2022-2023学年宁夏贺兰县第一中学高一上学期数学线上测试（二）试题（解析版）

2022-2023学年宁夏贺兰县第一中学高一上学期数学线上测试（二）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据对数函数的单调性解不等式，即可得到集合B，进而根据交集的定义就出.

【详解】解：，

，即，

，

故选：D.

2．下列函数中图像关于轴对称的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】画出函数图像即可

【详解】对A选项：如图所示，A错误

对B选项：如图B错误

对C选项： 如图C错误

对D选项：如图D正确

故选：D.

3．函数的零点所在区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据零点存在定理依次判断各选项中区域端点处的符号即可.

【详解】对于A，当时，，，，在内无零点，A错误；

对于B，当从正方向无限趋近于时，，则；又，在内无零点，B错误；

对于C，，，且在上连续，在内有零点，C正确；

对于D，，，在内无零点，D错误.

故选：C.

4．函数的增区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求函数的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减求得正确答案.

【详解】由得，

解得，

的开口向下，对称轴为，

函数在上递减，

根据复合函数单调性同增异减可知，的增区间为.

故选：D

5．幂函数在上为减函数，则实数的值为（    ）

A．或 B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】根据幂函数的定义以及单调性求得的值.

【详解】由于函数是幂函数，所以，解得或，

当时，，在上递减，符合题意.

当时，，在上递增，不符合题意.

综上所述，的值为.

故选：D

6．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】结合指数与对数函数单调性可比较大小.

【详解】，，

因为单减，故，所以.

故选：B

7．已知函数若，则（    ）

A．0 B． C． D．1

【答案】D

【分析】由分段函数可知先求，再求即可

【详解】∵，

∴，

解得，

故选：D.

8．函数的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】去掉绝对值，根据函数的单调性即可判断．

【详解】当时，，因为，所以函数单调递增，

当时，，因为，所以函数单调递减．

故选：C．

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．命题“，”的否定是“，”

B．存在，使得是真命题；

C．若命题“，”为假命题，则实数n的取值范围是

D．已知集合，则满足条件的集合B的个数为15

【答案】AC

【分析】利用含有一个量词的命题的否定判定选项A正确；利用判别式判定选项B错误；利用等价命题及判别式判定选项C正确；现将条件转化为，进而判定选项D错误.

【详解】对于A：命题“，”的否定是“，”，

即选项A正确；

对于B：因为，即方程无实数解，也无有理数解，

即存在，使得是假命题，即选项B错误；

对于C：若命题“，”为假命题，

则若命题“，”为真命题，

即无实数解，则，

解得，即选项C正确；

对于D：因为，所以，又因为，

所以满足条件的集合有无数个，即选项D错误.

故选：AC.

10．若函数，则（    ）

A．在区间上递增 B．在区间上递减

C．在时有最大值 D．在时有最小值

【答案】AB

【分析】由对勾函数的性质对选项逐一判断，

【详解】由得，则在和上单调递减，在和上单调递增，故A，B正确，

当时，，当时，，故C，D错误，

故选：AB

11．奇函数在的图像如图所示，则下列结论正确的有（    ）

A．当时，

B．函数在上递减

C．

D．函数在上递增

【答案】ABD

【分析】结合的图像，根据奇函数的对称性，分析函数的值域、单调性、函数值，由此确定正确选项.

【详解】解：根据图像可知：时，，在递减，在上递增，

所以根据奇函数性质，当时，，A正确；

当时，在递减，在上递增，故BD正确.

由于在上递增，所以，故C错误.

故选：ABD

12．若函数，则下列说法正确的是（    ）

A．函数定义域为 B．时，

C．的解集为 D．

【答案】BD

【分析】根据对数函数得图像性质解决即可.

【详解】由题知，，

对于A，函数定义域为，故A错误；

对于B，在上单调递减，

当时，，故B正确；

对于C，在上单调递减，，即，解得，故C错误；

对于D，，故D正确.

故选：BD

三、填空题

13．已知正数满足，则的最小值为__________．

【答案】

【分析】通过等式变换，在将构造基本不等式的形式，

利用基本不等式求解即可

【详解】因为正数，满足，

则

由，

当且仅当即，时等号成立，

即的最小值为 ．

故答案为：．

14．设函数是上的减函数，则的取值范围是______________.

【答案】

【分析】根据已知条件及分段函数分段处理的原则，结合一次函数与对数函数的单调性即可求解.

【详解】因为函数是上的减函数，

所以，解得,

所以的取值范围为.

故答案为：.

15．已知偶函数部分图象如图所示，且，则不等式的解集为___________.

【答案】

【分析】根据为偶函数，可以补全y轴左侧的图象，再对和分类讨论，确定的正负，由函数图象即可确定最后的取值范围

【详解】根据函数部分图象和偶函数可以补全y轴左侧的图象，

由，

当时，，结合图象可得；

当时，，可得，

所以的解为或.

故答案为：.

16．已知是定义在上的增函数，且恒成立，则的最大值为________.

【答案】

【分析】根据函数的单调性解不等式之后整理成二次不等式的恒成立问题.

【详解】可得，

是定义在上的增函数，

，

在上恒成立，

解之：

故答案为：

四、解答题

17．（1）化简；

（2）若，求的值．

【答案】（1） （2）14

【分析】（1）由指数的运算性质求解，

（2）由完全平方公式求解，

【详解】（1）原式，

（2）由题意得，得，

同理，故

18．已知集合，集合.

(1)当时，求；

(2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据指数函数的单调性、绝对值的性质，结合集合交集的运算性质进行求解即可；

（2）根据充分条件的定义，结合集合子集的性质进行求解即可.

【详解】（1）由，所以

当时，，或，所以或

所以；

（2）因为若是的充分条件，所以.

当时，，符合题意；

当时，或，

因为，所以，解得.

综上实数a的取值范围是.

19．设函数是定义在上的偶函数，若当时，，

(1)求当时，函数的解析式；

(2)画出函数图象，并求满足的的取值范围；

(3)若方程有四个实数根，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）利用已知的解析式和偶函数的定义求解即可；

（2）画出函数图象，借助图象即可得出结论；

（3）在同一坐标系中作出和的图象，再由图象进行求解.

【详解】（1）令，则，

因为当时，，

所以，

因为函数的偶函数，

所以，

即当时，；

（2）由（1）得，

作出的图象（如图所示），

由图象，得当时，，

即满足的的取值范围为；

（3）将化为，

在同一坐标系中作出和的图象（如图所示），

由图象，得当时，的图象与直线有四个交点；

即方程有四个实数根，的取值范围 为.

20．已知函数.

(1)求的定义域；

(2)判断的奇偶性并给予证明；

(3)求关于的不等式的解集.

【答案】(1)；

(2)函数为奇函数，证明见解析；

(3)见解析.

【分析】（1）根据对数函数真数大于0见解析即可；（1）根据奇偶性证明步骤进行即可；（3）分类讨论，单调性不同两种情况即可.

【详解】（1）根据题意，函数，

所以，解可得，

所以函数的定义域为；

（2）由（1）得函数的定义域为，关于原点对称，

因为函数，

所以，

所以函数为奇函数.

（3）根据题意，即，

当时，有，解可得，此时不等式的解集为；

当时，有，解可得，此时不等式的解集为

所以当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.

21．已知函数.

(1)根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减；

(2)若函数是奇函数，求实数a的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）设任意且，然后计算，通过化简变形从而确定符号，根据函数的单调性的定义可得结论；

（2）先求函数的定义域，然后根据奇函数的定义建立等式关系，即可求出实数a的值.

【详解】（1）证明：设任意且，

则，

因为且，所以，

则，也即，所以，

又因为，所以函数在区间上单调递减，

（2）要使函数有意义，则有，

所以函数的定义域为，关于原点对称，

若函数是奇函数，则，

即，解得：，

所以实数a的值为.

22．已知函数是奇函数.

(1)求的值，并判断的单调性（不必说明理由）；

(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)，为增函数

(2)

【分析】（1）由求得a，再检验即可；由得到，再利用指数函数的单调性判断；

（2）将转化为成立，再令求解.

【详解】（1） ，

 ，             

检验：，定义域为，

，

为奇函数，

故.       

∴，

∴为增函数.

（2） ，

，       

设，

因为，

即存在，使b成立，

当时，，

.