2022-2023学年安徽省部分示范高中高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年安徽省部分示范高中高一上学期期中数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省部分示范高中高一上学期期中数学试题 一、单选题1．若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的范围是（    ）A．－3<a－|b|≤3 B．－3<a－|b|<5C．－3<a－|b|<3 D．1<a－|b|<4【答案】C【分析】由－4<b<2，得－4<－|b|≤0，根据不等式的性质同向相加可得结果.【详解】∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，∴－4<－|b|≤0.又∵1<a<3，∴－3<a－|b|<3.故选：C.【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题.2．已知为正数，，则的最大值为（    ）A． B． C． D．2【答案】D【解析】利用基本不等式求解即可.【详解】，当且仅当时，取得最大值.故选：D【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题.3．存在，使得关于的不等式有解，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由可得，然后求出右边的范围即可.【详解】由有解，可得因为时，所以故选：C4．若正实数，满足，则的最小值为（    ）A． B． C．5 D．【答案】C【解析】根据，将，变形为，利用基本不等式求解.【详解】因为正实数，满足，所以，当且仅当时，取等号，所以的最小值为5故选：C5．设，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用换底公式将化为，然后运用对数运算法则即可求得结果.【详解】解：.故选：A.6．若函数在区间内恒有，则的单调递增区间是A． B．C． D．【答案】C【详解】试题分析：由题意得，因为，，函数在区间内恒有，所以，由复合函数的单调性可知的单调递减区间，对复合函数的形式进行判断，可得到函数的单调递增区间为，故选C．考点:1.对数函数的图象与性质；2.复合函数的单调性；3.函数恒成立问题.【方法点睛】本题主要考查的是用复合函数的单调性求单调区间，函数恒成立问题，对数函数的图象与性质，属于中档题，本题要根据题设中所给的条件解出的底数的值，由，可得到内层函数的值域，再由恒成立，可得到底数的取值范围，再利用复合函数的单调性求出其单调区间即可，因此本题中正确将题设中所给的条件进行正确转化得出底数的范围，是解决本题的关键.7．已知函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得：，解不等式组即可求解.【详解】由题意可得：，即，所以，所以实数a的取值范围是，故选：D【点睛】关键点点睛：本题的关键点是两段函数在各自的定义域内都是减函数，且，即可求a的取值范围.8．已知函数，若不等式（e是自然对数的底数），对任意的恒成立，则整数k的最小值是（    ）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】先由函数的解析式，判断函数的奇偶性和单调性，然后利用其奇偶性和单调性将对任意的恒成立，转化为对任意的恒成立求解.【详解】因为函数的定义域为R，关于原点对称，又所以是奇函数，又在R上是增函数，所以对任意的恒成立，等价于：对任意的恒成立，即对任意的恒成立，即对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，因为，所以，所以解得，所以整数k的最小值是4故选：B【点睛】关键点点睛：本题关键是将函数解析式转化为，判断其单调性，进而结合奇函数，利用单调性的定义求解. 二、多选题9．设函数定义域，且满足：①时，；②，则下列说法正确的是（    ）A．是奇函数 B．是偶函数C．在定义域上是减函数 D．在定义域上是增函数【答案】AC【解析】由条件②，令，可得，再令，即可得到，从而可得函数的奇偶性，判断选项，；利用函数单调性的定义，结合条件①可得函数的单调性，从而判断选项，．【详解】，令，则，所以，令，则，又因为，所以为奇函数，故对，错；任取，所以，因为，所以，，所以，所以，因为，所以，所以，由条件①得，所以，所以在上单调递减，所以在上单调递减，故对，错．故选：AC【点睛】方法点睛：用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论.10．对于定义在上的函数，下列说法正确的是（    ）A．若是奇函数，则的图象关于点对称B．若对，有，则的图象关于直线对称C．若函数的图象关于直线对称，则为偶函数D．若，则的图象关于点对称【答案】AC【分析】根据函数奇偶性，对称性，周期性解决即可.【详解】对A，是奇函数，故图象关于原点对称，将的图象向右平移1个单位得的图象，故的图象关于点对称，故A正确；对B，若对，有，得，所以是一个周期为2的周期函数，不能说明其图象关于直线对称，故B错误.；对C，若函数的图象关于直线对称，则的图象关于轴对称，故为偶函数，故C正确；对D，由得，，的图象不关于对称，故D错误. 故选：AC.11．（多选题）已知，则a，b满足下列关系的是（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】由已知可得，，有，依据基本不等式即可知，进而可知、、的范围.【详解】由题意知：，，∴，即，∵，∴，，，故选：ABD【点睛】本题考查了对数的运算，结合基本不等式求代数的范围，属于中档题.12．已知正实数a，b满足 ，且，则 的值可以为（    ）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】BC【分析】由指数式化对数式得到，代入到，解方程得到和.【详解】由得到，则，即，整理得，解得或，当时，，则当时，，则.故选：BC.【点睛】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的性质，属于基础题. 三、填空题13．已知集合，，则________.【答案】【解析】解出方程组即可得答案.【详解】联立可解得或所以故答案为：14．设，则“且”是“”的________.（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答）【答案】充分不必要条件【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】且可以推出，反之不一定成立，如，满足，但不满足且故“且”是“”的充分不必要条件故答案为：充分不必要条件15．已知，用表示为__________．【答案】【解析】由指数与对数运算的关系可得，再由对数运算的运算法则及换底公式运算即可得解.【详解】由题意，，利用换底公式得：，，所以.故答案为：.16．若幂函数在上为增函数，则实数m的值为______.【答案】1【分析】由幂函数有求m值，结合幂函数的区间单调性验证m值，即可得答案.【详解】由题设，即，可得或，当时，在上为增函数，符合；当时，在上为减函数，不符合.所以.故答案为：1 四、解答题17．已知命题：“，不等式成立”是真命题．(1)求实数的取值范围；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由命题为真命题可得出在恒成立，求出的最大值可得的范围；（2）求出命题，所对应的集合，因为是的充分不必要条件，所以，由条件列出不等关系求解可得的范围.【详解】（1）由题意命题：“，不等式成立”是真命题．在恒成立，即，；因为，所以，即，所以实数的取值范围是；（2）由得，设，由得，设，因为是的充分不必要条件；所以，但推不出， ；　所以，即，所以实数的取值范围是，．18．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园，公园由长方形的休闲区和环公园人行道（阴影部分）组成．已知休闲区的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米（如图）．（1）若设休闲区的长和宽的比，求公园所占面积关于的函数的解析式；（2）要使公园所占面积最小，则休闲区的长和宽该如何设计？【答案】（1）；（2）长100米、宽为40米.【详解】(1)设休闲区的宽为a米，则长为ax米，由a2x＝4000，得a＝.则S(x)＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160＝4000＋(8x＋20)·＋160＝80(2＋)＋4160(x>1)．(2)80(2＋)＋4160≥80×2＋4160＝1600＋4160＝5760.当且仅当2＝，即x＝2.5时，等号成立，此时a＝40，ax＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米．19．已知函数.（1）关于不等式的解集为，求的取值范围；（2）关于不等式的解集为，且，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）不等式的解集是空集，分和两种情况求解；（2）由条件知对任意的，，不等式恒成立，即恒成立，然后解出的最大值可得的范围．【详解】（1）①当，即时，，不合题意；②当，即时，，解得，的取值范围是；（2）不等式的解集为，若，即对任意的，不等式恒成立，即恒成立，恒成立，恒成立，设，则，，，，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，当时，的最大值为，的取值范围是．【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，首选的方法是分离变量法，然后转化为最值问题.20．计算下列各式的值：（1）；（2）【答案】（1），（2）0【解析】（1）利用分数指数幂和根式的运算性质求解即可；（2）利用对数的运算性质求解【详解】解：（1）（2）21．（1）求值：；（2）已知，求．【答案】（1）3；（2）．【解析】（1）直接利用对数运算求解.（2）根据，由，解得，再由求解.【详解】（1），，.（2）因为，所以，又，所以所以.22．已知函数.（1）若，求方程的解集；（2）当时，求函数的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据对数的运算化简方程即可得出解集；（2）根据二次函数的对称轴，分类讨论，即可求出函数的最小值.【详解】（1）若，则，令，则方程为，解得：或，则或，∴或，∴方程的解集为.（2）∵，∴，令，则，对称轴为.①当，即时，；②当，即时，；③当，即时，.综上，.【点睛】关键点点睛：二次函数求最值问题，需要根据开口方向及对称轴研究函数的最值，对称轴与定义域的关系，分3种情况讨论即可，属于中档题.