2022-2023学年山东省临沂第二中学高一上学期第二次线上考试数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省临沂第二中学高一上学期第二次线上考试数学试题

一、单选题

1．1859年中国清朝数学家李善兰在翻译《代数学》中首次将“function”翻译成“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义.现给出下列四个对应关系，请由函数的定义判断，其中能构成从A到B的函数的是（    ）

A．①④ B．①② C．①②④ D．①③④

【答案】A

【分析】根据函数定义判断选项即可.

【详解】解：函数的定义中满足“集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数与它对应”，结合定义容易判断①④为从A到B的函数.

故选:A

2．1837年，德国数学家狄利克雷（P.G.Dirichlet，1805—1859）认为“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数.”此外，他还给出了“狄利克雷函数”：自此，人们对函数的本质有了深刻的理解，设则（    ）

A．1 B．0 C．-1 D．

【答案】B

【分析】根据为无理数得，从而有.

【详解】因为为无理数，所以，

所以.

故选：B.

3．用二分法求函数零点的近似解，可以取的初始区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接利用零点存在定理，即可判断

【详解】由可得，，

，，

，所以得，根据零点存

在定理可以取得初始区间为，

故选：C

4．已知函数在上的最大值和最小值分别为M，N，则（    ）

A． B． C．0 D．2

【答案】D

【分析】令，得到其为奇函数，从而，故，求出.

【详解】，则，

令，定义域为，

则，故为奇函数，

所以，

即，故.

故选：D

5．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（    ）

A．［-4，0） B．［-4，-2） C．［-4，+∞） D．（-∞，-2）

【答案】B

【分析】依题意可得函数在各段均是增函数且在断点的左侧的函数值不大于断点右侧的函数值，即可得到不等式组，解得即可；

【详解】因为且在上单调递增，

则，

所以，解得，即，

故选：B

6．如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（    ）

A．是奇数且

B．是偶数，是奇数，且

C．是偶数，是奇数，且

D．是奇数，且

【答案】B

【分析】由幂函数性质及时两图象的位置关系可知；由图象可知为偶函数，进而确定的特征.

【详解】由幂函数性质可知：与恒过点，即在第一象限的交点为，

当时，，则；

又图象关于轴对称，为偶函数，，

又互质，为偶数，为奇数.

故选：B.

7．若a＝log54，b＝log43，c，则（　　）

A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a

【答案】C

【分析】利用，得，可比较b、c，通过作商，结合基本不等式可比较a、b．

【详解】因为，所以，所以，即，

又，所以

因为

所以

即

所以

故选：C．

8．一种药在病人血液中的量不少于才有效，而低于病人就有危险．现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过 （    ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，结果精确到）

A．小时 B．小时 C．小时 D．小时

【答案】A

【分析】根据已知关系式可得不等式，结合对数运算法则解不等式即可求得结果.

【详解】设应在病人注射这种药小时后再向病人的血液补充这种药，

则，整理可得：，

，

，，

，即应在用药小时后再向病人的血液补充这种药.

故选：A.

9．若是奇函数，且在上是增函数，又，则的解是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】将所求不等式转化为且；根据奇偶性和已知区间单调性可求得且在上是增函数，利用单调性可解得不等式的解集.

【详解】由得：且；

为奇函数，，又在上是增函数，

在上是增函数，

当时，；

的解集为.

故选：B.

10．若函数的值域为，则的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先利用换元思想转化为的值域问题，再利用二次函数的图象、指数不等式进行求解.

【详解】设，则，且，

由题意，得的值域为，

且在上单调递减，在上单调递增，

对于A：当时，，

显然，

即选项A错误；

对于B：当时，，

显然，

即选项B错误；

对于C：当时，，

显然，

即选项C错误；

对于D：当时，，

则由二次函数的性质，得：

当或，，

当时，，

即选项D正确.

故选：D.

二、多选题

11．下列结论中正确的是（    ）

A．终边经过点的角的集合是；

B．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是；

C．若是第三象限角，则是第二象限角，为第一或第二象限角；

D．，，则

【答案】ABD

【分析】直接以角的表示方法，象限角的概念，集合间的关系求出结果.

【详解】A.终边经过点的角的终边在第一象限平分线上，故角的集合是，所以A正确；

B. 将表的分针拨慢10分钟，按逆时针旋转，则分针转过的角度为，对应弧度数是，所以B正确；

C.因为是第三象限角，即，所以，当为奇数时，是第四象限角，当为偶数时，是第二象限角；，所以的终边位置在第一或第二象限或轴非负半轴，所以C错误；

D. ，

，易知，所以D正确；

故选：ABD.

12．若函数的定义域为，值域为，则正整数a的值可能是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】BC

【分析】画出函数的图象，结合值域可得实数的取值范围，从而可得正确的选项.

【详解】函数的图象如图所示：

因为函数在上的值域为，结合图象可得，

结合a是正整数，所以BC正确.

故选： BC.

13．若10a＝4，10b＝25，则（    ）

A．a+b＝2 B．b﹣a＝1 C．ab＞8lg22 D．b﹣a＜lg6

【答案】AC

【分析】由指对互化求出，进而利用对数的运算法则求出a+b和b﹣a的值，可判断ABD，且，可判断C.

【详解】解：∵，∴，∴，所以选项A正确；，选项BD错误；所以C正确.

故选：AC.

14．已知函数，．记，则下列关于函数的说法正确的是（    ）

A．当时，

B．函数的最小值为

C．函数在上单调递减

D．若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则或

【答案】ABD

【分析】得到函数，作出其图象逐项判断.

【详解】由题意得：，其图象如图所示：

由图象知：当时，，故A正确；

函数的最小值为，故正确；

函数在上单调递增，故错误；

方程恰有两个不相等的实数根，则或，故正确；

故选：ABD

15．已知，若存在，使得，则下列结论正确的有（    ）

A．实数的取值范围为 B．

C． D．的最大值为

【答案】AC

【分析】画出的图象，数形结合得到，且，关于，，再运用基本不等式求出的最大值，得到AC正确.

【详解】画出的图象，如下：

要想与有三个不同的交点，需要，A正确；

由题意可知，且关于对称，

故，B错误，C正确；

则，解得：，当且仅当时等号成立，

但，故等号取不到，

故，D错误，

故选：AC.

16．已知实数x､y､z满足.则下列关系式中可能成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】对等式进行变形，构造函数，画出函数的图象，利用数形结合思想进行求解即可.

【详解】设，，则，，，画出函数图象，如图所示：当时，；当时，；当时，；

故选：ABC

三、填空题

17．函数的递减区间是__________.

【答案】

【分析】先求出函数的定义域，然后再根据函数和函数的单调性进行判断后可得答案．

【详解】由，可得，解得，

∴函数的定义域为．

又函数在上单调递增，

函数在上单调递增，在上单调递减，

∴函数在上单调递增，在上单调递减．

∴函数 的递减区间是．

故答案为：．

18．与终边相同的最小正角是______．

【答案】

【分析】用诱导公式（一）转化即可.

【详解】因为，所以与终边相同的最小正角是.

故答案为：.

19．已知，，则_______．

【答案】

【分析】计算得到，，利用换底公式计算得到答案.

【详解】，故，，，.

故答案为：

20．古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为，内弧线的长为，连接外弧与内弧的两端的线段均为，则该扇形的中心角的弧度数为____________．

【答案】

【分析】根据扇形弧长与扇形的中心角的弧度数为的关系，可求得，进而可得该扇形的中心角的弧度数.

【详解】解：如图，

依题意可得弧的长为，弧的长为，设扇形的中心角的弧度数为

则，则，即．

因为，所以，所以该扇形的中心角的弧度数．

故答案为：.

21．已知函数的值域是R，则实数的最大值是___________；

【答案】8

【分析】根据条件可得在，上的最小值小于或等于3，判断其单调性列出不等式得出的范围．

【详解】当时，．

因为的值域为，则当时，．

当时，，

故在，上单调递增，

，即，

解得，即的最大值为8．

故答案为：8．

22．已知定义在R上的偶函数和奇函数满足，且对任意的，恒成立，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】由，再根据函数的奇偶性得，两式联立可得，再由参变分离法得在上恒成立，判断函数的单调性与最小值，即可求解.

【详解】函数满足①，所以，由函数的奇偶性可得，②，由①②得，，因为对任意的，恒成立，即对任意的，恒成立，令，则函数在上为减函数，所以，所以.

故答案为：

四、解答题

23．已知函数的图象过点，.

(1)求函数的解析式；

(2)若函数在区间上有零点，求整数的值；

【答案】(1)；

(2)2.

【分析】（1）由已知可得，解得，即可求出、;

（2）由已知可推得在区间上有解，等价于函数与在上有交点.求出函数的值域即可得到的范围，再结合定义域以及可得的值.

【详解】（1）函数的图像过点，

所以，解得，

所以函数的解析式为，

所以.

（2）由（1）可知在上有零点.

令，得，所以在区间上有解，

即在区间上有解.

设，则函数在区间上有零点，

等价于函数与在上有交点.

，且.

则.

因为，且，所以，，.

所以，所以，所以在上单调递增.

又，，所以有时，，

所以在上的值域为.

函数图象如下图

由图象可知，当时，函数与在上有交点.

即当时，函数在区间上有零点.

又恒成立，所以恒成立，则.

又，所以的取值为2.

24．已知二次函数对一切实数x∈R，都有成立，且，，(b，c∈R)．

(1)求的解析式；

(2)记函数在[1,1]上的最大值为M，最小值为m，若≤4，求b的最大值．

【答案】(1)；

(2)2.

【分析】（1）由题设可得二次函数的顶点坐标为，设，结合已知求参数，即可得解析式．

（2）求出对称轴为，通过对称轴与已知区间的位置关系求解函数的最值，通过≤4，求解b的范围，得到实数b的最大值．

【详解】（1）对一切实数x∈R都有成立，则二次函数的对称轴为x＝1，

又，则二次函数的顶点坐标为，

设，则，

∴.

（2）∵，开口向上且对称轴为，

1、当，即b≥2时，在 [1,1]上单调递增，

∴＝b+c+1，＝b+c+1，则＝2b≤4，得b≤2，此时b＝2；

2、当，即0≤b＜2时，在上递减，在上递增，

∴，＝b+c+1，

则，整理得b2+4b12≤0，解得6≤b≤2，此时0≤b＜2；

3、当，即2≤b＜0时，在上递减，在上递增，

∴，，

则，整理得b24b12≤0，解得2≤b≤6，此时2≤b＜0；

4、当，即b＜2时，函数在 [1,1]上单调递减，

∴＝b+c+1，＝b+c+1，则＝2b≤4，解得b≥2，此时b∈∅．

综上，2≤b≤2，则实数b的最大值为2．

25．某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y（百万元）与年投资成本x（百万元）变化的一组数据：

给出以下3个函数模型：①；②（，且）；③（，且）.

(1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式；

(2)试判断该企业年利润不低于6百万元时，该企业是否要考虑转型.

【答案】(1)可用③来描述x，y之间的关系，

(2)该企业要考虑转型.

【分析】（1）由年利润是随着投资成本的递增而递增，可知①不符合，把，分别代入②③，求出函数解析式，再把代入所求的解析式中，若，则选择此模型；

（2）由题知，则x>65，再由 与比较，可作出判断.

【详解】（1）由表格中的数据可知，年利润是随着投资成本的递增而递增，而①是单调递减，所以不符合题意；

将，代入（，且），

得，解得，∴.

当时，，不符合题意；

将，代入（，且），

得，解得，∴.

当时，；当时，.

故可用③来描述x，y之间的关系.

（2）由题知，解得.

∵年利润，∴该企业要考虑转型.