2021-2022学年浙江省杭州第九中学高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年浙江省杭州第九中学高一上学期期末数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省杭州第九中学高一上学期期末数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用集合的包含关系即可求解.【详解】解：∵，，∴，故选：A.2．“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解不等式，利用集合的包含关系可得结论.【详解】由可得，因为，因此，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3．下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出各选项中函数的定义域与值域，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，函数的定义域为，值域为；对于B选项，函数，定义域为，值域为；对于C选项，对于函数，有，可得，该函数的定义域为，当时，，则，此时，当时，，则，，故函数的值域为；对于D选项，函数的定义域为，值域也为.故选：D.4．已知角的终边经过点，且，则（    ）A． B． C．-1 D．3【答案】B【分析】由任意角三角函数的定义即可求解.【详解】解：由题意，，则，故选：B.5．（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由两角和的余弦公式代入即可得出答案.【详解】.故选：C6．若不等式的解集为，那么不等式的解集为（    ）A． B．或C． D．或【答案】C【分析】根据题意，直接求解即可.【详解】根据题意，由，得，因为不等式的解集为，所以由，知，解得，故不等式的解集为.故选：C.7．已知是函数的一个零点，若，，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由已知得出，分析出函数的单调性，进而可判断出、的符号.【详解】由于函数、在上均为增函数，所以，函数在上为增函数，因为，，，.故选：B.8．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，（为时间，单位分钟，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度），假设一杯开水温度℃，环境温度℃，常数，大约经过多少分钟水温降为40℃ （结果保留整数，参考数据：）（    ）A．9 B．8 C．7 D．5【答案】C【分析】根据冷却模型公式可以将数据代入直接就算即可【详解】由题意可知所以所以故选：C 二、多选题9．下列函数中，既是奇函数又在单调递增的函数是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用函数的奇偶性和单调性确定正确选项.【详解】、是偶函数，不合题意.是奇函数，且在上递增，符合题意.是奇函数，且在上递增，符合题意.故选：AD10．(多选)要得到函数的图象，只要将函数的图象（    ）A．每一点的横坐标扩大到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度B．每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)D．向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)【答案】BC【分析】分别分析先伸缩后平移和先平移后伸缩两种情况下图像的变换.【详解】（1）先伸缩后平移时：每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度，所以A选项错误，B选项正确．（2）先平移后伸缩时：向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，所以C选项正确，D选项错误．故选：BC.11．关于函数，则下列命题正确的是（    ）A．存在、使得当时，成立B．在区间上单调递增C．函数的图象关于点中心对称D．将函数的图象向左平移个单位长度后与的图象重合.【答案】AC【分析】化简f(x)的解析式，利用余弦型或正弦型函数的图像与性质即可逐项判断﹒【详解】，A选项，周期为，根据f(x)图像的对称性知存在、使得当时，成立，A对；B选项，在上单调递减，故在区间上单调递减，B错；C选项，因为，所以函数的图象关于点中心对称，C对；D选项，的图象向左平移个单位长度后为，D错；故选：AC.12．已知函数则（    ）A．， B．，C．直线与的图象有3个交点 D．函数只有2个零点【答案】ABD【分析】先利用二次函数、指数函数的单调性得到每一段上的函数值的取值范围，进而确定的值域，即选项A正确；作出的图象，利用、及的图象判定选项B正确；直线与的图象判定选项C错误；由与的图象的交点个数确定选项D正确.【详解】对于A：当时，，当时，,所以成立，即选项A正确；对于B：作出的图象（如图所示），由图象，得与的图象关于轴对称，且与有交点，即，，即选项B正确；对于C：由图象，得直线与的图象只有2个交点，即选项C错误；对于D：的零点个数等于的图象与的图象的交点个数，由图可知，的图象与的图象的交点个数为2，即选项D正确.故选：ABD. 三、填空题13．已知，，且，则的最小值为______.【答案】9【解析】将，利用“1”的代换变形为，再利用基本不等式求解.【详解】因为，，且，则，当且仅当且，即，时取等号，则的最小值9.故答案为：9.14．某扇形的圆心角为2弧度，半径为，则该扇形的面积为___________【答案】16【分析】利用扇形的面积S，即可求得结论．【详解】∵扇形的半径为4cm，圆心角为2弧度，∴扇形的面积S16cm2，故答案为：16.15．已知，则______．【答案】【分析】利用诱导公式、二倍角公式求得正确结果.【详解】，所以.故答案为：16．已知函数，给出下列命题；（1）若，则；（2）对于任意的，则必有；（3）函数在上有零点；（4）对于任意的，则．其中所有正确命题的序号是______________．【答案】(2)(3)(4)【分析】根据给定函数，借助该函数的单调性可判断命题(1)、(2)；利用的单调性结合零点存在性定理可判断命题(3)；利用均值不等式可判断命题(4)即可作答.【详解】对于(1)，因为减函数，则当时，，(1)错；对于(2)，设，而为减函数，即，不等式成立，当时，同理，(2)正确；对于(3)，因，而在R上单调递减，则在上有零点，(3)正确；对于(4)，任意的，，，(4)正确，所以正确命题的序号是(2)(3)(4).故答案为：(2)(3)(4) 四、解答题17．（1）计算；（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得；（2）根据对数的运算法则计算可得.【详解】解：（1）；（2）18．某同学用“五点法”作函数（，，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，见下表：0   0 0  (1)根据上表数据，直接写出函数的解析式，并求函数的最小正周期和在上的单调递减区间.(2)求在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)答案见解析(2)最大值为，最小值为 【分析】（1）直接利用五点法的应用求出函数的关系式；（2）利用（1）的结论, 进一步利用函数的定义域求出函数的值域, 进一步求出最大值和最小值.【详解】(1)根据五点法的表格，所以所以的最小正周期令，解之得又，所以或即在上的单调递减区间为，(2)由于 所以 所以所以当即时，函数的最小值为;当即时，函数的最大值为.19．在①．②且．③恒成立，且，这三个条件选择一个．补充在下面的问题中，并作答．问题：已知二次函数的图象经过点（1，2），                  ．(1)求的解析式；(2)若，求在的值域．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）任意选择三个中的一个，利用待定系数法求解；（2）令，则，则 ，利用函数的单调性求解.【详解】(1)选①：设，则，由可得，解得，则，由可得，．选②：因为，所以，函数的图象关于直线对称，因为，设，则，可得，所以，．选③：因为且，可设，其中，则，可得，所以，．(2)解：当时，，令，则，，．令，，，函数在上单调递增，因此，函数值域为．所以在的值域为．20．为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同，使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：，其中，为常数.(1)若，当时，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？(2)若，当时，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？(3)若使小白鼠在用药后3小时内血液中的药物浓度不低于4，求正数的取值范围.【答案】(1)小白鼠时在血液中药物的浓度最高为(2)小白鼠时在血液中药物的浓度最高为(3) 【分析】由药物在白鼠血液内的浓度与时间满足的关系式，转化为二次函数求解由药物在白鼠血液内的浓度与时间满足的关系式，利用基本不等式求最值得到分段求解关于正数的范围问题，注意函数值域思想的应用【详解】(1)当，时，，则当时，即小白鼠时在血液中药物的浓度最高为.(2)当， 时，当且仅当，即时等号成立即小白鼠时在血液中药物的浓度最高为.(3)， 为正数   又因为，则有    由于，则又    当，即时，综上得到21．如图，在矩形中，点为的中点，分别为线段上的点，且．（1）若的周长为，求的解析式及的取值范围；（2）求的最值．【答案】(1)；(2)．【分析】(1)根据给定条件解直角三角形可得EF，EG，再借助勾股定理求出FG即可得，由点F与G的位置探求的最大、最小值得解；(2)利用(1)的结论，令结合同角公式变形成关于t的分式函数，再借助单调性求解即得.【详解】(1)在中，则，又，即有，同理有，显然为锐角，因此，，因为分别为线段上的点，当与点重合时，最大，此时，而为锐角，则，当点与重合时，最大，此时最小，同理可得最大值为，则，于是得的取值范围为，所以；(2)由(1)知，令，则，因，则，，于是得，又，则，因在上单调递减，当，即时，，当，即或时，，所以.【点睛】思路点睛：同角三角函数的基本关系中，使用平方关系时注意方程思想的应用，对于sinα+cosα，sinα-cosα，sinαcosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα可以知一求二．22．定义：若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点.已知函数（）.(1)当，时，求函数的不动点；(2)若对任意的实数，函数恒有两个不动点，求的取值范围；(3)在（2）的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点，且、的中点在函数的图象上，求的最小值.【答案】(1)或(2)(3) 【分析】（1）由题意，根据不动点定义，列方程，解得答案；（2）由题意，根据二次方程根的判别式，结合二次函数的性质，可得答案；（3）由题意，根据韦达定理，整理函数，结合二次函数的性质，可得答案.【详解】(1)，由，解得或，所以所求的不动点为或.(2)令，则①，由题意，方程①恒有两个不等实根，所以，即恒成立，则，故.(3)设，，，，又的中点在该直线上，所以，，而应是方程①的两个根，所以，即，，当时，.