2022-2023学年安徽省部分示范高中高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年安徽省部分示范高中高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．下列函数中与是同一个函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数相等的定义是：定义域相同且对应关系相同，逐个分析可得答案.

【详解】对于A，的定义域为，与的定义域为不同，故A不正确；

对于B，与是同一函数，故B正确；

对于C，与的对应关系不同，故C不正确；

对于D，与的定义域不同，故D不正确.

故选：B

2．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出集合后可求.

【详解】，故，

故选：B.

3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可.

【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域为.又因为，即，所以函数的定义域为.

故选：C.

4．函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（    ）

A．，，， B．，，，

C．，，，， D．，，，，

【答案】C

【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.

【详解】由题图，直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而.

故选：C．

5．将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以、、为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线（又称莱洛三角形），下列关于曲线的描述中，正确的有（    ）

（1）曲线不是等宽曲线；

（2）曲线是等宽曲线且宽为线段的长；

（3）曲线是等宽曲线且宽为弧的长；

（4）在曲线和圆的宽相等，则它们的周长相等；

（5）若曲线和圆的宽相等，则它们的面积相等．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】若曲线和圆的宽相等，设曲线的宽为，则圆的半径为，根据定义逐项判断即可得出结论.

【详解】若曲线和圆的宽相等，设曲线的宽为，则圆的半径为，

（1）根据定义，可以得曲线是等宽曲线，错误；

（2）曲线是等宽曲线且宽为线段的长，正确；

（3）根据（2）得（3）错误；

（4）曲线的周长为，圆的周长为，故它们的周长相等，正确；

（5）正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为，

正三角形的面积，

则一个弓形面积，

则整个区域的面积为，

而圆的面积为，不相等，故错误；

综上，正确的有2个，

故选：B.

【点睛】本题主要考查新定义，理解“等宽曲线”得出等边三角形是解题的关键．

6．已知函数且，则“”是“在上单调递增”的（     ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先由在R上单调递增求得a的取值范围，再利用充分条件，必要条件的定义即得.

【详解】若在R上单调递增，

则，

所以，

由“”可推出“”，但由“”推不出 “”，

所以“”是“在R上单调递增”的充分不必要条件.

故选：A.

7．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ）

A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b

【答案】A

【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.

【详解】由题意可知、、，，；

由，得，由，得，，可得；

由，得，由，得，，可得.

综上所述，.

故选：A.

【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.

8．设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】，只需要研究的根的情况，借助于和的图像，根据交点情况，列不等式组，解出的取值范围.

【详解】令，则

令，则

则问题转化为在区间上至少有两个，至少有三个t，使得，求的取值范围.

作出和的图像，观察交点个数，

可知使得的最短区间长度为2π，最长长度为，

由题意列不等式的：

解得：.

故选：B

【点睛】研究y=Asin(ωx+φ)+B的性质通常用换元法（令），转化为研究的图像和性质较为方便.

二、多选题

9．对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】讨论参数，得到一元二次不等式的解集，进而判断选项的正误.

【详解】由，分类讨论如下：

当时，；

当时，；

当时，或；

当时，；

当时，或.

故选：AB.

10．已知集合，，则下列命题中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则或 D．若时，则或

【答案】ABC

【分析】求出集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．

【详解】，若，则，且，故A正确.

时，，故D不正确.

若，则且，解得，故B正确.

当时，，解得或，故C正确.

故选：ABC．

11．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．最小正周期是

B．是偶函数

C．在上递增

D．是图象的一条对称轴

【答案】ABC

【分析】首先利用三角函数的恒等变换得到，再根据余弦函数的性质依次判断选项即可得到答案.

【详解】

.

对选项A，，故A正确.

对选项B，，，

所以是偶函数，故B正确.

对选项C，，，由余弦函数的单调性可知C正确.

对选项D，或，故D错误.

故选：ABC

【点睛】本题主要考查余弦函数的单调性，奇偶性，周期性和对称性，同时考查了三角函数的恒等变换，属于中档题.

12．已知，且，则下列结论正确的是（    ）

A．的最大值为 B．的最大值为

C．的最小值为 D．的最大值为

【答案】BC

【分析】利用基本不等式直接判断A；利用基本不等式求得的最大值可判断B；利用基本不等式“1”的代换可判断C；利用二次函数的性质可判断D；

【详解】，且，，

对于A，利用基本不等式得，化简得，

当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故A错误；

对于B，，

当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；

对于C，，

当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故C正确；

对于D，

利用二次函数的性质知，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，

，，故D错误；

故选：BC

三、填空题

13．若，则的最小值是___________.

【答案】

【分析】由，结合基本不等式即可.

【详解】因为，所以，

所以，

当且仅当即时，取等号成立.

故的最小值为，

故答案为：

14．已知，则______．

【答案】##

【分析】根据题意，由同角三角函数关系可得的值，而，最后利用齐次式化成关于的分式即可解.

【详解】解：由，得，

则

.

故答案为：.

15．已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是___．

【答案】

【分析】问题转化为ax＞对于任意实数x恒成立，然后对x分类，再由配方法求最值，即可求得实数a的取值范围．

【详解】解：∵函数的定义域是R，

∴+ax＞0对于任意实数x恒成立，

即ax＞对于任意实数x恒成立，

当x＝0时，上式化为0＞﹣1，此式对任意实数a都成立；

当x＞0时，则a＞＝，

∵x＞0，∴，则≥，

则≤，可得a＞；

当x＜0时，则a＜，

∵x＜0，∴，则＞1，

则＞1，可得a≤1．

综上可得，实数a的取值范围是．

故答案为：．

16．若，，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】根据题中所给等式可化为，再通过平方关系将其与联系起来，运用基本不等式求解最小值即可.

【详解】因为且，则两边同除以，得，

又因为，当且仅当，即时等号成立，所以.

故答案为:

四、解答题

17．函数是定义在R上的偶函数，当时，．

（1）求函数在的解析式；

（2）当时，若，求实数m的值．

【答案】（1）；（2）或.

【分析】（1）根据偶函数的性质，令，由即可得解；

（2），有，解方程即可得解.

【详解】（1）令，则，

由，此时；

（2）由，，

所以，

解得或或（舍）.

18．已知函数的图象如图所示.

(1)求函数的解析式；

(2)首先将函数的图象上每一点横坐标缩短为原来的，然后将所得函数图象向右平移个单位，最后再向上平移个单位得到函数的图象，求函数在内的值域.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）依题意可得，，即可求出，再根据函数过点，即可求出，从而求出函数解析式；

（2）首先根据三角函数的变换规则得到的解析式，再由的取值范围求出的取值范围，最后根据正弦函数的性质计算可得；

【详解】（1）解：由图象得，，所以，

由，所以，

，

，

（2）解：将函数的图象上每一点横坐标缩短为原来的，得到，再将向右平移个单位得到，最后再向上平移个单位得到，即

当时，所以，所以，

19．在股票市场上，投资者常根据股价（每股的价格）走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y（元）与时间x（天）的关系在段可近似地用函数的图像从最高点A到最低点C的一段来描述（如图），并且从C点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号．老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线段所示，且段与段关于直线对称，点B、D的坐标分别是、．

（1）请你帮老张确定的值，写出段的函数表达式，并指出此时x的取值范围；

（2）请你帮老张确定虚线段的函数表达式，并指出此时x的取值范围；

（3）如果老张预测准确，且在今天买入该只股票，那么最短买入多少天后，股价至少是买入价的两倍？

【答案】（1），，，，

（2），（3）天.

【分析】（1）由已知图中两点的坐标求得与，进而可得的值，再由五点法作图的第三个点求解，即可得函数的解析式，并求得的范围；

（2）由对称性求解段的函数表达式，以及x的取值范围；

（3）由解得：，减去即得答案.

【详解】（1）由图以及两点的纵坐标可知：，，可得：，

则，

由解得：，

所以，，

所以段的函数表达式为，

（2）由题意结合对称性可知：段的函数解析式为：

，

（3）由解得：，

所以买入天后，股票至少是买入价的两倍.

20．已知______，且函数.

①函数在定义域上为偶函数；

②函数在上的值域为.

在①，②两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出a，b的值，并解答本题.

(1)判断的奇偶性，并证明你的结论；

(2)设，对任意的R，总存在，使得成立，求实数c的取值范围.

【答案】(1)选择条件见解析，a＝2，b＝0；为奇函数，证明见解析；

(2).

【分析】（1）若选择①，利用偶函数的性质求出参数；

若选择②，利用单调性得到关于的方程，求解即可；

将的值代入到的解析式中，再根据定义判断函数的奇偶性；

（2）将题中条件转化为“的值域是的值域的子集”即可求解.

【详解】（1）选择①.

由在上是偶函数，

得，且，所以a＝2，b＝0.

所以.

选择②.

当时，在上单调递增，则，解得，

所以.

为奇函数.

证明如下：的定义域为R.

因为，所以为奇函数.

（2）当时，，因为，当且仅当，即x＝1时等号成立，所以；

当时，因为为奇函数，所以；

当x＝0时，，所以的值域为.

因为在上单调递减，所以函数的值域是.

因为对任意的，总存在，使得成立，

所以，所以,解得.

所以实数c的取值范围是.

21．已知函数是偶函数.

(1)当，函数存在零点，求实数的取值范围；

(2)设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用偶数数的定义，即可求出实数的值，从而得到的解析式；令，得，构造函数，将问题转化为直线与函数的图象有交点，从而求出实数的取值范围；

（2）依题意等价于关于的方程只有一个解，令，讨论的正根即可．

【详解】（1）解：是偶函数，，

即对任意恒成立，

，

．

即，

因为当，函数有零点，即方程有实数根．

令，则函数与直线有交点，

，

又，，

所以的取值范围是．

（2）解：因为，

又函数与的图象只有一个公共点，

则关于的方程只有一个解，

所以，

令，得，

①当，即时，此方程的解为，不满足题意，

②当，即时，此时，又，，

所以此方程有一正一负根，故满足题意，

③当，即时，由方程只有一正根，则需，

解得，

综合①②③得，实数的取值范围为：．

22．已知函数，.

（1）判断函数的奇偶性；

（2）若存在两不相等的实数，使，且，求实数的取值范围.

【答案】（1）为奇函数；（2）

【分析】（1）先求出函数的定义域，进而根据奇偶函数的定义，判断即可；

（2）易知是定义域内的减函数，由，可知且，进而可将原问题转化为不等式在有解，求取值范围，由，令，可得在上有解，进而分离参数得在有解，求出的取值范围，进而可得到的取值范围.

【详解】（1）∵，

∴，解得，

∴的定义域为，其定义域关于原点对称，

又，

∴，

故为定义域内的奇函数.

（2）∵函数都是上的减函数，

∴是定义域内的减函数，

∵，且为定义在的奇函数，

∴且，

∴原问题等价于不等式在有解，求取值范围.

而，

令，，则，

令，可知，则，

构造函数，，

根据对数函数的单调性，可知在上单调递减，在上单调递增，

由，可得，所以，

所以在上有解，

注意到当时，，因此在有解.

取，则，，从而.

因此在上有解.

根据对勾函数的性质，可知函数在上单调递增，

所以，

所以，即.

【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值（取值范围）问题常见的方法：

（1）函数法：讨论参数范围，借助函数的单调性求解；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.