2021-2022学年内蒙古巴彦淖尔市临河区第三中学高二下学期第一次月考数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年内蒙古巴彦淖尔市临河区第三中学高二下学期第一次月考数学（文）试题

一、单选题

1．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】由特称命题的否定为全称命题：将变并否定原结论，即可写出题设命题的否定.

【详解】由特称命题的否定为全称命题，知：题设命题的否定为，.

故选：C

2．“”是“”成立的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由题得或，进而得答案．

【详解】解：由得或，

则“”是“”成立的必要不充分条件，

故选B．

【点睛】本题考查充要条件，属于基础题．

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用导数的运算法则可求得，进而可求得的值.

【详解】由题意，得，则，

故选：D．

4．点的直角坐标为，那么它的极坐标可表示为

A．  B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用直角坐标和极坐标互化公式直接求解．

【详解】∵点P的直角坐标为（﹣，），

∴ρ==2，

tanθ==﹣1，

∴θ=．

∴点P的极坐标为（2，）．

故选B．

【点睛】本题考查点的极坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直角坐标和极坐标互化公式的合理运用．

5．已知曲线通过伸缩变换后得到的曲线方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意可得：，代入方程，整理即可得解.

【详解】由伸缩变换

可得：，代入方程，

可得：，

所以所求曲线方程为，

故选：A.

【点睛】本题考查了伸缩变化，根据变换前后的关系代入是解此类问题的关键，属于基础题.

6．已知曲线的极坐标方程为，则其直角坐标方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题设得，根据极坐标与直角坐标公式写出其直角坐标方程即可.

【详解】由题设，，又，，

∴，即.

故选：C

7．圆的参数方程为（    ）

A．，（为参数） B．，（为参数）

C．，（为参数） D．，（为参数）

【答案】C

【分析】由参数方程与直角坐标方程的互化方法化简即可

【详解】由可得，

因为，所以，即（为参数）.

故选：C

8．参数方程（为参数）化为普通方程为

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据消去参数.

【详解】易知，，

参数方程化成普通方程为.

故选A.

【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化.

9．定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ）

A．函数在区间单调递增 B．函数在区间单调递减

C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极小值

【答案】D

【分析】根据导函数图象可知，的单调性，进而可得的极值，即可得出答案．

【详解】解：根据导函数图象可知，

在区间，上，，单调递减，

在上，，单调递增，

所以在处取得极小值，没有极大值，

故正确，错误，

故选：．

10． 在极坐标系中，点 到圆 的圆心的距离为

A．2 B． C． D．

【答案】D

【详解】由可知，点(2，)的直角坐标为(1，)，圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，则圆心(1,0)与点(1，)之间的距离为.

点睛：解决极坐标和参数方程下的解析几何问题，一般可把极坐标方程为化直角坐标方程，把参数方程化为普通方程，然后利用解析几何知识求解．

11．在极坐标系中，两条曲线，的交点为，则

A．4 B． C．2 D．1

【答案】C

【详解】联立极坐标方程：可得：，，

利用勾股定理可得.故选C.

12．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】计算，然后等价于在（0，+∞）由2个不同的实数根，然后计算即可.

【详解】的定义域是（0，+∞），

，

若函数有两个不同的极值点，

则在（0，+∞）由2个不同的实数根，

故，解得：，

故选：D.

【点睛】本题考查根据函数极值点个数求参，考查计算能力以及思维转变能力，属基础题.

二、填空题

13．命题“若，则”的否命题为______．

【答案】若，则

【详解】试题分析：否命题是对命题的条件和结论同时否定，同时否定和即可.

命题“若，则”的否命题为:若，则

【解析】四种命题.

14．曲线在点处的切线方程为__________（用直线方程一般式）.

【答案】

【分析】根据导数的几何意义结合直线的点斜式方程运算求解

【详解】∵，则，

∴，

因为切点为，斜率，

则切线方程为，即.

故答案为：

15．直线的极坐标系方程为，则直线的直角坐标系方程为__________.

【答案】

【分析】根据得到直线的斜率，然后写直线方程即可.

【详解】因为，所以，直线的直角坐标方程为，即.

故答案为：.

16．函数是上的单调函数，则的范围是________.

【答案】.

【分析】由题意分析可知，原函数递增，只需使恒成立，然后求解的取值范围.

【详解】令，则，

若函数是的单调函数，则函数只能是上的增函数，

所以，恒成立，

故，得.

故答案为：.

【点睛】本题考查导数与函数单调性，考查已知函数的单调性求解参数的取值范围，较简单.

三、解答题

17．已知函数．

(1)求函数的图象在点处的切线方程；

(2)求函数的极值．

【答案】(1)

(2)极大值为12，极小值-15

【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可.

（2）利用导数求解极值即可.

【详解】（1），

， 切点为，  

故切线方程为，即；

（2）令，得或

列表：

函数的极大值为，

函数的极小值为.

18．已知关于x的方程有实数根.

（1）若q为真命题，求实数a的取值范围；

（2）若为假命题，为真命题，求实数a的取值范围.

【答案】(1) .(2) .

【分析】（1）若q为真命题，则得到，从而得出结果；

（2）若为假命题，为真命题，故得到P是真命题，为假命题，从而解决问题.

【详解】解：（1）因为q为真命题，

即关于x的方程有实数根，

故，

解得.

（2）由为假命题，为真命题，

所以P是真命题，为假命题，

所以，

解得.

【点睛】本题考查了常用逻辑用语“或”“且”“非”的问题，解题的关键是要能结合二次方程根的情况、二次函数的图像将其中的参数在真命题的情况下求解出来.

19．已知函数

（1）求的单调区间；

（2）若函数在上的最大值为2，求实数的值.

【答案】（1）单调递增区间为，；单调递减区间为；（2）.

【解析】（1）由得导函数，由得增区间，由得减区间；

（2）由（1）的单调性，可得最大值，从而得参数值．

【详解】本题考查利用导数研究函数性质.

解析（1），

令得或，

当或时，，当时，，

所以的单调递增区间为，；单调递减区间为.

（2）由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，

又因为，，

所以，

解得.

20．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ＝3．

（1）求直线l的直角坐标方程；

（2）求曲线C上的点到直线l距离的最大值．

【答案】（1）（2）

【分析】（1）根据转化公式可知，代入求得直线的直角坐标方程；（2）设曲线上的任意一点的坐标为，代入点到直线的距离，利用三角函数的范围求得的最大值.

【详解】解：（1）直线l的直角坐标方程为.

（2）设曲线C上点的坐标为，则曲线C上的点到直线l的距离

，当时，d取得最大值，

所以.

【点睛】本题考查了直线的极坐标方程和直角坐标方程的转化，以及考查坐标变换和点到直线的距离公式，利用三角函数求函数的最值，属于简单题型.

21．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．

(1)求圆的直角坐标方程；

(2)设圆与直线交于点，，若点的坐标为（4，2），求．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用互化公式，即可将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）根据题意，直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得，设是方程的两个根，根据韦达定理和直线参数方程中的几何意义，可知，即可得出结果.

【详解】（1）解：将代入，

得，即，

所以圆的直角坐标方程为.

（2）解：由题可知，直线的参数方程为（为参数），

将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，

即，由，

设是方程的两个根，则，，

又因为直线经过点，所以.

22．已知函数，其中.

(1)当时，求的极值；

(2)当时，证明：；

【答案】(1)极小值为，无极大值

(2)证明见解析

【分析】（1）首先求函数的导数，分和可得到函数的单调区间，即可求函数的极值；

（2）原命题可转化成，设，利用导数求出的最大值即可求证

【详解】（1）易得，函数的定义域为，

当时，，

令，解得，

由，得，由，得，

在上单调递减，在上单调递增，

的极小值为，无极大值；

（2）当时，，

要证明，即证，即，

设，则，

令得，，当时，，当时，，

所以在上递增，在上递减，

所以为极大值点，也为最大值点，所以，

即，故.

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．