2022-2023学年江西省名校高一上学期第三次大联考（三）数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江西省名校高一上学期第三次大联考（三）数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省名校高一上学期第三次大联考（三）数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式确定集合后再求交集即可．【详解】由题意，，所以．故选：A．2．已知集合A，B，C，其中A有10个元素，C有15个元素，则满足的集合B的个数为（    ）A．32 B．31 C．30 D．5【答案】C【分析】由题意，集合B的个数可以看成由个元素构成的集合的非空真子集的个数，从而可得出答案.【详解】解：因为集合A，B，C，其中A有10个元素，C有15个元素，且，所以集合B的个数可以看成由个元素构成的集合的非空真子集的个数，有个，所以集合B的个数为30.故选：C.3．函数的定义域为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函数的根式部分得，利用指数函数单调性解不等式即可.【详解】，故，故定义域为.故选：D4．已知关于的方程有唯一实数解，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，变换得到，令，确定函数为偶函数，故，计算得到答案.【详解】由题意得，则，令，则上式可化为，令，则，故为偶函数，关于的方程有唯一实数解，即函数的图象与有唯一交点，结合为偶函数，可得此交点的横坐标为0，故．故选：C5．函数部分图像大致是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先由函数的奇偶性排除部分选项，然后再由的解及解的个数判断.【详解】因为函数的定义域为R，又，所以函数是偶函数，排除AD，令，得，且只有一个解，排除C，故选：B6．已知，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较即可【详解】，，，，故选：A.7．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至45℃，大约还需要（参考数据：，）（    ）A．9分钟 B．10分钟C．11分钟 D．12分钟【答案】B【分析】根据已知条件代入公式计算可得，再把该值代入，利用对数的运算性质及换底公式即可求解.【详解】解：由题意，℃，由一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，可得，所以，又水温从75℃降至45℃，所以，即，所以，所以，所以水温从75℃降至45℃，大约还需要10分钟.故选：B.8．已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解，，，，且，则的最小值为（    ）A． B．8 C． D．【答案】D【分析】先画出分段函数图像，确定，，，的范围，由结合对数运算可得，与分别利用均值不等式求最小值，确认取等条件相同，即可得最小值.【详解】函数图像如图所示，，，，，由，∴，当且仅当时，等号成立，此时；，当且仅当时等号成立，此时.所以的最小值为.故选：D 二、多选题9．下列命题为真命题的是（    ）A．不论取何实数，命题“”为真命题B．不论取何实数，命题：“二次函数的图象关于轴对称”为真命题C．“四边形的对角线垂直且相等”是“四边形是正方形”的充分不必要条件D．“”是“”的既不充分也不必要条件【答案】ABD【分析】结合一元二次函数和一元二次不等式的性质可判断AB；根据充分条件、必要条件的概念可判断CD.【详解】对于，关于的一元二次方程满足，即有不等实根，显然，即，因此不等式的解集为，当时，，故A正确.对于，二次函数图象的对称轴为直线，即轴，故B正确.对于，对角线垂直且相等的四边形不一定是正方形可能为菱形，反之成立.故错误.对于，令，则，即充分性不成立，令，则，而，故必要性也不成立，即“”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确.故选：ABD.10．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.令函数，以下结论正确的有（    ）A．B．为奇函数C．D．的值域为【答案】AC【分析】根据题中定义，结合奇函数的性质、函数的周期的性质逐一判断即可.【详解】对于，故正确.对于，取.1，则，而，故，所以不为奇函数，故B错误.对于，故C正确.对于，由可知，为周期函数，且周期为1，当时，，当时，，当时，；当时，，则的值域为，故D错误，故选：AC【点睛】关键点睛：根据题中定义进行求解是解题的关键.11．已知函数.则下列说法正确的是（    ）A． B．函数的图象关于点对称C．函数的定义域上单调递减 D．若实数，满足，则【答案】AB【分析】利用函数解析式，求解可得可判断A，利用可判断B，根据函数的奇偶性和复合函数的单调性可判断C，根据函数的单调性和对称中心可判断D.【详解】对于A选项，对任意的，，所以函数的定义域为，又因为，所以，故A正确；对于B选项，因为函数满足，故函数的图象关于点对称，故B正确；对于C选项，对于函数，该函数的定义域为，，即，所以函数为奇函数，当时，内层函数为增函数，外层函数为增函数，所以函数在上为增函数，故函数在上也为增函数，因为函数在上连续，故函数在上为增函数，又因为函数在上为增函数，故函数在上为增函数，故C不正确；对于D选项，因为实数a，b满足，则，可得，即，故D错误.故选：AB.12．已知函数则以下判断正确的是（    ）A．若函数有3个零点，则实数的取值范围是B．函数在上单调递增C．直线与函数的图象有两个公共点D．函数的图象与直线有且只有一个公共点【答案】AC【分析】作出的图像如图所示，B可直接由图像或二次函数单调性判断；AC零点及交点问题均可以通过与交点个数判断；D通过图像或者联立方程求解即可判断.【详解】当，故的图像如图所示，对AC，函数有3个零点，相当于与有3个交点，故的取值范围是，直线与函数的图象有两个公共点，AC对；对B，函数在上先增后减，B错；对D，如图所示，联立可得解得或，由图右侧一定有一个交点，故函数的图象与直线不止一个公共点，D错.故选：AC 三、填空题13．集合，，若，则实数的值组成的集合为______．【答案】【分析】解集合A中的不等式，得到集合A，由，通过分类讨论求解实数的值.【详解】解得，由，∴集合，，且，∴或或，时，方程没有实数根，∴；时，方程的解为，∴；时，不成立，∴．所以实数组成的集合为．故答案为：14．已知幂函数的图象过点，且当时，恒有，则实数的取值范围为__________．【答案】【分析】根据幂函数的定义，代入已知点，建立方程，解得函数解析式，结合其单调性，解决不等式恒成立问题，可得答案.【详解】因为幂函数的图象过点，所以，解得，所以，所以在上恒成立，只需，易知在上单调递减，所以，所以所以实数的取值范围为故答案为：.15．已知是定义域为的奇函数，当时，，若对于任意，不等式恒成立，则的最小值是______.【答案】【分析】先利用函数的解析式和奇偶性判断函数的单调性，然后利用函数的解析式可知，然后利用函数的单调性建立不等式，然后参变分离求最值即可.【详解】解：由题意得在上单调递增，因为是定义域为的奇函数，所以在上单调递增.因为，所以，所以，得，即恒成立.因为，所以，即的最小值是.故答案为：.16．已知函数若方程恰有四个不同的实根，则的取值范围是______.【答案】【分析】方程分离参数后，画出的的图象，观察图象可得结果.【详解】∵恰有四个不同的实根，即：∴和恰有四个不同的交点，又∵当时， 当时，，∴如图所示，又∵，，，∴故答案为：. 四、解答题17．已知集合，．(1)若，均有，求实数的取值范围；(2)若，设，，求证：是成立的必要条件．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）由题意有，分和两种类型讨论.（2）命题成立，则为假命题，先求出为真命题的条件，就可得到为假命题的条件.【详解】（1）．因为，均有，所以．当，即时，，满足题意；当时，，由，有或，解得或，所以．综上，或，即的取值范围是．（2）证明：若，为真命题，则，为假命题．先求，为真命题时的范围，因为，所以，即．由，，得．则，解得，所以．因为，为假命题，所以．综上，若，则是成立的必要条件．18．已知函数的定义域为，对任意，都有，且当时，.(1)求证：是奇函数；(2)若，对任意的，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）令代入方程得，令代入方程得即可证；（2）由定义法先证函数在单调递增，恒成立等价于，由单调性及奇偶性得，故恒成立等价于，恒成立，等价于恒成立.【详解】（1）证明：令得，得，故是奇函数；（2）设任意且，，，且当时，，故，故函数在单调递增，由函数为奇函数，故函数在单调递增.对任意的，恒成立，即，由函数单调性得，故对任意恒成立.设，，要使恒成立，则，故或，所以实数的取值范围为.19．为了进一步增强市场竞争力，某企业计划在2023年利用新技术生产某部手机.经过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产（单位：千部）手机，需另投入可变成本万元，且由市场调研知，每部手机售价万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（利润=销售额－固定成本－可变成本）(1)求2023年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式；(2)2023年的年产量为多少（单位：千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)；(2)90，8070万元. 【分析】（1）代入分段函数化简即可.（2）分别求分段函数的最值，取最大值即可.【详解】（1）（2），当时，；，当且仅当时等号成立.故当产量为90千部时，企业所获利润最大，最大利润为8070万元20．已知函数在区间上有最大值4和最小值（1）求､的值；（2）设①若时，，求实数的取值范围；②若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）①；② .【分析】（1）由二次函数的单调性求得最大值和最小值，从而可求得；（2）① 不等式分离参数得，可换元设，然后由二次函数性质求得最小值，进而得的范围；② 化简方程，换元设和，转化关于的二次方程，由根的分布知识求解．【详解】（1），对称轴是，又，所以在上单调递增，则，解得．（2）由（1），，①即，，令，记，，，即的取值范围是.② 由得，即，且，令，则方程化为，又方程有三个不同的实数解，由的图象可知，有两个根且或，记，则或，解得．故的取值范围是．21．已知函数为奇函数．（1）求实数k的值；（2）若对任意都有成立，求t的取值范围；（3）若存在，且，使得函数在区间上的值域为，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）根据函数奇函数的定义和条件，求出k的值之后再验证是否满足函数的定义域关于原点对称即可；（2）根据复合函数单调性法则，可以判断出函数在给定区间上的单调性，之后将恒成立问题转化为最值处理；（3）假设存在，使得函数在区间上的值域为，由在上递增，方程在上有两个不等实根，可得的不等式组，解不等式即可得到实数的取值范围，即可得到判断存在性.【详解】（1）因为函数为奇函数，所以， 即对定义域内任意恒成立，所以，即，显然，又当时，的定义域关于原点对称．所以为满足题意的值． （2）由（1）知，其定义域为，可以判断出在上为增函数．所以在上为增函数，对任意都有成立，则有，所以，所以，所以求t的取值范围为；（3）由（2）知在上为增函数，又因为函数在上的值域为，所以，且，所以，即是方程的两实根，  问题等价于方程在上有两个不等实根，令，对称轴则， 即，解得．【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用、函数和方程的转化以及一元二次方程在给定区间上解的问题，根据函数奇偶性和单调性的定义确定函数性质是解决本题的关键.22．已知，函数.(1)若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；(2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）化简得，再讨论解集中恰好有一个元素，得到 的取值范围；（2）由题得，即即，由二次函数的单调性可得出答案.【详解】（1）由即等价于 ,即 当时，，经检验，满足题意.当时，，经检验，满足题意.当且时，是原方程的解当且仅当，即是原方程的解当且仅当，即.于是满足题意的.综上，的取值范围为.（2）当时，，所以在上单调递减，函数在区间上的最大值与最小值分别为.即对任意成立.因为，所以函数在区间上单调递增，时，有最小值，由，得.故的取值范围为