2022-2023学年广东省湛江市雷州市第一中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省湛江市雷州市第一中学高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知全集，则

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：因为全集，则由集合的补集的定义可得，故选A.

【解析】集合的补集.

2．命题：，的否定形式为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】“任意一个都符合”的否定为“存在一个不符合”

【详解】由题意，“任意一个都符合”的否定为“存在一个不符合”，故为，.

故选：D

3．若，，则有（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用不等式的性质直接判断即可．

【详解】解：，

，，

所以A选项正确，B选项错误

又，

，，

所以C选项，D选项错误；

故选：A.

4．下列各组函数中，表示同一函数的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】C

【解析】分析两个函数的定义域和对应关系是否一致即可判断是否为同一函数.

【详解】对于选项A：定义域为，定义域为，但，故与不是同一函数，故选项A正确；

对于选项B：的定义域是，的定义域是或，所以和不是同一函数，故选项B不正确；

对于选项C：定义域为，定义域为，所以与是同一函数，故选项C正确；

对于选项D：定义域为，定义域为，但，所以与不是同一函数，故选项D不正确；

故选：C

5．，则等于（    ）

A．-2 B．0 C．1 D．6

【答案】C

【分析】代入求值即可.

【详解】因为，所以.

故选：C

6．函数的值域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先配方，求出函数的单调区间，即可求出值域.

【详解】令，配方得,

∴函数在上单调递减，在单调递增，

又，∴，，

故函数的值域是，

故选：B

【点睛】本题考查二次函数的值域，属于基础题.

7．已知函数，则（    ）

A．是奇函数，且在上是增函数 B．是奇函数，且在上是减函数

C．是偶函数，且在上是增函数 D．是偶函数，且在上是减函数

【答案】B

【分析】结合幂函数的单调性可判断的单调性，然后检验与的关系即可判断奇偶性.

【详解】解：根据幂函数的性质可知在上单调递减，

又，

故为奇函数.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了幂函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础试题.

8．奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（   ）．

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

因为函数式奇函数，在上单调递减，

根据奇函数的性质得到在上函数仍是减函数，

再根据可画出函数在上的图像，

根据对称性画出在上的图像．

根据图像得到的解集是：．

故选A．

二、多选题

9．（多选）下列存在量词命题中，是真命题的是（    ）．

A．， B．至少有一个，使能同时被2和3整除

C．， D．有些自然数是偶数

【答案】ABD

【分析】对于选项A、B、D能找到一个值使命题成立，而不存在任何实数满足，从而得出选项.

【详解】A中，时，满足，所以A是真命题；

B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；

D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题；

C中，因为所有实数的绝对值非负，即，所以C是假命题．

故选ABD．

【点睛】本题考查特称命题的判断，属于基础题.

10．已知函数，若，则实数的值可以是（    ）

A．3 B． C．4 D．-4

【答案】BC

【分析】分与两种情况求解的值即可.

【详解】当时，得，解得或（舍去）；当时，得，解得.

故选：BC

11．下列叙述中正确的是（    ）

A．对所有实数，都有

B．不等式解集为

C．已知，则“”是“”的必要不充分条件

D．函数与是同一个函数

【答案】AC

【分析】根据各项命题进行化简或分析，判断命题的真假从而得到结论.

【详解】对于选项A，对于所有实数，都有，故A正确；

对于选项B，， 当时，，故不等式解集为，故B错误；

对于选项C，或，“或”是“”的必要不充分条件，故C正确；

对于选项D，的定义域为，的定义域为，定义域不同，所以不是同一个函数，故D错误；

故选：AC.

12．以下结论正确的是（    ）

A．函数的最小值是2；

B．若且，则；

C．的最小值是2；

D．函数的最大值为0．

【答案】BD

【分析】根据判断A，由均值不等式可判断B，利用对勾函数判断C，根据均值不等式判断D.

【详解】对于A，当时，结论显然不成立，故错误；

对于B，由知，根据均值不等式可得，故正确；

对于C，令，则单调递增，故最小值为，故C错误；

对于D，由可知，，当且仅当时取等号，故D正确.

故选：BD

三、填空题

13．函数的定义域为______．

【答案】且

【解析】由分母不能为和根式内部的代数式大于等于联立不等式组，解得即可.

【详解】由题意得：，解得，

所以函数定义域为且.

故答案为：且

14．已知是R上的奇函数，当时，，则的值为__________．

【答案】2

【分析】结合函数的奇偶性，得到，代入即可求解.

【详解】由题意，函数是R上的奇函数，当时，，

可得，

即的值为.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及函数值的计算，其中解答中熟练应用函数的奇偶性转化求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及计算能力.

15．对于任意实数a，b，c，有以下命题：

①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；

②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；

③“（x﹣a）（x﹣b）＝0”是“x＝a”的充分条件；

④“a＜5”是“a＜3”的必要条件.

其中正确命题的序号是__.

【答案】②④

【分析】本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断及不等式的性质，我们根据充要条件的定义对题目中的四个答案逐一进行分析即可得到答案.

【详解】解：∵①中“a＝b”⇒“ac＝bc”为真命题，

但当c＝0时，“ac＝bc”⇒“a＝b”为假命题，

故“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故①为假命题；

∵②中“a+5是无理数”⇒“a是无理数”为真命题，

“a是无理数”⇒“a+5是无理数”也为真命题，

故“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故②为真命题；

∵③“（x﹣a）（x﹣b）＝0”是“x＝a”的必要条件，故③为假命题；

∵④中{a|a＜3}比{a|a＜5}范围小 ，故“a＜5”是“a＜3”的必要条件，故④为真命题.

故真命题的个数为2

故答案为：②④

16．高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为，其中表示不超过的最大整数.例如：.已知函数，若，则__________.

【答案】

【分析】对进行分类讨论，结合“高斯函数”的定义求得的值.

【详解】依题意，函数，

当时，，

所以，

由解得，符合题意.

当时，，

所以，

由解得，舍去.

综上所述，的值为.

故答案为：

四、解答题

17．设.

(1)；

(2)；

(3).

【答案】(1)

(2)或

(3)

【分析】根据一元二次不等式的解法求集合B，（1）（2）借助于数轴，按照集合的并集、交集定义求解；（3）先求出，再求．

【详解】（1）设或，

在数轴上，如图所示：

故.

（2）故或.

（3）∵，

∴.

18．已知函数．

(1)请在给定的坐标系中画出此函数的图象；

(2)写出此函数的定义域及单调区间，并写出值域．

【答案】(1)图象见解析

(2)定义域为R，增区间为，减区间为、和，值域为

【分析】(1)结合的解析式作图即可；(2)结合解析式和(1)中图像即可求解.

【详解】（1）图象如图所示：

（2）由的解析式可知，定义域为R，

由(1)中图像可知，增区间为，减区间为、和，值域为．

19．已知不等式的解集为．

(1)求实数，的值；

(2)解关于的不等式（其中为实数）．

【答案】(1)，

(2)当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为．

【分析】（1）根据一元二次方程的解法，可得方程的解，根据韦达定理，可得答案；

（2）代入（1）的答案，利用分解因式法，解二次不等式，可得答案.

【详解】（1）由题意，为一元二次方程，

由韦达定理，可得，解得.

（2）由（1），不等式，可得，

整理可得：，

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为．

20．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制（单位：千米/时）.假设汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时24元.

(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；

(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.

【答案】(1)，

(2)，费用最低元.

【分析】（1）先确定所用时间，再乘以每小时耗油与每小时工资的和得到总费用表达式；

（2）利用基本不等式求最值即得结果.

【详解】（1）设所用时间为，

则由题意知，.

所以这次行车总费用y关于x的表达式是，

（2），

当且仅当，即时等号成立.

故当千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为元.

21．已知函数，且.

（1）求的值；   

（2）判断函数的奇偶性；

（3）判断函数在上是增函数还是减函数？并证明.

【答案】（1）-1  （2）奇函数 （3）增函数，证明见解析.

【分析】（1）将代入，即可求解a值；

（2）先求定义域，再根据奇偶性定义判断；

（3）根据定义法判断单调性，设，判断的正负，进而判断单调性.

【详解】（1）

（2）定义域关于原点对称，

，故是奇函数；

（3）（定义法）

设

即函数是增函数.

【点睛】（1）待定系数法：将函数值代入解析式，求解参数a；

（2）判断函数奇偶性前，先判断定义域是否关于原点对称，关于原点对称的函数才可以用定义判断奇偶性;

（3）函数单调性定义，设，若，则函数单调递增.

22．记函数=的定义域为A，g（x）=（a<1）的定义域为B.

(1)求A；

(2)若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）第一步要使有意义，第二步由按分式不等式的解法求求A；

（2）第一步使有意义求的集合B，第二步真数大于零求解然后按照BA，求解.

【详解】（1）由得：，解得或，

即；

（2）由得：由得

BA或

即或，而或

故当BA时，实数的取值范围是.