2022-2023学年甘肃省兰州市第六十三中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年甘肃省兰州市第六十三中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先求出集合，然后再求交集运算.

【详解】由，解得，所以集合

又，所以

故选：B

2．命题“”的否定形式是（    ）

A． B．

C．或  D．或

【答案】D

【分析】由特称命题的否定：存在改任意并否定原结论，即可得答案.

【详解】特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“或”.

故选：D

3．已知，，则“”是“”的（    ）

A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】先化简题目中的不等式，然后根据充分性和必要性的定义进行判断即可

【详解】由结合函数是上的增函数，可得，

由结合函数是上的减函数，可得，

故“”是“”的充分不必要条件，

故选：C

4．若正数，满足，则的最小值为（    ）

A．6 B．9 C．10 D．16

【答案】D

【分析】利用基本不等式“1”的代换求最小值，注意取值条件.

【详解】由题意，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为16.

故选：D

5．若不等式的解集为，则不等式的（    ）

A． B．或

C． D．或

【答案】C

【分析】依题意可得、为方程的两根且，利用韦达定理得到、，则不等式化为，解得即可.

【详解】解：因为不等式的解集为，

所以、为方程的两根且，

所以，所以、，

所以不等式，即为，即，

即，解得，

即不等式的解集为；

故选：C

6．在下列四个函数中，与表示的是同一函数的个数是（    ）

①  ②  ③  ④

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】通过定义域和解析式是否同时相同来判断即可

【详解】的定义域为，

①的定义域为，但解析式与不同，不是同一函数，

②的定义域为，与的定义域不同，不是同一函数，

③的定义域为，解析式与相同，是同一函数，

④的定义域为，与的定义域不同，不是同一函数，

故选：B

7．已知是减函数，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用分段函数在上单调递减的特征直接列出不等式组求解即得.

【详解】因函数是定义在上的减函数，

则有，解得，

所以的取值范围是.

故选：D

8．已知是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a、b、c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先由题意判断得的单调性，再由是偶函数求得，从而利用的单调性判断得a、b、c的大小.

【详解】因为当时，恒成立，

因为，所以，即，

所以在上是增函数，

又因为函数是偶函数，则，

令，得，即，即，

因为，在上是增函数，

所以，即

故选：A.

9．已知函数是幂函数，且在上单调递增，则（    ）

A．3 B．－1 C．1或－3 D．－1或3

【答案】A

【分析】根据幂函数的概念及性质即得.

【详解】因为是幂函数，

所以，解得或3；

又在上单调递增，

当时，，不符合题意，

当时，，符合题意，

故．

故选：A．

10．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用指数函数和对数函数的性质，与中间量1，2比较大小即可得到结果．

【详解】因为，，，

所以．

故选：C．

11．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出的定义域为，再解不等式即得解.

【详解】解：因为，所以的定义域为，

由题得，所以或.

所以函数的定义域为.

故选：B

12．已知函数满足（其中），则函数的图象可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由可得出，分析函数的单调性与可判断出函数的图象.

【详解】因为，则，

因为，则，所以，且函数在上单调递减，

故函数的图象如C选项中的函数图象.

如选：C.

二、填空题

13．计算：______.

【答案】

【分析】由对数的运算法则和运算性质直接求解；

【详解】

＝

；

故答案为：.

14．已知是奇函数，且当时，.若，则__________.

【答案】-3

【分析】当时，代入条件即可得解.

【详解】因为是奇函数，且当时，．

又因为，，

所以，两边取以为底的对数得，所以，即．

【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．

15．函数的单调递增区间是________

【答案】

【分析】先求函数定义域，再根据复合函数单调性确定单调增区间.

【详解】

当时，单调递减，而也单调递减，所以单调递增，

故答案为：

【点睛】本题考查复合函数单调性、对数函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.

三、解答题

16．已知集合

（1）当时，求；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据集合的运算法则计算；

（2）由得，然后分类和求解．

【详解】（1）当时，中不等式为，即，

∴或，则

（2）∵，∴，

①当时，，即，此时；

②当时，，即，此时.

综上的取值范围为.

17．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)见解析；(2)

【分析】（1）不等式可化为：，比较与的大小，进而求出解集．

（2）恒成立即恒成立，则，进而求得答案．

【详解】解：（1）不等式可化为：，

①当时，不等无解；

②当时，不等式的解集为；

③当时，不等式的解集为.

（2）由可化为：，

必有：，化为，

解得：.

【点睛】本题考查含参不等式的解法以及恒成立问题，属于一般题．

18．已知函数是定义在上的函数，恒成立，且

(1)确定函数的解析式；

(2)用定义证明在上是增函数；

(3)解不等式．

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）先由函数的奇偶性得到b=0，然后由求解；

（2）利用函数单调性定义证明；

（3）将，转化为，利用单调性求解.

【详解】（1）解：因为函数，恒成立，

所以，则，

此时，所以，

解得，

所以；

（2）证明：设，

则，

，

，且，则，

则，即，

所以函数是增函数．

（3），

，

是定义在上的增函数，

，得，

所以不等式的解集为．

19．已知函数，（，且）.

（1）求的定义域，并判断函数的奇偶性；

（2）对于，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）定义域为；奇函数;（2）时，；时，.

【分析】（1）由对数的真数大于0，解不等式可得定义域；运用奇偶性的定义，即可得到结论；

（2）对a讨论，，，结合对数函数的单调性，以及参数分离法，二次函数的最值求法，可得m的范围．

【详解】（1）由题意，函数，由，

可得或，即定义域为；

由，

即有，可得为奇函数；

2对于，恒成立，

可得当时，，由可得的最小值，

由，可得时，y取得最小值8，则，

当时，，由可得的最大值，

由，可得时，y取得最大值，则，

综上可得，时，；时，．

【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定，以及对数的运算性质和二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义，以及对数的运算性质和二次函数的图象与性质的合理应用是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.