2021-2022学年上海市崇明中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市崇明中学高一上学期期末数学试题

一、填空题

1．函数的定义域为________________

【答案】

【详解】要使函数有意义，

则，

所以函数的定义域为，

故答案为.

2．不等式的解集为________.

【答案】

【分析】根据绝对值定义化简求解，即得结果.

【详解】∵

，

∴不等式的解集为.

故答案为：.

【点睛】本题考查解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.

3．若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是___________.

【答案】

【分析】将关于的不等式在上恒成立，转化成，从而得到关于的不等式，求得的范围．

【详解】因为不等式在上恒成立．

，解得

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及恒成立问题的转化，同时考查了计算能力，属于基础题．

4．函数，则_______.

【答案】

【分析】先计算，再计算即可.

【详解】因为，

所以，

故答案为：

【点睛】本题主要考查了分段函数求函数值，属于基础题.

5．若，则的最小值为______．

【答案】3

【分析】运用基本不等式即可.

【详解】因为，

当且仅当时，即，等号成立，

所以的最小值为3.

即答案为:3.

6．设实数集上不等式的解集为，则___________.

【答案】

【分析】本题先求出，再求即可.

【详解】解：因为或

因为实数集上不等式的解集为，所以，

所以

故答案为：

【点睛】本题考查求解分式不等式、集合的补集运算，是基础题.

7．若，，则________.

【答案】

【分析】根据换底公式及对数的运算法则计算可得；

【详解】解：因为，，则

故答案为：

8．已知函数y＝x2﹣2（a+1）x﹣2在区间（﹣∞，4]上是严格减函数，则实数的取值范围是_____．

【答案】

【分析】结合二次函数的单调性和对称轴的关系，分析即得解

【详解】由于函数y＝x2﹣2（a+1）x﹣2在区间（﹣∞，4]上是严格减函数，

由二次函数的性质，函数图象开口向上，对称轴为

故

解得：

故答案为：

9．函数，的反函数为________

【答案】

【解析】先利用已知函数关系解得x关于y的解析式，再将两个变量对换位置即得结果.

【详解】由题知，，，解得，

故函数，的反函数为.

故答案为：.

10．已知函数是定义在上的奇函数，当时，为常数），则=_________.

【答案】

【分析】先由函数奇偶性，结合题意求出，计算出，即可得出结果.

【详解】因为为定义在上的奇函数，当时，，

则，解得，则，

所以，因此.

故答案为：.

11．已知，，若A是B的充分不必要条件，则实数a的取值范围是___________.

【答案】

【分析】设的解集为集合A，的解集设为B，由 A是B的充分不必要条件，可得，即可列出不等式求出的范围.

【详解】由解得，设为集合A，

的解集设为B，

若A是B的充分不必要条件，则，

，解得.

故答案为：.

【点睛】本题考查由集合关系判断充分、必要条件，属于基础题.

12．“求方程的解”有如下解题思路：设，则是R上严格减函数，且，所以原方程有唯一解，类比上述解题思路，不等式的解集是________.

【答案】

【分析】把给出的不等式变形为，然后引入函数，由函数的单调性把不等式转化为较为简单的不等式，求解不等式得答案．

【详解】解：因为，所以，令，，原不等式等价于，设，则函数在定义域上单调递增，因为，所以，即，即，解得，即原不等式的解集为

故答案为：

【点睛】本题考查了简单的合情推理，解答的关键是把复杂的高次不等式通过合理变化，转化为较为简单的不等式，这里构造函数且利用函数的单调性进行转化是解答该题的着眼点．

13．已知函数在上存在最大值或最小值，则实数的取值范围是________

【答案】

【分析】利用对勾函数的性质，对进行讨论可得实数的取值范围.

【详解】函数在上存在最大值或最小值，当时， ，在上不存在最大值或最小值.当时，函数和函数都是递增函数，在上不存在最大值或最小值.当时，函数，当且仅当时取等号，此时可得最小值.即.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查的是函数在给定区间上的最值问题，同时考查学生对对勾函数的理解和应用问题，是中档题.

二、单选题

14．已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数的值是

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先根据奇函数性质确定取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项.

【详解】因为为奇函数，所以

因为，所以

因此选B.

【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.

15．已知，，都是实数，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用充分、必要条件的定义，结合不等式的性质判断题设条件间的推出关系，即可知条件间的充分、必要关系.

【详解】当时，若时不成立；

当时，则必有成立，

∴“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

16．已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y=f(2x2+1)+f(-x)只有一个零点，则实数的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用函数零点的意义结合函数f(x)的性质将问题转化为一元二次方程有等根即可.

【详解】依题意，函数y=f(2x2+1)+f(-x)的零点，即方程f(2x2+1)+f(-x)=0的根，

由f(2x2+1)+f(-x)=0得f(2x2+1)=-f(-x)，因f(x)是R上奇函数，

从而有f(2x2+1)=f(x-)，又f(x)是R上的单调函数，则有2x2+1=x-，

而函数y=f(2x2+1)+f(-x)只有一个零点，于是得2x2-x+1+=0有两个相等实数解，

因此得Δ=1-8(1+)=0，解得=，

所以实数的值是.

故选：C

17．命题：存在且，对于任意的，使得；

命题：单调递减且恒成立；

命题：单调递增，存在使得，

则下列说法正确的是（    ）

A．只有是的充分条件

B．只有是的充分条件

C．，都是的充分条件

D．，都不是的充分条件

【答案】C

【分析】对于命题：当时，结合单调递减可得出，对于命题：当时，，结合单调递增可得出

，进而可得，由充分条件的定义可判断，，进而可得正确选项.

【详解】对于命题：当时，，因为单调递减，所以，因为恒成立，所以，所以由命题可得出成立，所以是的充分条件；

对于命题：当时，，，因为单调递增，所以，所以，所以由命题可得出成立，所以是的充分条件；

所以，都是的充分条件，

故选：C.

三、解答题

18．设集合，．

(1)用列举法表示集合；

(2)若，求实数的值．

【答案】(1)

(2)或．

【分析】（1）集合为方程的实数解组成的集合，解方程即可用列举法表示集合；

（2）使用子集的概念进行求解即可.

【详解】（1）∵，

∴集合为方程的实数解组成的集合，

由，解得，，

∴，

∴用列举法表示集合为.

（2）∵，

∴集合为方程的实数解组成的集合，

由，，

∴方程有解，，

①当时，方程

方程有两个相等的实数根，

此时，满足；

②当时，方程，

解得，，

若要使，则需使，即，

综上所述，若，则或.

19．已知函数.

（1）求在上的最小值，并求此时的值；

（2）设，用定义证明：函数在区间上是严格减函数.

【答案】（1）当时，取得最小值为；（2）证明见解析.

【分析】（1）利用基本不等式求得最小值，并求得此时的值.

（2）通过证明来证得在区间上是严格减函数.

【详解】（1），

，

当且仅当时等号成立.

（2），

任取，，

其中，所以，

所以在区间上是严格减函数.

20．设，其中．

（1）若函数的图象关于原点成中心对称图形，求的值；

（2）若函数在上是严格减函数，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）根据函数的图象关于原点成中心对称，得到是奇函数，由此求出的值，再验证，即可得出结果；

（2）任取，根据函数在区间上是严格减函数，得到对任意恒成立，分离出参数，进而可求出结果.

【详解】（1）因为函数的图象关于原点成中心对称图形，

所以是奇函数，则，解得，此时，因此，所以是奇函数，满足题意；故；

（2）任取，因为函数在上是严格减函数，

则对任意恒成立，即对任意恒成立，

即对任意恒成立，

因为，所以，则，

所以对任意恒成立，

又，所以，

为使对任意恒成立，只需.

即的取值范围是.

【点睛】思路点睛：

已知函数单调性求参数时，可根据单调性的定义，得到不等式，利用分离参数的方法分离出所求参数，得到参数大于（等于）或小于（等于）某个式子的性质，结合题中条件，求出对应式子的最值，即可求解参数范围.（有时会用导数的方法研究函数单调性，进而求解参数范围）

21．某企业在现有设备下每日生产总成本（单位：万元）与日产量（单位：吨）之间的函数关系式：，近年来各部门都非常重视大气污染防治工作，为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品的除尘费用为万元，引进除尘设备后，当日产量时，总成本为142.

（1）求的值；

（2）若每吨产品出厂价为48万元，那么引进除尘设备后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？

【答案】（1）；（2），每吨最大利润为4万元.

【分析】(1)求出除尘后的函数解析式，利用当日产量x=1时，

总成本y=142，代入计算得k=1.

(2)求出每吨产品的利润，利用基本不等式求解即可.

【详解】(1)由题意，除尘后

，

当日产量x=1时，总成本y=142，代入计算得k=1.

(2)由(1)，

总利润，

每吨产品的利润为，

当且仅当，即x=8时取等号，

除尘后日产量为8吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为4万元.

22．已知函数，（a为正常数），且函数和的图象与y轴的交点重合.

（1）求a实数的值

（2）若（b为常数）试讨论函数的奇偶性；

（3）若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围.

【答案】（1）；（2）见解析；（3）

【分析】（1）由题意得：，即，可得.

（2）利用奇偶函数的定义，确定b的值，进而可得函数的奇偶性.

（3）关于x的不等式有解转化为的最大值大于或等于a，计算可得答案.

【详解】（1）由题意得：，即，又∵，∴.

（2）由（1）可知，，，

∴，

若为偶函数，即，则有，此时，，

故，即不为奇函数；

若为奇函数，即，则，此时，，

故，即不为偶函数；

综上所述：

当且仅当时，函数为偶函数，且不为奇函数，

当且仅当时，函数为奇函数，且不为偶函数，

当时，函数既非奇函数又非偶函数.

（3）关于x的不等式有解，即x的不等式有解

，当时等号成立.

故

【点睛】本题考查了根据函数值求参数，函数的奇偶性，不等式解存在问题，转化为函数的最值是解题的关键.