于时，学生的学习效果最佳，现有一节分钟课，其核心内容为连续的分钟，问：教师是否能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间内，学习效果均在最佳状态？

【答案】(1)；(2)不能.

【解析】（1），，配方求出函数的对称轴，结合函数图像，即可求解；

（2）求出时，不等式解的区间，求出区间长度与25对比，即可得出结论.

【详解】（1），，

当时，取最大值为，

在上课期间的前分钟内（包括第分钟），注意力指标的最大值为82；

（2）由得，或

整理得或，

解得或，

的解为，

而，

所以教师无法在学生学习效果均在最佳状态时，讲完核心内容.

【点睛】本题考查函数应用问题，考查函数的最值，以及解不等式，属于中档题.

21．已知函数，直线是函数f(x)的图象的一条对称轴.

（1）求函数f(x)的单调递增区间;

（2）已知函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若求的值.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）首先化简函数，再根据是函数的一条对称轴，代入求，再求函数的单调递增区间；（2）先根据函数图象变换得到，并代入后，得，再利用角的变换求的值.

【详解】（1），

当时，，得，

，，

即，令，

解得：，，

函数的单调递增区间是；

（2），

，得，

，，，

【点睛】方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及的性质，属于中档题型，的横坐标伸长（或缩短）到原来的倍，得到函数的解析式是，若向右（或左）平移（）个单位，得到函数的解析式是或.

22．已知函数．

（Ⅰ）当时，求在区间上的值域；

（Ⅱ）当时，是否存在这样的实数a，使方程在区间内有且只有一个根？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，.

【解析】（Ⅰ）先把代入解析式，再求对称轴，进而得到函数的单调性，即可求出值域；

（Ⅱ）函数在区间内有且只有一个零点，转化为函数和的图象在内有唯一交点，根据中是否为零，分类讨论，结合函数的性质，即可求解.

【详解】（Ⅰ）当时，，

对称轴为：，

所以函数在区间单调递减，在区间单调递增；

则，

所以在区间上的值域为；

（Ⅱ）由，

令，可得，

即，

令，，，

函数在区间内有且只有一个零点，

等价于两个函数与的图象在内有唯一交点；

①当时，在上递减，

在上递增，

而，

所以函数与的图象在内有唯一交点.

②当时，图象开口向下，

对称轴为，

在上递减，

在上递增，

与的图象在内有唯一交点，

当且仅当，

即，

解得，

所以.

③当时，图象开口向上，

对称轴为，

在上递减，

在上递增，

与的图象在内有唯一交点，

，

即，

解得，

所以.

综上，存在实数，使函数于在区间内有且只有一个点.

【点睛】关键点睛：本题主要考查了求一元二次函数的值域问题，以及函数与方程的综合应用，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数图象的交点个数问题，结合函数的性质求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力.