2022-2023学年湖北省襄阳市第一中学高二上学期12月线上考试数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省襄阳市第一中学高二上学期12月线上考试数学试题

一、单选题

1．若直线与直线垂直，则（    ）

A． B．6 C． D．

【答案】B

【分析】由两条直线垂直的条件即可得解.

【详解】因为直线与直线垂直，

所以，得，

所以.

故选：B.

2．抛物线的准线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据抛物线方程确定p的值，进而确定准线方程.

【详解】由，得，

故所求准线方程为,

故选：C.

3．等差数列中，若，则（    ）

A．42 B．45 C．48 D．51

【答案】C

【分析】结合等差数列的性质求得正确答案.

【详解】依题意是等差数列，

，

.

故选：C

4．已知圆和点，则过点的圆的切线方程为（    ）

A．

B．或

C．

D．或

【答案】D

【分析】当斜率存在时，设切线方程为，然后利用圆心到直线的距离等于半径列方程求出斜率，当斜率不存在时，满足题意

【详解】当斜率存在时，设切线方程为，

则，解得，

所以切线方程为，即.

当斜率不存在时，切线方程为.

综上，过点的圆的切线方程为或，

故选：D

5．若抛物线的焦点与椭圆的上焦点重合，则的值为（    ）

A．2 B．4 C． D．

【答案】A

【分析】先求出椭圆的焦点坐标，进而求出抛物线的焦点坐标，然后求得答案.

【详解】由题意，对椭圆，则c=1，则椭圆的上焦点坐标为，抛物线的焦点坐标为，所以，解得.

故选：A.

6．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【分析】利用空间向量运算求得正确答案.

【详解】

，

所以.

故选：A

7．已知椭圆（）的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】椭圆的中点弦问题，点差法构造弦中点坐标与的关系，计算离心率.

【详解】设直线与椭圆相交于，两点，弦的中点坐标是，

则，，直线的斜率.

由，得，

，，

故椭圆的离心率.

故选：B.

8．打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，高为，则喉部（最细处）的直径为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】画出塔筒的轴截面；以为喉部对应点，以所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系；设出双曲线的方程，根据题意写出点的坐标；把点的坐标代入双曲线方程即可求出答案.

【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以为喉部对应点，以所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，设与分别为上，下底面对应点.

由题意可知，设，则，

设双曲线的方程为，因为双曲线的离心率为，所以.

所以方程可化简为，

将和的坐标代入式可得，解得，

则喉部的直径为.

故选：D.

二、多选题

9．关于空间向量，以下说法正确的是（    ）

A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面；

B．若对空间中任意一点，有，则四点共面；

C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底；

D．若，则是锐角.

【答案】ABC

【分析】对选项A，根据空间向量共面定理即可判断A正确；对选项B，根据即可判断B正确；对选项C，根据题意得到则也共面，即可判断C正确，对选项D，根据，得到，即可判断D错误.

【详解】对选项A，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，

则这三个向量一定共面，故A正确.

对选项B，因为，且，

所以四点共面.

对选项C，因为是空间的一组基底，所以不共面，

则也不共面，，

即也是空间的一组基底，故C正确；

对选项D，若，则，故D错误.

故选：ABC

10．已知数列的前项和，以下说法正确的是（    ）

A．数列是等差数列

B．当且仅当时，取最小值

C．若，则

D．若，则n的最小值为12

【答案】BCD

【分析】对于A，根据与之间的关系，求得数列的通项公式，可得答案；对于B，整理的解析式，根据二次函数的性质，可得答案；对于C，由题意，建立方程，可得答案；对于D，由题意，建立不等式，结合二次函数的性质，可得答案.

【详解】当时，；当时，；

则，，由，故A错误；

，所以当且仅当时取最小值，故B正确；

若，则，故，故C正确；

令，由，则，

即当时，，而当时，，所以若，则的最小值为12，故D正确.

故选：BCD.

11．若抛物线y2＝2px(p>0)上的动点Q到其焦点的距离的最小值为1，则（    ）

A．

B．准线方程为

C．当时的面积为

D．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，则点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是

【答案】BCD

【分析】结合抛物线上的点到焦点的距离的最小值求得，进而求得准线方程，结合抛物线的定义来求得的面积，结合抛物线的定义来求得到、的距离之和的最小值.

【详解】到焦点的距离等于到准线的距离，到焦点距离最小时，到准线的距离最小，

即为原点时，到焦点的距离最小为，也即，抛物线的准线方程为，A选项错误，B选项正确.

抛物线方程为，

对于C选项，，则，，

，C选项正确.

对于D选项，直线为抛物线的准线，所以到的距离等于到焦点的距离.

所以到直线和直线的距离之和的最小值为“到直线的距离”，

焦点，则最小值为，D选项正确.

故选：BCD

12．如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面，，为中点，为线段上一点（    ）．

A．若，则

B．若为中点，则

C．若，则四棱锥外接球表面积为

D．直线与平面所成的角的余弦值的取值范围是

【答案】ABD

【分析】AD利用向量法进行判断，B利用等腰三角形的性质进行判断，C求四棱锥外接球表面积来进行判断.

【详解】B选项，，由于平面平面且交线为，，

所以平面，所以，所以，

当是中点时，，B选项正确.

C选项，即，由于平面平面且交线为，

所以平面，所以，而，即两两相互垂直，

所以四棱锥外接球的直径，

所以外接球的表面积为，C选项错误.

以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则，

，

A选项，当时，三角形是等边三角形，

所以，

，所以，所以A选项正确.

D选项，设，其中，则，

，，

设平面的法向量为，

则，故可设，

设直线与平面所成的角为，

则

，

由于线面角的范围是，所以，

将代入上式并化简得，

由于，，

所以，所以D选项正确.

故选：ABD

三、填空题

13．已知平面，则与平面所成角为__________．

【答案】##

【分析】先由题意可知平面的一个法向量为，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可求得与平面所成角.

【详解】因为平面，

所以平面的一个法向量为，

又因为，设与平面所成角为，则，

所以，

因为，所以.

故答案为：.

14．已知直线过点，在轴和轴上的截距互为相反数，则直线的方程为______

【答案】或

【分析】考虑直线是否经过原点，若不经过原点，利用直线的截距式方程求解；若经过原点，利用直线的点斜式方程写出即可.

【详解】若直线经过原点，则其斜率为，故其方程为：，即；

若直线不经过原点，设其方程为，又其过点，则，

解得，故直线方程为：，整理可得：；

综上所述，满足题意的直线方程为：或.

故答案为：或.

15．已知椭圆的左，右焦点分别为，离心率为，点为上一点，若的面积为7，且内切圆的半径为，则的标准方程为__________．

【答案】

【分析】结合椭圆的定义、离心率以及的面积求得，进而求得，从而求得椭圆的标准方程.

【详解】根据椭圆的定义有，

的周长为，由于的面积为7，且内切圆的半径为，

所以，而椭圆的离心率，

所以，所以，

所以椭圆的标准方程为.

故答案为：

四、双空题

16．已知数列满足，且，则______，数列的通项_____．

【答案】         

【分析】判断出是等差数列，由此求得，利用累加法求得.

【详解】依题意，

则，

所以数列是以为首项，公差为的等差数列，

所以，，

当时，，

，

也符合上式，

所以.

故答案为：；

五、解答题

17．已知圆O：与圆C：．

(1)在①，②这两个条件中任选一个，填在下面的横线上，并解答．

若______，判断这两个圆的位置关系；

(2)若，求直线被圆C截得的弦长．

注：若第（1）问选择两个条件分别作答，按第一个作答计分．

【答案】(1)选①:外离；选②：相切;

(2)

【分析】(1)不论选①还是选②，都要首先算出两圆的圆心距，然后和两圆的半径之和或差进行比较即可；

(2)根据点到直线的距离公式，先计算圆心到直线的距离，然后利用圆心距、半径、弦长的一半之间的关系求解.

【详解】（1）选①．

圆O的圆心为，半径为l；

圆C的圆心为，半径为．

因为两圆的圆心距为，

且两圆的半径之和为，所以两圆外离．

选②．

圆O的圆心为，半径为1．圆C的圆心为，半径为2．

因为两圆的圆心距为．且两圆的半径之和为，

所以两圆外切．

（2）因为点C到直线的距离，

所以直线被圆C截得的弦长为．

18．求解下列问题：

(1)已知等差数列的前三项分别为，求该数列的通项公式；

(2)已知是等差数列的前项和，，设为数列的前项和，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件求得等差数列的首项和公差，从而求得.

（2）根据已知条件求得等差数列的首项和公差，从而求得，进而求得.

【详解】（1）设该等差数列的公差为．因为等差数列的前三项分别为，

所以，解得，

所以，所以．

（2）设等差数列的公差为，由题意，即，

解得，故，故，

，所以数列是首项为，公差为的等差数列，

故.

19．已知△ABC的一个顶点是，∠ABC，∠ACB的平分线方程分别为x=0，y=x.

(1)求直线BC的方程；

(2)求直线AB的方程．

【答案】(1)y=2x+5；

(2)2x+y-5=0.

【分析】（1）根据对称性求出直线BC经过的两点，再求出直线BC方程作答.

（2）由（1）结合对称性求出直线AB的斜率，再利用直线的点斜式方程求解作答.

【详解】（1）因为∠ABC，∠ACB的平分线方程分别是x=0，y=x，则AB与BC关于x=0对称，AC与BC关于y=x对称，

关于x=0的对称点在直线BC上，设关于y=x的对称点为，

由解得，即有，显然点在直线BC上，

于是得直线BC：，即，

所以直线BC的方程为.

（2）因为直线AB与直线BC关于x=0对称，则直线AB与BC的斜率互为相反数，

由（1）知直线BC的斜率为2，则直线AB的斜率为-2，

直线AB：，即，

所以直线AB的方程为.

20．已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)，，

【分析】（1）首先求新数列的首项和公差，再写出通项公式；

（2）分和，两种情况，去绝对值后分别求数列的和.

【详解】（1）由条件可知，，

新数列的公差，

所以；

（2），解得：，，

，解得：，，

当，，时，

，

当，时，

所以，.

21．如图所示，在梯形ABCD中，，四边形ACFE为矩形，且平面，．

(1)求证：平面BCF；

(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角的正弦值为．

【答案】(1)证明见解析

(2)当点与点重合时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角的正弦值为

【分析】（1）主要证明以及，从而证明线面垂直即可.

（2）首先建立空间坐标，写出点的坐标，设出的值，利用空间向量求平面MAB与平面FCB所成的锐二面角，从而求解.

【详解】（1）因为四边形为梯形，，则，

又因为，所以，则，即.

又因为平面，，则，

因为、都在平面内，，所以面.

（2）如图所示，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.

设，，，

则，、、.

，，

设为平面的法向量，则有

可得，取，则.

由题可知，是平面的一个法向量，所以，

因为，所以当时，，即.

所以当点与点重合时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角的正弦值为.

22．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的直线交于，两点（其中点位于第一象限），设点是抛物线上的一点，且满足，连接，.

(1)求抛物线的标准方程及其准线方程；

(2)记，的面积分别为，，求的最小值及此时点的坐标.

【答案】(1)，

(2)，

【分析】（1）根据抛物线焦点坐标直接可得抛物线方程；

（2）设直线，联立方程组可得，再根据点坐标确定点及点到直线的距离，可求，，结合基本不等式，可得的最小值与点的坐标.

【详解】（1）由抛物线焦点，可得，

所以抛物线方程为，准线方程为，

（2）设直线，点，，

联立，得，

即，

所以，

且，

又，

，的方程为，即点，

点到直线的距离，

又，，，

所以，

，

又，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，此时点为，

即的最小值为，此时点的坐标为.

【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；

(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．