2022-2023学年广东省广州市番禺区南村中学高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广东省广州市番禺区南村中学高一上学期期中数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用交集的定义即可求解.
【详解】因为，，
所以．
故选：B.
2．下列函数中与是同一个函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数相等的定义是：定义域相同且对应关系相同，逐个分析可得答案.
【详解】对于A，的定义域为，与的定义域为不同，故A不正确；
对于B，与是同一函数，故B正确；
对于C，与的对应关系不同，故C不正确；
对于D，与的定义域不同，故D不正确.
故选：B
3．关于的不等式的解集为，则（ ）
A．3B．C．2D．
【答案】A
【分析】由题意知方程的两个根分别为，根据根与系数的关系，即可得解.
【详解】由的解集为，可知：是的两个根，
由韦达定理可得：，解得，即
故选：A.
4．下列满足在上单调递增的函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用基本初等函数的单调性直接判断.
【详解】对于A：在上单调递减.故A错误；
对于B：在上为常值函数.故B错误；
对于C：在上单调递减.故C错误；
对于D：为二次函数，开口向上，对称轴为，所以在上单调递增.故D正确.
故选：D.
5．若函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的开口方向及对称轴，可确定函数单调性，从而可得
【详解】解：函数为二次函数，对称轴为直线，且二次函数开口向下，
则的增区间为，减区间为；
故若函数在上是减函数
则.
故选：A.
6．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如表格所示：若某户居民本月交纳的水费为48元，则此户居民本月用水量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先判断不同用水单价计算不同用水量用完水的缴费情况，然后看其本月交纳的水费在那个范围，就可以确定其本月用水量的范围，再根据价格计算用水量即可.
【详解】先计算本月用水量为，则需要缴纳水费36元，少于48元；如果本月用水量为，则前需要缴纳水费36元，超过但不超过的部分，需要缴纳水费36元，所以本月用水量为，需要缴纳水费72元，多于48元，则这该居民本月用水量超过但不超过，所以前需要缴纳水费36元，而超过但不超过的部分的水费为12元，因为其单价为6元，所以为，故本月用水量为.
故选：B
7．函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】化函数为分段函数，再根据各段函数式的特点即可判断作答.
【详解】依题意，原函数化为： ，其定义域为，
显然当时，图象是经过点的直线在y轴右侧部分，
当时，图象是是经过点的直线在y轴左侧部分，
根据一次函数图象知，符合条件的只有选项C.
故选：C
8．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数 m 的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题可得，利用基本不等式可得，再利用一元二次不等式的解法即得．
【详解】∵不等式有解，
∴，
∵，，且，
∴，
当且仅当，即，时取“＝”，
∴，
故，即，
解得或，
∴实数 m 的取值范围是．
故选：B．
二、多选题
9．已知集合，若，则的取值可以是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】AB
【分析】根据并集的结果可得，即可得到的取值；
【详解】解：因为，所以，所以或；
故选：AB
10．下列函数中，哪些函数的图象关于轴对称（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】逐一判断函数的奇偶性即可得解.
【详解】解：对于A，函数的定义域为，
因为，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故A不符题意；
对于B，函数的定义域为，
因为，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故B符合题意；
对于C，函数的定义域为，
因为，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故C符合题意；
对于D，函数函数的定义域为，
因为，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故D不符题意.
故选：BC.
11．下列命题中，真命题的是（ ）
A．a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件
B．“”是“”的充要条件
C．命题“∃x0∈R，使得”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0”
D．命题“∀x∈R，x2+x+1≠0”的否定是“∃x0∈R，”
【答案】ACD
【分析】利用充分性与必要性判断AB的正确性，根据全称命题与存在命题的关系判断CD的正确性.
【详解】对于A，当，时，，但是当时，得到，不一定成立，故，是的充分不必要条件，故A正确；
对于B，“”是“”的充要条件，故B错误；
对于C, 命题“∃x0∈R，使得”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0”,故C正确；
对于D，命题“∀x∈R，x2+x+1≠0”的否定是“∃x0∈R，”，故D正确.
故选：ACD
12．下列命题正确的有（ ）
A．若，则；
B．若，则的最小值为3；
C．若且，则的最小值为4；
D．若.则.
【答案】ACD
【分析】由作差法可判断A，由基本不等式可判断BCD.
【详解】，
，
，A正确；
，，
当且仅当，即时，
有最小值，B错误；
，
当且仅当，即时，有最小值为4，C正确；
，
当且仅当，即时，，D正确.
故选：ACD
三、填空题
13．已知幂函数的图象经过点，则的值为__________.
【答案】
【解析】设幂函数的解析式为，代入点，求得，即可求解的值，得到答案.
【详解】设幂函数的解析式为，
因为幂函数的图象经过点，
可得，解得，即，
所以.
故答案为：.
14．已知函数，则＝_________.
【答案】
【分析】根据分段函数的函数解析式代入求值即可.
【详解】解：由题意得：
，
故答案为：
15．函数为上的奇函数，且当时，，则___________.
【答案】1
【分析】利用奇函数的定义即可求解.
【详解】由于函数为上的奇函数，
所以.
故答案为：1.
16．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300的内接矩形花园（阴影部分），则其一边长x（单位m）的取值范围是___________.
【答案】[10，30]
【分析】设矩形的另一边长为，由三角形相似得出x，y的关系，再根据矩形的面积公式建立不等式，解之可求得答案.
【详解】解：设矩形的另一边长为，由三角形相似得且，
所以，又矩形的面积，所以，解得，
所以其一边长x（单位m）的取值范围是[10，30].
故答案为：[10，30].
四、解答题
17．已知集合
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据集合的运算法则计算；
（2）由得，然后分类和求解．
【详解】（1）当时，中不等式为，即，
∴或，则
（2）∵，∴，
①当时，，即，此时；
②当时，，即，此时.
综上的取值范围为.
18．若不等式的解集是，
(1)求的值；
(2)求不等式的解集；
【答案】(1)11
(2)或
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集，得一元二次方程的两实根，结合韦达定理，从而可求的值，即可得的值；
（2）由（1）可知解即可得解集.
【详解】（1）解：∵不等式的解集是，
∴，是方程的两个根，
∴,即，，所以.
（2）解:由(1)得不等式为
∴
∴不等式的解集为： 或
19．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．
(1)若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？
(2)若使用的篱笆总长度为30m，求的最小值．
【答案】(1)菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小
(2)．
【分析】（1）由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．利用基本不等式x+2y≥2即可得出；
（2）由已知得x+2y＝30，利用基本不等式（）•（x+2y）＝55+2，进而得出．
【详解】（1）由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．又∵x+2y≥224，
当且仅当x＝2y，即x＝12，y＝6时等号成立．
∴菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小．
（2）由已知得x+2y＝30，
又∵（）•（x+2y）＝55+29，
∴，当且仅当x＝y，即x＝10，y＝10时等号成立．
∴的最小值是．
20．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当时，.
(1)求函数f（x）（x∈R）的解析式；
(2)作出函数f（x）（x∈R）的图象，并根据图象写出函数f（x）的单调增区间和减区间.
【答案】(1)
(2)图象见解析，的单调增区间是，，单调减区间是，
【分析】(1)根据函数的奇偶性即可求出时的解析式，由此可得出的解析式；
(2)偶函数的图象关于轴对称，结合二次函数的解析式即可得作出函数的图象，再根据函数的图象即可得出函数的单调区间.
【详解】（1）设，则，
∴
∵是偶函数，∴
∴
∴.
（2）图象如下所示：
由图可知的单调增区间是，；
单调减区间是，.
21．已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)证明：函数在区间上单调递增；
(3)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用奇函数的性质求得，再由求得，由此可得的解析式；
（2）利用单调性的定义，结合作差法即可证明；
（3）利用奇函数的性质得到，再利用（2）中结论去掉即可求解；特别强调，去掉时要注意定义域的范围.
【详解】（1）由题意可知，
，即，
，，
又，即，
，.
（2），且，有
，
，
，
，即，
所以函数在区间上单调递增.
（3）因为为奇函数，
所以由，得，
又因为函数在区间上单调递增，
所以，解得，故，
所以实数的取值范围是
22．已知函数为二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值为12．
（1）求的解析式；
（2）设函数在上的最小值为，求的表达式及的最小值．
【答案】（1）．（2）.最小值
【分析】(1)根据是二次函数，且的解集是可设出的零点式,再根据在区间上的最大值在对称轴处取得为12即可算出对应的参数.
(2)由(1)求得后改写成顶点式,再根据对称轴与区间的位置关系,分情况进行讨论即可.
【详解】（1）是二次函数，且的解集是，
∴可设，
可得在区间在区间上函数是减函数，区间上函数是增函数．
∵，，，
∴在区间上的最大值是，得．
因此，函数的表达式为．
（2）由（1）得，函数图象的开口向上，对称轴为，
①当时，即时，在上单调递减，
此时的最小值；
②当时，在上单调递增，
此时的最小值；
③当时，函数在对称轴处取得最小值，
此时，，
综上所述，得的表达式为，
当，取最小值
【点睛】本题主要考查二次函数的性质.遇到含参数的最值问题时,注意讨论对称轴与区间的位置关系,分别为对称轴在区间左侧,右侧与对称轴在区间内即可.
每户每月用水量
水价
不超过的部分
3元
超过但不超过的部分
6元
超过的部分
9元