2022-2023学年北京大学附属中学高二上学期期末复习（二）数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年北京大学附属中学高二上学期期末复习（二）数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京大学附属中学高二上学期期末复习（二）数学试题 一、单选题1．已知，，(i为虚数单位)，则（    ）A． B．1 C． D．3【答案】C【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数的值.【详解】，利用复数相等的充分必要条件可得：.故选：C.2．已知直线，下列说法中正确的是（    ）A．直线的倾斜角为 B．是直线的一个方向向量C．直线的斜率为 D．是直线的一个法向量【答案】A【分析】先根据方程得斜率，进而得到直线的倾斜角，以及方向向量和方法向量，从而判断各选项.【详解】因为直线，所以斜率，倾斜角为，故A正确，C不正确；因为直线经过点，，所以直线的一个方向向量为，因向量与不共线，故不是直线的一个方向向量，故B不正确；又因为，所以不是直线的一个法向量，故D不正确.故选：A.3．下列曲线中离心率为的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据标准方程逐个求出离心率，即可得到.【详解】对于A：中，则，所以A错误；对于B：中，则，所以B正确；对于C：中，则，所以C错误；对于D：中，所以D错误；故选：B4．设，则“a=1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件,【答案】C【详解】若直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行，则,且解得故选点睛：这是一道关于充分条件和必要条件判断的题目．考查的主要是充分条件，必要条件，熟练掌握掌握充分条件和必要条件的判定方法．本题中，利用直线平行的条件是解决问题的关键．5．若直线：经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则下列说法中错误的是（    ）A．抛物线的焦点为 B．C．抛物线的准线为 D．【答案】C【分析】求出抛物线的焦点坐标、准线方程，将焦点坐标代入直线方程求出实数，将直线方程与抛物线方程联立，求出焦点弦长，依次判断选项即可.【详解】设抛物线方程为（），则焦点坐标为，准线方程为，∵抛物线方程为，∴，，∴抛物线的焦点坐标，准线方程为，将焦点代入直线的方程：得，∴，∴直线的方程为，设直线与抛物线两交点坐标为，，点，到准线的距离分别为，，由消去，化简得（），∴，∴由抛物线的定义，，，∴.对于A，抛物线的焦点坐标，选项A正确；对于B，实数的值为，选项B正确；对于C，抛物线的准线方程为，选项C错误；对于D，弦长，选项D正确，故以上说法中，错误的是C选项.故选：C.6．下列关于圆：的说法中正确的个数为（    ）①圆的圆心为，半径为②直线：与圆相交③圆与圆：相交④过点作圆的切线，切线方程为A． B． C． D．【答案】C【分析】对于①，根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径，可知①正确；对于②，根据圆心到直线的距离小于半径，可知②正确；对于③，根据圆心距与两圆半径之间的关系，可知③正确；对于④，点在圆，可知点在圆，求出切线的斜率，根据点斜式可求出切线方程，可知④不正确.【详解】对于①，由可知，圆心为，半径为，故①正确；对于②，圆心到直线的距离，所以直线：与圆相交，故②正确；对于③，圆：的圆心，半径为，因为圆心距，且，所以圆与圆：相交，故③正确；对于④，因为点在圆：上，所以点为切点，所以切点与圆心的连线的斜率为，所以切线的斜率为，所以切线方程为：，即，故④不正确.故选：C7．公元前 4 世纪， 古希腊数学家梅内克缪斯利用垂直于母线的平面去截顶角分别为锐角、钝角和直角的圆锥，发现了三种圆锥曲线.之后，数学家亚理士塔欧、欧几里得、阿波罗尼斯等都对圆锥曲线进行了深 入的研究.直到 3 世纪末，帕普斯才在其《数学汇编》中首次证明：与定点和定直线的距离成定比的点的轨迹是圆锥曲线， 定比小于、大于和等于 1 分别对应椭圆、双曲线和抛物线.已知是平面内两个定点， 且 |AB| = 4，则下列关于轨迹的说法中错误的是（    ）A．到两点距离相等的点的轨迹是直线B．到两点距离之比等于 2 的点的轨迹是圆C．到两点距离之和等于 5 的点的轨迹是椭圆D．到两点距离之差等于 3 的点的轨迹是双曲线【答案】D【分析】判断到两点距离相等的点的轨迹是连线的垂直平分线，判断A;建立平面直角坐标系，求出动点的轨迹方程，可判断B;根据椭圆以及双曲线的定义可判断.【详解】对于A，到两点距离相等的点的轨迹是连线的垂直平分线，正确；对于B，以为x轴，的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则，设动点，由题意知,即 ，化简为，即此时点的轨迹为圆，B正确；对于C，不妨设动点P到两点距离之和等于5 ，即，由于，故到两点距离之和等于 5 的点的轨迹是以为焦点的椭圆，C正确；对于D，设动点P到两点距离之差等于3 ，即,由于，故到两点距离之差等于3 的点的轨迹是双曲线靠近B侧的一支，D错误，故选：D8．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，若点P满足，则点P到直线AB的距离为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】过作平面于点，过作于点，连接，则即为所求，【详解】解：如图，过作平面于点，过作于点，连接，则即为所求，因为满足，所以，，，所以，故选：．【点睛】本题考查了求点到直线的距离的方法，属于基础题．9．已知椭圆：和双曲线：有公共的焦点F1 (−3， 0)，F2 (3， 0)，点P是C1 与C2在第一象限内的交点， 则下列说法中错误的个数为（    ）①椭圆的短轴长为；②双曲线的虚轴长为；③双曲线C2 的离心率恰好为椭圆C1 离心率的两倍；④PF1F2 是一个以PF2为底的等腰三角形.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根据椭圆：和双曲线：有公共的焦点F1 (−3， 0)，F2 (3， 0)，求得m,n,再逐项判断.【详解】解：因为椭圆：和双曲线：有公共的焦点F1 (−3， 0)，F2 (3， 0)，所以，解得，则①椭圆的短轴长为，故正确；②双曲线的虚轴长为，故正确；③双曲线C2的离心率，椭圆C1离心率的，故正确；④由，解得，则，，所以PF1F2是一个以PF2为底的等腰三角形，故正确.故选：A10．已知动圆C经过点，并且与直线相切，若直线与圆C最多有一个公共点，则圆C的面积（    ）A．有最小值为 B．有最大值为C．有最小值为 D．有最大值为【答案】D【分析】已知直线与圆C最多有一个公共点，则直线l与圆相切或相离，而圆C经过点，并且与直线相切，则直线l与圆相切时圆最大，直线l与圆相离时圆最小，数形结合求出半径即可得到圆C的面积.【详解】解：已知直线与圆C最多有一个公共点，则直线l与圆相切或相离，当直线l与圆相离时圆最小，满足经过点，并且与直线相切的圆如图所示，此时以原点O为圆心，1为半径，圆C的面积，故A，C选项错误；当直线l与圆相切时圆最大，满足经过点，并且与直线相切的圆如图所示，此时直线l与直线为圆的公切线，则圆心需在两直线所成角的角平分线上，因为直线l的斜率为，则倾斜角为，所以角平分线的倾斜角为，斜率为，联立，可得所以角平分线的方程为，即，恰好点在角平分线上，则，所以，解得，圆C的面积，故B选项错误；故选：D. 二、填空题11．若直线l与直线2x-y-1=0垂直，且不过第一象限，试写出一个直线l的方程：________.【答案】（答案不唯一）【详解】由直线与直线垂直，设直线的方程为∵直线不经过第一象限∴∴可令，即直线的方程为故答案为（答案不唯一）.12．与双曲线有相同焦点，且长轴长为 6 的椭圆标准方程为_________ .【答案】【分析】双曲线化为标准形式，求出焦点，即可由共焦点进一步求出椭圆短半轴，即可求得标准方程.【详解】即，焦点为，椭圆长轴，即，故短半轴，故椭圆方程为.故答案为：.13．已知椭圆：（）中，，为椭圆的左、右焦点，，为椭圆的上、下顶点，若四边形是一个正方形，则椭圆的离心率为__________.【答案】【分析】四边形是个正方形，则其对角线与相等，即，由此结合，，的关系，即可求出离心率.【详解】∵四边形是一个正方形，∴正方形的对角线相等，，∵焦距，短轴长，∴即，∴，∴离心率.故答案为：.14．过点作圆的切线，则切线方程为__________.【答案】或【分析】当斜率不存在时，检验即可；当斜率存在时，设出直线，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可.【详解】圆的圆心为，半径过点的直线，当斜率不存在时，直线方程为，符合与圆相切；当斜率存在时，设直线方程为，即，则，解得，此时直线方程为.故答案为：或.15．若点到直线的距离小于，则在下列曲线中：①；②；③；④；与直线一定有公共点的曲线的序号是_________ .(写出你认为正确的所有序号)【答案】①②③④【分析】将问题转化为直线必经过圆的内的点，分别作出每个选项与圆的图象，根据包含关系可确定结果.【详解】若点到直线的距离小于，则直线必经过以为圆心，为半径的圆的内部，即直线必经过圆的内的点；对于①，作出与图象如下图所示，则过圆内的点的所有直线与都有交点，①正确；对于②，作出与图象如下图所示，则过圆内的点的所有直线与都有交点，②正确；对于③，作出与图象如下图所示，则过圆内的点的所有直线与都有交点，③正确；对于④，作出与图象如下图所示，则过圆内的点的所有直线与都有交点，④正确.故答案为：①②③④.【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥曲线中各种曲线图象之间的关系，解题关键是能够将问题转化为经过圆内部的点的直线与曲线永远有公共点，从而根据曲线方程作出图象，根据图象包含关系来确定结果. 三、双空题16．已知为坐标原点， 抛物线的焦点在轴上， 且过点，为抛物线上一点，  ， 则抛物线的标准方程为___________，  的面积为_____________.【答案】          【分析】设抛物线方程为，将点代入求出，可得抛物线的标准方程；设，根据以及抛物线的定义求出和，根据三角形的面积公式可求出结果.【详解】依题意，设抛物线方程为，因为抛物线过点，所以，所以，所以抛物线的标准方程为：.由可知，准线方程为：，设，则，因为，所以，即.所以，所以，所以的面积为：.故答案为：；. 四、解答题17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，分别为棱的中点，.(1)求证：平面；(2)求直线MN与平面PCD所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】(1)证明线面平行，用线面平行的判定定理，在面内找一条直线与平行；(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角．【详解】(1)在四棱锥中，取的中点，连接、，因为是的中点，所以，且．又因为底面是正方形，是的中点，所以，且，所以且，所以四边形是平行四边形．所以．由于平面，平面，所以平面. (2)因为底面是正方形，所以．又因为平面，所以可以以点为坐标原点，、、分别为、、轴，如图建立空间直角坐标系，则，，,，,．，设平面的法向量为，有：即，令，则， 所以．，设直线与平面所成角为，有：．所以直线与平面所成角的正弦值为．【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何位置关系的证明，通常用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．18．已知椭圆的左、右顶点分别为，且，离心率为，为坐标原点.(1)求椭圆的方程；(2)设是椭圆上不同于的一点，直线与直线分别交于点 .证明：以线段为直径作圆被轴截得的弦长为定值，并求出这个定值.【答案】(1)(2)证明见解析，定值为 【分析】（1）根据、离心率和椭圆之间关系可直接求得结果；（2）设，可得直线方程，进而确定两点坐标，设椭圆右焦点为，利用平面向量数量积的坐标运算可证得，可知以为直径的圆过点，由此可确定线段为直径作圆被轴截得的弦长.【详解】（1）由题意知：，解得：，又离心率，，，椭圆的方程为：.（2）由（1）得：，，设，则，即；直线，直线，点纵坐标，点纵坐标，即，，又椭圆右焦点为，，，，即，以为直径的圆过点，又圆心横坐标为，以为直径的圆被轴截得的弦长为.即以线段为直径作圆被轴截得的弦长为定值.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解，本题求解定值问题的关键是能够利用平面向量数量积的坐标运算说明椭圆右焦点即为所求圆与轴的其中的一个交点，由圆的对称性可确定定值.19．已知抛物线，为坐标原点，过焦点的直线与抛物线交于不同两点.(1)记和的面积分别为，若，求直线的方程；(2)判断在轴上是否存在点，使得四边形为矩形，并说明理由.【答案】(1)；(2)不存在，理由见详解. 【分析】（1）设直线方程为，，利用韦达定理及计算可得答案；（2）假设存在点，使得四边形为矩形，根据抛物线的性质推出不成立，则可得不存在点，使得四边形为矩形.【详解】（1）设直线方程为，联立，消去得，得①，②，又因为，则③由①②③解得，即直线的方程为，即（2）假设存在点，使得四边形为矩形，则互相平分所以线段的中点在上，则轴，此时则不成立.故在轴上不存在点，使得四边形为矩形