2021-2022学年上海市华东师范大学第三附属中学高一下学期3月月考数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年上海市华东师范大学第三附属中学高一下学期3月月考数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上海市华东师范大学第三附属中学高一下学期3月月考数学试题 一、填空题1．已知角的始边与x轴的正半轴重合，终边过点，则_________．【答案】## 【分析】利用任意角的三角函数的定义求解【详解】因为角的始边与x轴的正半轴重合，终边过点，所以，故答案为：2．若弧度的圆心角所对的弧长为，则这个圆心角所夹的扇形的面积为___________．【答案】【分析】求出扇形的半径，再利用扇形的面积公式可求得结果.【详解】设扇形的半径为，则，可得，因此，扇形的面积为.故答案为：.3．终边在直线上的角的集合是_______．（用弧度制表示）【答案】【分析】把直线分成两条射线，来考虑终边落到这两条射线上的角的集合，然后取两部分的并集.【详解】当角的终边落到上，则①当角的终边落到上，则②①与②的并集得：故答案为：4．函数的定义域为_______________．【答案】【分析】使函数有意义，列出，求解x即可.【详解】函数的定义域为 故答案为【点睛】求函数定义域的注意点(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．5．已知，则________．【答案】##-2.5【分析】由正切和角公式求出，再将分式分子分母同时除以即可求解.【详解】，即，所以.故答案为：6．如果对任意实数x总成立，那么a的取值范围是____________.【答案】【分析】先利用绝对值三角不等式求出的最小值，进而求出a的取值范围.【详解】，当且仅当时等号成立，故，所以a的取值范围是.故答案为：7．在中，若，，，则_____．【答案】或【分析】由正弦定理直接求解即可.【详解】由正弦定理可知，，即 ，解得，，或，故答案为：或8．已知函数，，的图象如下图所示，则，，的大小关系为__________．（用“”号连接）【答案】【详解】函数y=ax，y=xb，y=logcx的图象如图所示，由指数函数y=ax，x=2时，y∈（2，3）对数函数y=logcx，x=2，y∈（0，1）；幂函数y=xb，x=2，y∈（1，2）；可得a∈（1，2），b∈（0，1），c∈（2，+∞）．可得b＜a＜c故答案为b＜a＜c．9．把化为的形式为______．【答案】【分析】根据辅助角公式和两角和则正弦公式即可得出结果.【详解】因为，故答案为：.10．若是第三象限角且，则______．【答案】【分析】根据，且，求得，再根据是第三象限角，确定的范围，然后利用平方关系求解.【详解】因为，且，所以，又因为是第三象限角，所以，则是第二或第四象限，又，所以在第二象限，所以，故答案为：11．若是严格减函数，则的取值范围是__________．【答案】【分析】要使函数是严格减函数，需要在区间上单调递减，在单调递减，且，解不等式组即可求实数的取值范围.【详解】因为函数是严格减函数，所以，解得．故答案为：.12．在角、、、…、的终边上分别有一点、、、…、，如果点的坐标为，，，则______．【答案】【解析】利用诱导公式将点的坐标变为，然后根据三角函数定义可得，再利用诱导公式及两角差的正弦即可得到结果.【详解】，即由三角函数定义知=.故答案为：.【点睛】本题主要考查的是诱导公式，三角函数定义的理解和应用，两角和的正弦公式，考查学生的分析问题和解决问题的能力，是中档题. 二、单选题13．“”是“”的（    ）条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要【答案】A【分析】解一元二次不等式，利用充分性和必要性的定义求解即可.【详解】由解得或，所以是的充分非必要条件，故选：A14．任意，下列式子中最小值为2的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】A.通过举例排除；BCD通过基本不等式及等号的成立条件来判断.【详解】A.当时，，排除；B.，当且仅当时等号成立，符合；C.，当且仅当时等号成立，排除；D. ，当且仅当时等号成立，故等号不能成立，则，排除.故选：B.15．设，且，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据同角的三角函数关系式，结合正弦二倍角公式、辅助角公式、正弦型函数的性质进行求解即可.【详解】由，所以，因为，所以令，得，故选：C16．设圆的半径为，点为圆周上给定一点，如图，放置边长为的正方形（实线所示，正方形的顶点与点重合，点在圆周上）.现将正方形沿圆周按顺时针方向连续滚动，当点首次回到点的位置时，点所走过的路径的长度为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出示意图，分析可知当点首次回到点的位置时，正方形滚动了圈，共次，计算出点每次滚动时点所走过的路程，即可得解.【详解】由图可知，圆的半径为，正方形的边长为，以正方形的边为弦所对的圆心角为，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，当点首次回到点的位置时，正方形滚动了圈，共次，设第次滚动时，点的路程为，则，，，，因此，点所走过的路程为.故选：B. 三、解答题17．（1）化简：；（2）若，且是关于的方程的一个实数根，求（1）中代数式的值．【答案】（1）；（2）5.【分析】（1）利用三角函数的诱导公式化简，可得答案;（2）解方程可求得的值，利用同角的三角函数关系化简，代入求值可得答案.【详解】（1）；（2）若，则，解可得或，又是关于的方程的一个实数根，所以，所以，即.18．已知集合，集合．(1)当时，求；(2)若，求实数a的取值范围．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）当时，代入集合中，写出集合，再解出集合，取交集即取公共的部分即可.（2）由题意知，分为两种情况与，分别求出a的取值范围再取并集即可.【详解】（1）当时，，，故.（2）由知，①当时，. ②当时，.综上.19．（1）已知，．求的值：（2）已知，且，，求角的值：【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用与的关系求解即可，注意角的范围和符号；（2）已知的余弦值，利用同角三角函数的基本关系，求出的正弦值，需要根据的范围确定符号，然后利用，和两角和差公式求解即可.【详解】（1）因为，两边平方得，所以，又，所以，所以，所以；（2）因为，所以，因为，所以，又，所以，所以，因为，所以.20．已知，且满足．（1）求证：（2）求的最大值，并求当取得最大值时的值．【答案】（1）证明见解析；（2）的最大值为，当取得最大值时．【分析】（1）由可得：，利用同角三角函数的基本关系公式对式子化简变形，可得答案；（2）由（1）中结论弦化切后，可将表示成的函数关系式，进而利用基本不等式得到的最大值，然后由条件可得，即可得到答案．【详解】（1），，；（2）由（1）得：，，，，由，可得：当时，取得最大值，即；所以．21．在平面直角坐标系中，，是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆（圆心在坐标原点O）于A，B两点（1）已知点A，将绕原点顺时针旋转到，求点B的坐标；（2）若角为锐角，且终边绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，求的值；（3）若A，B两点的纵坐标分别为正数a，b，且，求的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）。【分析】（1）设点在角的终边上，根据任意角的三角函数的定义可得再根据题意可知点在角的终边上，且，根据诱导公式即可求出点的坐标；（2）由题意利用任意角的三角函数的定义求得和的值，再利用两角和差的三角公式，求得要求式子的值；（3）由题意，角和角一个在第一象限，另一个在第二象限，再利用任意角的三角函数的定义、两角和差的三角公式，可得，平方可得，再利用基本不等式，即可求出结果．【详解】（1）设点在角的终边上，又，则，所以点在角的终边上，且，所以点的横坐标为，纵坐标为，即点坐标为.（2）∵顶点在原点的锐角绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，∴，且，求得，则，，则．（3）角和角一个在第一象限，另一个在第二象限，不妨假设在第一象限，则在第二象限，根据题意可得，且，∴，，∴，即，平方可得，，当且仅当时，取等号．∴，当且仅当时，取等号，故当时，取得最大值为．