2021-2022学年上海市第六十中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年上海市第六十中学高二上学期期中数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上海市第六十中学高二上学期期中数学试题 一、填空题1．“点A在直线上”用符号语言可以表示为_____________.【答案】【分析】根据立体几何中，符号语言的表示规则直接写出答案.【详解】A在直线上，即故答案为：2．直线与直线为两条异面直线，已知直线，那么直线与直线的位置关系为________．【答案】异面或相交【分析】根据空间中直线与直线的位置关系即可得出结果.【详解】由题意可知，与直线为两条异面直线，若，由平行直线的传递性可知，直线与直线不可能平行，故直线与直线的位置关系为异面或相交.故答案为：异面或相交3．圆台的轴截面上､下底边长分别为2和4，母线长为2，则圆台的体积是___________.【答案】【分析】根据圆台的轴截面的长度关系，可得到，代入圆台的体积公式，即得解【详解】如图所示，不妨设圆台的轴截面为，过分别作于由于圆台的轴截面为等腰梯形，因此由圆台的体积公式，其中，故答案为：4．正方体的棱长为2，是的中点，则到平面的距离______．【答案】【分析】利用线面平行，将点到平面的距离，转化为到平面的距离来求解.【详解】由于，所以平面，因此到平面的距离等于到平面的距离.连接，交点为，由于，所以平面，所以为所求点到面的距离，由正方形的性质可知.故答案为：【点睛】本小题主要考查空间点到面的距离，考查线面平行的判定，考查空间想象能力，属于基础题.5．正三角形的边长为，如图，为其水平放置的直观图，则的面积为__________.【答案】【分析】根据平面图形的直观图画法，求出，再由斜二测的特点求出高，即可求解【详解】根据斜二测画法基本原理，应将高长度变为原来的一半，再向右倾斜45°得到右图，横长不发生变化，则，，则，则的面积为故答案为：【点睛】本题考查平面图形斜二测的基本画法及对应边长的求法，属于基础题6．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的底面积是________【答案】【分析】根据展开后半圆的弧长等于原圆锥底面的周长求解即可.【详解】由题,展开图半圆的弧长为.设圆锥的底面半径为则,故.故底面积为.故答案为：【点睛】本题主要考查了圆锥侧面展开图中的运算,注意展开后半扇形的弧长等于原圆锥底面的周长计算.属于基础题.7．若两个平行平面距离为1，其中一个平面截半径为5的球得到的截面面积为，则另一平面截球得到的截面面积为_________【答案】或【分析】将题中问题具体化，然后抓住以下两点求解：①用平面去截一个球，截面必为圆；②球心的半径，截面圆圆心的半径以及球心与截面圆圆心的连线构成一直角三角形.【详解】用平面去截一个球，截面必为圆，作出过球心，截面圆圆心的截面.设平面截半径为5的球得到的截面为圆，且圆面积为，则圆的半径为，，设平面平行平面，且两平面的距离为1，记平面截半径为5的球得到的截面为圆，半径为，当有，解得或.当时，，圆的面积为；当时，，圆的面积为.综上可知，所求截面面积为或.故答案为：或.8．刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也，甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图为一个刍瓷的五面体，其中四边形为矩形，和都是等腰三角形，，，若，且，则异面直线与所成角的大小为______.【答案】π3##60°【分析】作平行四边形，得到，异面直线与所成角为，求出的边长求角即可.【详解】设，在上取点满足，如图，故且，故四边形是平行四边形，故异面直线与所成角为或其补角 ，，故为等边三角形故故答案为：9．有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为（）．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中，全面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是_______．【答案】【分析】由题意拼成一个三棱柱,分3种情况求出表面积；拼成一个四棱柱,3种情况分别求出表面积,然后求出a的范围.【详解】①拼成一个三棱柱时,有三种情况：将上下底面对接,其全面积为：；3a边可以合在一起时, ；4a边合在一起时， .②拼成一个四棱柱,有三种情况：就是分别让边长为3a,4a,5a所在的侧面重合,其上下底面积之和都是，但侧面积分别为:, ,，显然，三个是四棱柱中全面积最小的值为： .由题意得：，解得：.故答案为 ：【点睛】（1）求解以由多个几何体构成组合体的体积的关键是确定组合体的形状以及组合体图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．10．一矩形的一边在轴上，另两个顶点在函数的图象上，则此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值为___________.【答案】【分析】设矩形在上的两个项点坐标为，利用是关于的方程的两根，求得，然后同体积公式得，结合二次函数知识得最大值．【详解】设矩形在上的两个项点坐标为，由，知是方程的两个根.，，，，当且仅当时，.故答案为：． 二、单选题11．设，为空间的两条直线，，为空间的两个平面，下列命题中真命题的个数为（    ）（1）若，，则；（2）若，，则；（3）若，，则；（4）若，，则．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】利用立体几何中直线与平面的平行与垂直关系进行判断即可.【详解】（1）若，，则与相交或平行，故（1）不正确；（2）若，，则，故（2）正确；（3）若，，则与平交、平行或异面，故（3）不正确；（4）若，，则，故（4）正确；综上：（2）（4）正确，（1）（3）不正确，故真命题的个数为2.故选：B．12．对关于的一元二次方程，通过掷骰子确定其中的系数，第一次出现的数作为，第二次出现的数作为（一颗骰子有6个面，分别刻有1、2，3、4、5、6六个数，每次扰掷，各数出现的可能性相同），那么，这个方程有解的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】记事件 “方程有实根”．由，得：，利用列举法得到事件包含的基本事件的个数，又总的基本事件共个，由古典概型概率公式求出方程有解的概率．【详解】记事件 “方程有实根”．由，得：又基本事件共个，其中事件包含19个基本事件，列举如下：，，，，，，,,，，，，，，，，，，，所以，故选：C.13．平行六面体的六个面都是菱形，那么点在面上的射影一定是的________心，点在面上的射影一定是的________心（    ）A．外心、重心 B．内心、垂心 C．外心、垂心 D．内心、重心【答案】C【解析】将三棱锥、三棱锥分离出来单独分析，根据线段长度以及线线关系证明的射影点分别是和的哪一种心.【详解】三棱锥如下图所示：记在面上的射影点为，连接，因为，又平面，所以，所以，所以为的外心；三棱锥如下图所示：记在面上的射影点为，连接， 因为，且四边形是菱形，所以，所以，又因为平面，所以，所以平面，又因为平面，所以，同理可知：，所以为的垂心，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过的射影点去证明线段长度的关系、线段位置的关系，借助线面垂直的定义和判定定理去分析解答问题. 三、解答题14．在一只袋子中装有若干个红玻璃球和绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为，取得两个绿玻璃球的概率为.(1)求取得两个同颜色的玻璃球的概率；(2)求至少取得一个红玻璃球的概率.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用互斥事件的概率公式求解即可；（2）利用间接法及对立事件的概率公式即可得解.【详解】（1）设“取得两个红玻璃球”为事件，“取得两个绿玻璃球”为事件，则，，即事件互斥，所以取得两个同颜色的玻璃球的概率为.（2）至少取得一个红玻璃球的的对立事件为事件，所以其概率为.15．如图，在长方体中，，；（1）求证：平面平面；（2）求与平面所成的角．【答案】（1）证明见详解；（2）【分析】（1）根据面面平行的判定定理，直接证明，即可得出结论成立；（2）过点作于点，证明平面，得到为与平面所成的角，再由题中数据，即可求出结果.【详解】（1）因为在长方体中，易知：且，且，所以四边形为平行四边形，四边形也是平行四边形；因此，；又平面，平面；平面，平面；所以平面；平面；又平面，平面，，所以平面平面；（2）过点作于点， 因为在长方体中，易知：平面，所以，又平面，平面，所以平面，因此，为与平面所成的角；又在长方体中，，，因此，所以；即与平面所成的角为.【点睛】本题主要考查面面垂直的证明，以及求直线与平面所成的角，熟记面面垂直的判定定理，以及直线与平面所成角的几何求法即可，属于常考题型.16．一块边长为的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个“无盖”的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器．(1)请将加工制作出来的这个“无盖”的正三棱柱形容器的容积表示为关于的函数，并标明其定义域；(2)若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”．（i）请指出此时的值（不用说明理由），并求出这个封闭的正三棱柱形容器的侧面积；（ii）若还需要在该正三棱柱形容器中放入一个金属球体，试求该金属球体的最大体积．【答案】(1)(2)（i），；（ii） 【分析】（1）利用表示出三棱柱的高和底面三角形面积，根据棱柱体积公式可得函数关系式；（2）（i）利用减掉的三个四边形面积之和等于棱柱底面三角形面积可构造方程求得，进而根据棱柱侧面积求法可求得；（ii）根据底面三角形内切圆半径和棱柱的高可确定当球的直径与棱柱高相等时，球的体积最大，由此可得所求球的半径，利用球的体积公式可求得结果.【详解】（1）如图所示，，又，，即三棱柱的高，又棱柱底面积，三棱柱容器的体积，即所求函数关系式为.（2）（i）减掉的三个四边形材料面积之和为，则，解得：，此时对应棱柱的高为，三棱柱容器的侧面积；（ii）正三棱柱容器底面三角形内切圆半径为，又该正三棱柱的高为，若球的体积最大，则直径应与三棱柱的高相等，球的半径，球体的最大体积.17．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，母线长为4，，OA、OB是底面半径，且，M为线段AB的中点，如图所示.（1）求圆锥的表面积；（2）求异面直线PM与OB所成的角的大小.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据题意，求得圆锥底面圆的半径，根据圆锥表面积公式代入数值求解即可；（2）取中点，联结、，与所成角即为所求，求得各边的长，可得该三角形为直角三角形，，所以异面直线与所成的角即．【详解】（1）圆锥的顶点为P，底面圆心为O，母线长为4，，，.（2）取OA中点E，连接PE、EM，E为OA的中点，M为AB的中点，，与所成角为所求，，，为线段的中点， ， ，在中，，在中，，，，，，，答：异面直线PM与OB所成的角的大小为.【点睛】本题考查圆锥的表面积公式，以及异面直线所成角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．18．如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形（及其内部）以边所在直线为旋转轴顺时针旋转得到的，是的中点．(1)求此几何体的体积；(2)设是上的一点，且，求的大小；(3)当，时，求二面角的大小．【答案】(1)(2)(3)． 【分析】(1)由题意可知该几何体为圆柱的三分之一，根据计算圆柱体积即可得出此几何体的体积；(2)利用线面垂直的判定定理可得平面，然后结合几何体的结构特征计算可得的大小；(3)建立空间直角坐标系，用空间向量法即可求出二面角的余弦值，从而可得二面角的大小.【详解】（1）此几何体的体积；（2）因为，，，平面，，所以平面， 又平面， 所以，又，因此（3）以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得，故，，， 设是平面的一个法向量．由，得，取，则，得平面的一个法向量． 设是平面的一个法向量．由，得，取，则，得平面的一个法向量． 所以．因此二面角的大小为．