2022-2023学年广西南宁市高一上学期期末数学模拟试题（解析版）

2022-2023学年广西南宁市高一上学期期末数学模拟试题

一、单选题

1．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，将任意改成存在，并将结论否定即可.

【详解】根据全称命题的否定的定义可知，命题“，”的否定是，.

故选：D.

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】化简集合A,B，根据补集、交集运算即可求解.

【详解】因为，，

所以，.

故选：A

3．已知锐角的终边上一点，则锐角＝

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】∵锐角的终边上一点，

∴

∴＝70°

故选C

4．已知正数，满足，则的最小值为（     ）

A． B．2 C． D．6

【答案】B

【解析】化简，再利用基本不等式求解.

【详解】由题得

当且仅当时取等.

所以的最小值为2.

故选：B

【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，常用到常量代换，即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解.

5．我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与-一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的边长为，大正方形的边长为，直角三角形中较小的锐角为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】设出直角三角形中较短的直角边，利用勾股定理求出x的值，从而求出sinθ，cosθ的值，再利用两角和与差的三角函数公式即可算出结果．

【详解】直角三角形中较短的直角边为x，

则：x2+（x+2）2＝102，

解得：x＝6，

∴sinθ，cosθ，

∴sin（）﹣cos（）＝﹣cosθ﹣（cosθcos）sinθ﹣（）cosθ，

故选：D．

【点睛】本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式，诱导公式，难度不大，属于基础题．

6．若，，，，则，，大小关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用指，对，幂函数的性质，以及和特殊值1比较大小，判断选项.

【详解】；

，；

．

故选：．

7．定义域在R上的函数是奇函数且，当时，，则的值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性和周期性进行求解即可.

【详解】因为，所以函数的周期为，

因为函数是奇函数，当时，，

所以，

故选：A

8．若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据解析式及满足的不等式，可知函数是上的增函数，由分段函数单调性的性质，结合指数函数与一次函数单调性的性质，即可得关于的不等式组，解不等式组即可求得的取值范围.

【详解】函数满足对任意的实数都有，

所以函数是上的增函数，

则由指数函数与一次函数单调性可知应满足，

解得，

所以数的取值范围为，

故选：A

【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数的取值范围，在满足各段函数单调性的情况下，还需满足整个定义域内的单调性，属于中档题.

二、多选题

9．（多选题）下列计算正确的是（    ）

A． B．

C． D．已知，则

【答案】BC

【解析】根据根式运算和指数幂的运算法则求解判断.

【详解】A. ，故错误；

B. ，故正确；

C. ，故正确；

D. 因为，所以，则，故错误；

故选：BC

10．（多选）在同一平面直角坐标系中，函数与（，且）的图象可能是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】为指数函数，分与两种情况讨论，从而判断出图象的可能结果.

【详解】若，则函数是R上的增函数，函数的图象的对称轴方程为且，故A符合，B不符合；若，则函数是R上减函数，且当时，，所以函数的图象与y轴的负半轴相交，故C符合，D不符合.

故选：AC.

11．已知函数，则（    ）

A．函数的最小正周期为

B．直线是图象的一条对称轴

C．的值域为

D．若时，在区间上单调，则的取值范围是

【答案】BC

【分析】根据函数的周期是函数周期的一半，可判断A选项；

将代入函数解析式求值，判断是否为函数的对称轴；

对于C：将函数化简得到，接着利用换元法求得值域即可；

对于D选项：时，在区间上单调，可得或，最后求得的取值范围.

【详解】因为函数的最小正周期为，

而函数周期为，故A错误；

当时，，

所以直线是图象的一条对称轴，故B正确；

化简整理得：，

令，则，

且，

所以，

二次函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，

，

所以函数的值域为，故C正确；

时，在区间上单调，

即，

所以或

解得或，故D错误.

故选：BC.

【点睛】(1)应用公式时注意方程思想的应用，对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二．

(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．

12．设函数，若实数，，满足，且则下列结论恒成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】由函数零点与方程的根的关系，作出函数的图象，然后利用作差法比较大小，即可求解.

【详解】解：由题意，实数，，满足，且，

结合图象，可得，即，且，

可得和恒成立，即A、B恒成立；

又由，所以，所以C恒成立；

又由，当时，的符号不能确定，

所以D不恒成立，

故选：ABC.

【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及对数函数图象的应用，其中解答中正确作出函数的图象，得到的关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档题.

三、填空题

13．函数的定义域为____.

【答案】

【解析】根据解析式有意义可得出关于实数的不等式组，进而可求得函数的定义域.

【详解】对于函数，有，解得.

因此，函数的定义域为.

故答案为：.

14．若函数的一个周期是，则的取值可以是___________.（写出一个即可）.

【答案】4（答案不唯一）

【分析】先利用三角函数恒等变换公式对函数化简，然后利用周期公式求解即可

【详解】，其中，

则的最小正周期，

从而，

解得，且

故答案为：4（答案不唯一）

15．如下图，是边长为的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，现给出函数的四个性质，其中说法正确的是__________．

①

②在上单调递增

③当时，取得最大值

④对于任意的，都有

【答案】②④

【分析】先分析出,再根据分段函数性质依次判断即可

【详解】由题可知,所在直线为,所在直线为

则当时,；

当时,；

则,

①当时,,故①错误；

②易知,在上单调递增,在上单调递增,且,则在上单调递增,故②正确；

③因为在上单调递增,则无最大值,故③错误；

④由题,当时,,

当时,,则,

当时,,则,

当时,,则,故④正确；

故答案为②④

【点睛】本题考查分段函数的应用,考查二次函数单调性与最值问题,考查求函数值,考查运算能力

四、双空题

16．已知函数，那么________；若存在实数a，使得，则a 的个数是_______________．

【答案】     1     4

【解析】（1）直接代入求值即可；

（2）运用换元法，结合函数的图象，分类讨论求出a 的个数.

【详解】（1）

（2）令，即满足，

①t=1，即a=±1时，经检验，均满足题意；

②t <1，即 −1 <a <1 或 a >1时，，由，解得t =0或1（舍去）；再由解得a = 0或 2 ；

③t > 1，即a < − 1时，，由t= 2−t ，解得 t = 1 （舍去）；

综上所述：共有 4 个 a ．

【点睛】本题考查了求函数值，考查了方程有解求实数个数问题，考查了分类讨论法、换元法

。

五、解答题

17．已知集合， .

（1）当时，求；

（2）若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）当时，分别求出集合与集合，再进行交集运算即可求解.

（2）先求出集合与集合，由题意可得A是B的真子集，结合数轴即可求解.

【详解】（1）∵，

当时，或，所以.

（2），或.

又是的充分不必要条件，所以A是B的真子集.

所以或，

解得或；

即实数m的取值范围为.

【点睛】结论点睛：集合的观点分析充分与必要条件

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．

18．如图，以Ox为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于P，Q两点，已知点P的坐标为．

（1）求的值；

（2）若，求的值．

【答案】（1）（2）

【分析】(1)由三角函数的定义首先求得的值，然后结合二倍角公式和同角三角函数基本关系化简求解三角函数式的值即可；

(2)由题意首先求得的关系，然后结合诱导公式和两角和差正余弦公式即可求得三角函数式的值.

【详解】（1）由三角函数定义得，，

∴原式．

（2）∵，且，

∴，，

∴，．

∴．

【点睛】本题主要考查三角函数的定义，二倍角公式及其应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

19．在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．

①的最小正周期为，且是偶函数：

②图象上相邻两个最高点之间的距离为，且；

③直线与直线是图象上相邻的两条对称轴，且．

问题：已知函数，若          ．

(1)求，的值；（请先在答题卡上写出所选序号再做答）

(2)将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的最小值和最大值．

【答案】(1)，

(2)最小值为1，最大值为2

【分析】(1)根据①②③所给的条件，以及正余弦函数的对称性和周期性之间的关系即可求解；

(2)根据函数的伸缩平移变换后的特点写出 的解析式即可.

【详解】（1）选条件①：

∵的最小正周期为，

∴，∴；

又是偶函数，

∴对恒成立，

得对恒成立，

∴，∴（），

又，∴；

选条件②：

∵函数图象上相邻两个最高点之间的距离为，

∴，；

又，∴，即，

∴（），又，∴；

选条件③：

∵直线与直线是图象上相邻的两条对称轴，

∴，即．∴；

又，

∴，∴（），又，∴；

（2）由（1）无论选择①②③均有，，即 ，

将的图象向右平移个单位长度后，

得到的图象，

将的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，

纵坐标不变，得到的图象，

∵，∴

∴在上单调递增；在上单调递减．

又∵

，，

∴在的最小值为1，最大值为2；

综上： ，最小值=1，最大值=2.

20．某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为的平坦高速路段进行测试，经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量单位：与速度单位：的一些数据如下表所示.

为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，，且.

(1)请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；

(2)这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少

【答案】(1)，

(2)

【分析】根据题意可知，代入数据列得关于的方程组，解方程组即可，故可得解析式.

设这辆汽车在该测试路段的总耗油量为单位：，行驶时间为单位：，由题意得，根据二次函数的性质求出最值.

【详解】（1）由题意可知，符合本题的函数模型必须满足定义域为，且在上单调递增.

函数在上单调递减，所以不符合题意

函数在上单调递减，所以不符合题意；

函数，且中的，即定义域不可能为，也不符合题意

所以选择函数模型.

由已知数据得

解得

所以.

（2）设这辆车在该测试路段的总耗油量为，行驶时间为.

由题意得:

，因为，所以当时，有最小值.

所以这辆车在该测试路段上以的速度行驶才能使总耗油量最少，最少

为.

21．定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，都满足.

（1）求的值；

（2）求的解析式；

（3）设函数，求在区间上的最大值.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）分别令，和，，可得出关于和的方程组，即可解出的值；

（2）令，则，再用替换可得出，利用加减消元法可解出，即可得出函数的解析式；

（3）由题意得出，然后分和，分析二次函数在区间上的单调性，即可得出函数在区间上的最大值的表达式.

【详解】（1）令，，得；

令，，得.

由，解得；

（2）令，则，所以，

由以上两式，解得，

即，所以；

（3）.

当，即时，此时，函数在区间上单调递增，

；

当，即时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则.

综上，.

【点睛】本题考查函数值的求解、利用方程组法求函数解析式，同时也考查了二次函数在区间上的最值的求解，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力，属于中等题.

22．已知函数在区间上有最大值，最小值，设.

（1）求 的值；

（2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【详解】试题分析：

(1)由题意得到关于实数a,b的方程组，求解方程组可得；

(2)不等式恒成立转化为，结合二次型复合函数的性质和恒成立的条件可得实数的取值范围是.

试题解析：

解：（1），

当时, 在上为增函数，故，

当时, 在上为减函数，故，

.

（2）,不等式化为，

，令，则，，记，

.

点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．