2021-2022学年上海市香山中学高一下学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市香山中学高一下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知复数z满足，则z的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复数的除法运算法则求解即可.

【详解】由题意知，

所以z的虚部为．

故选C．

2．下列各组角中两个角终边不相同的一组是（    ）

A．和 B．和 C．和 D．和

【答案】D

【分析】根据终边相同的角的知识求得正确答案.

【详解】A选项，由于，所以和终边相同.

B选项，由于，所以和终边相同.

C选项，由于，所以和终边相同.

D选项，由于，所以和终边不相同.

故选：D

3．已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数（    ）

A．2 B． C．或2 D．

【答案】A

【分析】由于复数为纯虚数，所以，从而可求出的值

【详解】解：因为复数（为虚数单位）为纯虚数，

所以，

由，得或，

由，得且，

所以，

故选：A

4．已知向量，且，则的值是（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】C

【分析】根据向量垂直列方程，从而求得的值.

【详解】由于，所以.

故选：C

5．设复数z=a+bi(a，b∈R)，若与互为共轭复数，则复数z在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】根据共轭复数的概念求出即可判断.

【详解】因为与互为共轭复数，所以，

则复数z在复平面内对应的点位于第一象限.

故选：A.

6．已知单位向量满足则=（  ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】根据，即可求解.

【详解】由题意，单位向量，即，

又由，解得.

故选：C.

7．已知角、是的内角，则“”是“”的（    ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】C

【分析】根据大边对大角定理、正弦定理结合充分条件、必要条件的定义判断可出结论.

【详解】在中，.

所以，“”是“”的充要条件.

故选：C.

8．一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是（    ）弧度

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【分析】结合扇形面积公式及弧长公式可求，，然后结合扇形圆心角公式可求.

【详解】设扇形半径r，弧长l，则，解得，，

所以圆心角为，

故选：A.

9．若函数的最小正周期为，则（    ）

A． B．2 C． D．1

【答案】A

【分析】结合最小正周期的公式直接求解即可.

【详解】因为，所以，

故选：A.

10．的三角形式是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式．

【详解】解：．

故选：．

11．在复平面内，向量对应的复数是，向量对应的复数是，则向量对应的复数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】结合向量、复数运算求得正确答案.

【详解】依题意.

故选：D

12．已知点、，且，则点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据向量的线性运算求得的坐标.

【详解】设为坐标原点，

,

整理得.

故选：A

13．函数的部分图象如图所示，那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由的最大值可得A，由图可知，从而可求，逆用五点作图法可得，进而可求解.

【详解】解：由图可知，所以A=1，

，

，解得，

，

逆用五点作图法可得，即，

，

，

故选：D.

14．已知，且，则的值为

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：根据题意，由于，且有，说明，那么可知，因此结合二倍角公式可知，故选C.

【解析】二倍角公式

点评：解决的关键是对于半角公式和的运用，属于基础题．

15．已知，，且与的夹角是钝角，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由是钝角得，且，解不等式可得答案.

【详解】因为与的夹角是钝角，所以

，且，

解得且.

故选：D.

16．若，则角的终边位置在

A．轴右侧 B．轴及轴右侧

C．轴左侧 D．轴及轴左侧

【答案】D

【分析】先将原式化简，得到，推出，从而确定角的位置，即可得出结果.

【详解】因为，所以，从而，

所以，，

所以角的终边位置在轴及轴左侧.

故选D

【点睛】本题主要考查任意角的终边位置，熟记诱导公式以及任意角的定义即可，属于常考题型.

17．已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用三角函数的平方关系式得到关于的齐次式，再利用三角函数的商数关系式即可得解.

【详解】因为，

所以.

故选：B.

18．已知点是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（    ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

【答案】B

【分析】由题设条件得到，从而判断出点P在的平分线上，由此得到点的轨迹一定通过的内心.

【详解】分别表示方向的单位向量，

令，，

则，即，

又，以为一组邻边作一个菱形，则点P在该菱形的对角线上，

所以点P在，即的平分线上，故动点P的轨迹一定通过的内心.

故选：B.

.

19．在△ABC中，a2tanB=b2tanA，则△ABC是（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

【答案】D

【分析】根据正弦定理，化简得到，得到答案.

【详解】，故，即.

故或，即或.

故选：.

【点睛】本题考查了正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力.

20．已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，则的值为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【分析】利用二次方程的韦达定理及完全平方公式即可得解.

【详解】因为方程有两个虚根和，

所以，则，

又由求根公式知两虚根为，，

所以，则，解得，满足要求，

所以.

故选：C.

21．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（    ）

A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增

C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增

【答案】B

【分析】结合三角函数图象变换以及三角函数单调区间等知识求得正确答案.

【详解】函数的图象向右平移个单位长度得，

若，则，

所以在区间上单调递增.

若，则，

所以在区间上不单调.

所以B选项正确，其它选项错误.

故选：B

22．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿北偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是北偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是南偏东65°，那么B、C两点间的距离是（    ）海里

A．20 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，在中，利用正弦定理求解.

【详解】解：如图所示：

由题意得：在中，

则，又，

由正弦定理得，

即，解得，

故选：C

23．平面上、、三点不共线，设，，则的面积等于（   ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由三角形的面积公式可知，结合数量积公式可选出正确答案.

【详解】解：由三角形的面积公式知

.

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形的面积公式，考查了平面向量的数量积.

24．已知A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且，则的最小值为（    ）

A．10 B．9 C．8 D．4

【答案】C

【分析】先根据三点共线，求出，利用基本不等式求最值.

【详解】因为A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且，

所以

当且仅当，即时等号成立．

故选：C

【点睛】（1）A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且，则有；

（2）利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”：

①“一正”就是各项必须为正数；

②“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

③“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．

25．设函数的最大值为，最小值为，则与满足的关系是

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】将函数化为一个常数函数与一个奇函数的和，再利用奇函数的对称性可得答案.

【详解】因为

，

令，则，

所以为奇函数，

所以，

所以，

故选：B

【点睛】本题考查了两角差的余弦公式，考查了奇函数的对称性的应用，属于中档题.

26．把函数的图象沿着轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）后得到函数的图象，对于函数有以下四个判断：

（1）该函数的解析式为；

（2）该函数图象关于点对称；

（3）该函数在上是增函数；

（4）若函数在上的最小值为，则.

其中正确的判断有（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】B

【分析】利用正弦型函数的图象变换规律求得函数的解析式，然后利用正弦函数的基本性质可得出结论.

【详解】把函数的图象沿着轴向左平移个单位，可得的图象，

再把纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）后得到函数的图象，

对于函数，故（1）错误；

由于当时，，故该函数图象关于点对称，故（2）正确；

在上，，故函数该函数在上不是增函数，故（3）错误；

在上，，故当时，

函数在上取得最小值为，，故（4）正确，

故选：B.

【点睛】本题主要考查正弦型三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数基本性质的判断，考查推理能力，属于中等题.

27．的内角的对边分别为，满足，则角的范围是（    ）.

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】把变形为，由余弦定理及余弦函数性质得结论．

【详解】由得，，

所以，所以．

故选：B.

【点睛】本题考查余弦定理，考查余弦函数的性质．难度不大．

28．已知函数在 上有两个零点，则的取值范围为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先化简，再令，求出范围，根据在上有两个零点，作图分析，求得的取值范围.

【详解】，由，又，

则可令，

又函数在上有两个零点，作图分析：

则，解得.

故选：B.

【点睛】本题考查了辅助角公式，换元法的运用，三角函数的图象与性质，属于中档题.

29．设，，若对任意实数都有，则满足条件的有序实数对的对数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据三角函数周期、诱导公式等知识求得正确答案.

【详解】依题意，对任意实数都有，

所以和的周期相同，

所以，解得或，

当时，观察与，

由于，所以，则.

当时，观察与，

由于，所以，则.

综上所述，满足条件的有序实数对的对数为.

故选：B

30．在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；

【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，

因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，

设，，

所以，，

所以

，其中，，

因为，所以，即；

故选：D