2022-2023学年广东省佛山市顺德区第一中学高二上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广东省佛山市顺德区第一中学高二上学期期末数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省佛山市顺德区第一中学高二上学期期末数学试题

一、单选题
1．已知直线，，，则m值为（    ）．
A． B． C．3 D．10
【答案】C
【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可；
【详解】解：因为，且，所以，解得；
故选：C
2．在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意列出所有可能的结果，然后利用古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.
【详解】设三位同学分别为，他们的学号分别为，
用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如表示同学拿到号，同学拿到号，同学拿到号.
三人可能拿到的卡片结果为：，共6种，
其中满足题意的结果有，共3种，
结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：.
故选：C.
【点睛】方法点睛：
有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．
(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏．
(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
3．己知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ）
A．36 B．25 C．20 D．16
【答案】B
【分析】根据椭圆定义可得，利用基本不等式可得结果.
【详解】由椭圆易知，根据椭圆定义可知，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以，即的最大值为.
故选：B.
4．如图，在三棱锥S-ABC中，E，F分别为SA，BC的中点，点G在EF上，且满足，若，，，则（    ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用空间向量基本定理结合已知条件求解
【详解】因为，所以，
因为E，F分别为SA，BC的中点，
所以



,
故选：B
5．从装有2个红球，3个白球的不透明袋子中任取3个球，若事件“所取的3个球中至少有1个红球”，则事件的对立事件是（    ）
A．1个白球2个红球 B．3个都是白球
C．2个白球1个红球 D．至少有一个红球
【答案】B
【分析】至少有一个的反面是至多有0个，即全不是，由此可得对立事件．
【详解】3个球中至少有1个红球的对立事件是3个球中至多有0个红球，即没有红球或全是白球．
故选：B．
6．在正三棱锥中，，且，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为（    ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解
【详解】因为，
所以两两垂直，
所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，
所以,
因为M，N分别为BC，AD的中点，
所以，
所以，
设直线AM和CN所成的角为，则
,
所以直线AM和CN夹角的余弦值为，
故选：B

7．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用表示，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.
【详解】依题意，直线都过点，如图，有，，

设，则，显然有，，
，因此，，在，，
即，解得，即，令双曲线半焦距为c，在中，，即，解得，
所以E的离心率为.
故选：B
【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：①定义法，通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；
②齐次式法，由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；
③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
8．已知椭圆（）与双曲线（，）具有相同焦点、，是它们的一个交点，则，记椭圆去双曲线的离心率分别为、，则的最小值是（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】由椭圆和双曲线的定义以及余弦定理解得，再由“1”的代换和基本不等式求得结果.
【详解】设P为第一象限的交点，
则由椭圆和双曲线的定义可知，
∴在△中由余弦定理得：
即：
∴，即：
∴
当且仅当，即时，取得最小值为3.
故选：B.

二、多选题
9．某地认真贯彻落实中央十九大精神和各项宏观调控政策，经济运行平稳增长，民生保障持续加强，惠民富民成效显著，城镇居民收入稳步增长，收入结构稳中趋优，据当地统计局发布的数据，现将8月份至12月份当地的人均月收入增长率如图（一）与人均月收入绘制成如图（二）所示的不完整的条形统计图，现给出如下信息，其中正确的信息为（    ）

A．10月份人均月收入增长率为
B．11月份人均月收入约为1570元
C．12月份人均月收入有所下降
D．从图中可知该地9月份至12月份这四个月与8月份相比人均月收入均得到提高
【答案】AC
【分析】由8月份至12月份当地的人均月收入增长率折线图与人均月收入条形统计图直接判断求解．
【详解】由8月份至12月份当地的人均月收入增长率折线图与人均月收入条形统计图，知：
对于A，根据图（一），10月份人均月收入增长率为，故A正确；
对于B，11月份人均月收入约为元，故B错误；
对于C，由图（一）、图（二）均可得出收入下降，故C正确；
对于D，从图中易知该地人均收入8、9月一样，故D错误；
故选：AC
10．（多选）设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次．记事件｛第一个四面体向下的一面出现偶数｝；事件｛第二个四面体向下的一面出现奇数｝；事件｛两个四面体向下的一面同时出现奇数或者同时出现偶数｝，则（    ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】根据古典概型计算概率可判断A，根据独立事件的概率计算可判断B，由A、B、C三事件不能同时发生可判断C，由A中计算可知D正确.
【详解】由题意知，，
所以，故A正确；
又事件两两独立，所以,，所以，故B正确；
事件不可能同时发生，故，故C错误；
，故D正确．
故选：ABD
11．已知a>0，圆C：，则（    ）
A．存在3个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切
B．存在2个不同的a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段相等
C．存在2个不同的a，使得圆C过坐标原点
D．存在唯一的a，使得圆C的面积被直线平分
【答案】ACD
【分析】本题考查圆的方程与性质以及函数图象．
当圆心纵(横)坐标的绝对值等于半径时，圆与x(y)轴相切，可判定A；当圆心到x轴或y轴距离相等时，在轴上截得的线段相等，可判定B；对于C，只要圆心到原点距离等于半径即可；当直线过圆心时，平分圆的面积，可判定D.
【详解】由条件可知，圆C的半径为1，圆心坐标为（a，lna），即圆心在曲线y＝ln x上运动．
对于A，当a＝1时，圆C与y轴相切，当，即a＝e或时，圆C与x轴相切，所以满足要求的a有3个，A正确；
对于B，若圆C在x轴和y轴上截得的线段相等，则圆心到x轴和y轴的距离相等，故圆心在上，又圆心在y＝lnx上，作图可知曲线y＝lnx与y＝x没有公共点，与y＝-x有一个交点，所以满足要求的a仅有一个，B错误；

对于C，若圆C过坐标原点，则，如下图可知，曲线y＝lnx与有两个交点，所以满足要求的a有2个，C正确；

对于D，若圆C的面积被直线平分，则直线经过圆心（a，ln a），计算可知曲线y＝lnx在x＝e处的切线恰好为，即满足要求的a仅有一个，故D正确．
故选：ACD.
【点睛】已知圆C：，有如下结论：
(1)当或时，圆C与y轴或x轴相切；
(2)当时，圆心到两轴距离相等，若与两轴相交，则截得的线段相等；
(3)若圆C过原点，则；
(4)若直线过圆心，则平分圆的面积.
12．如图，在棱长为1的正方体中，M为棱的中点，P为线段上的动点（包含B，两个端点），则下列说法正确的是（    ）．

A．平面截正方体所得截面图形的面积为
B．存在一点P，使得直线与直线DP的公垂线段长为
C．直线DP与平面所成角的最小值为
D．当P从B移动到的过程中，直线DP与直线MB的夹角由小变大
【答案】ABD
【分析】取棱中点，作出截面并求其面积判断A；建立空间直角坐标系，借助空间向量计算判断B，C，D作答.
【详解】对于A，取棱中点E，连接，如图，
  
正方体中，对角面是矩形，M为棱的中点，则，
，，等腰梯形是平面截正方体所得截面，
等腰梯形的高，，
因此，平面截正方体所得截面图形的面积为，A正确；
以点D为原点，射线分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，

，，
因P为线段上的动点，设，，点，，
对于B，令与、都垂直的向量为，则，
令，得，，异面直线与直线DP的距离，
而，解得，点P为的中点，即存在一点P，使得直线与直线DP的公垂线段长为，B正确；
，令平面的法向量为，则，
令，得，令直线DP与平面所成角为，
则，显然最小值为，C不正确；
对于D，令直线DP与直线MB的夹角为，则
，
当时，，当时，对递减，
即随t的增大而减小，而锐角随的增大而递减，
因此，当P从B移动到的过程中，直线DP与直线MB的夹角由小变大，D正确.
故选：ABD
【点睛】思路点睛：涉及几何体中动点按规律移动问题，可以建立空间直角坐标系，利用空间向量的运算解决.

三、填空题
13．甲射击命中目标的概率是，乙射击命中目标的概率是，甲与乙射击相互独立，则甲乙两人中恰有一人命中目标的概率是______
【答案】
【分析】甲乙两人中恰有一人命中目标有两种情况：一是甲命中乙没有命中，另一个是甲没有命中乙命中，而甲与乙射击相互独立，所以由互斥事件的概率公式和独立事件的概率公式求解即可
【详解】记“甲射击命中目标”，“乙射击命中目标”，
则由题意得甲乙两人中恰有一人命中目标的概率是


故答案为：
14．已知是双曲线：（，）的左焦点，A为右顶点，是双曲线上的点，轴，若，则双曲线的两条渐进线的夹角的正弦值为______．
【答案】##0.96
【分析】由双曲线的定义及性质构建齐次方程求得双曲线离心率，即可求出渐进线的斜率，由两直线的夹角公式及切弦互换即可求两渐进线的夹角的正弦值.
【详解】由题可得，设，∵轴，则，代入双曲线方程可得，
由得，即，解得或（舍）.
故渐近线斜率，
由两直线的夹角公式得两渐进线的夹角满足，故两条渐进线的夹角的正弦值为.
故答案为：
15．已知动点到的距离是到的距离的2倍，记动点的轨迹为，直线：与交于，两点，若（点为坐标原点，表示面积），则___________．
【答案】
【分析】由题意求出的轨迹方程，与直线方程联立，再由面积关系求解
【详解】设，则，
整理得．
设，．联立
整理得，
故①，②．
又，故③．
联立①②③，解得．
故答案为：

四、双空题
16．已知为坐标原点，圆：，圆上到直线的距离等于1的点最多有______个，过直线上任一点作圆的切线，切点为A，，则四边形面积的最小值为______．
【答案】     2    
【分析】第一问，求得圆心到直线的距离，由这个距离可得直线与圆的位置关系，从而得圆上有多少个点到直线的距离等于1，第二问，由切线长公式得题中四边形面积，从而只要求得的最小值即可得，先求得圆心到直线的距离，再让变化，求得最小值，从而可得面积最小值．
【详解】由题意圆心，它到已知直线的距离为，圆半径为1，
时，圆上有两个点到直线的距离等于1，时，圆上只有一个点到直线的距离等于1，因此最多有2个点满足题意，
由切线长公式得，，
在直线上运动时，
，
又时，取得最小值2，
所以的最小值是．
故答案为：2；．

五、解答题
17．A，B，C，D四位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：先将四位同学平均分成两组，每组进行一场比赛决出胜负，获胜者进入胜者组，失败者进入败者组.胜者组和败者组中再各自进行一场比赛，胜者组中获胜者获得冠军，失败者获得亚军，败者组中获胜者获得季军.设每场比赛双方获胜的概率都为.
(1)求同学A获得冠军的概率；
(2)求A，B两人能够在比赛中相遇的概率.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）结合概率的乘法公式即可求出结果；
（2）结合概率的乘法公式以及加法公式即可求出结果.
【详解】（1）同学A获得冠军的概率为.
（2）A，B两人在第一轮相遇的概率为，
A，B两人在败者组相遇的概率为，
A，B两人在胜者组相遇的概率为，
所以A，B两人能够在比赛中相遇的概率为.
18．已知平面内两点A(8,-6),B(2,2).
(1)求过点P(2,-3)且与直线AB平行的直线l的方程;
(2)一束光线从B点射向(1)中直线l，若反射光线过点A,求反射光线所在的直线方程.
【答案】(1) 直线l的方程4x+3y+1=0,(2) 11x+27y+74=0.
【详解】试题分析：（1）根据平行得出斜率，从而由点斜式求出直线方程；
（2）求得点B关于直线l的对称点B'的坐标，然后求出斜率，再由点斜式求出
试题解析：（1）由点斜式 ∴直线l的方程4x+3y+1=0
（2）设B（2，2）关于直线l的对称点B'（m，n）∴
解得 ∴ ；
由点斜式可得 整理得11x+27y+74=0；
19．已知椭圆的焦距为2，且过点．不过原点的直线与椭圆交于不同的，两点，且直线，，的斜率依次成等比数列．
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，方程为，或，或，或．

【分析】（1）依题意可得，解出、，即可求出椭圆方程；
（2）设直线为，设，，依题意可得，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，即可求出，若四边形为平行四边形，则，再代入椭圆方程，即可求出，从而得解；
【详解】（1）解：由题意可得，                                    
解得，                                                            
故椭圆方程为．
（2）解：设直线为，设，，
因为直线，，的斜率依次成等比数列，
所以．         
联立直线与椭圆的方程，得，
所以，
，，                                            
，
所以，得．                                           
存在点，使得四边形为平行四边形．理由如下：                             
四边形为平行四边形，则点，
点在椭圆上，则                                     
因为，
，           
所以，即，                                                   
当，时，满足，
所以直线的方程为或或或．
20．如图，在棱长为1的正方体中，，分别是棱，上的的动点，且．

(1)求证：；
(2)当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的正切值．
【答案】(1)证明见解析
(2)平面与平面的夹角的正切值为

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用直线方向向量的数量积即可证明线线垂直；
（2）根据三棱锥的体积取得最大值，确定的位置，然后求得平面与平面的法向量，即可得平面夹角的余弦值，从而得正切值.
【详解】（1）证明：如下图，由正方体，则以为原点，为轴建立空间直角坐标系，

则
由于，设，其中，则
所以，则
故；
（2）解：要使三棱锥的体积取得最大值，只要的面积最大即可，
由题意知，
则根据二次函数的性质可得，当时，即分别为中点时的面积最大，则，
设平面的法向量为，
又，，则，令得，
又正方体中平面，所以为平面的一个法向量，
所以，则，
则
所以平面与平面的夹角的正切值为.
21．已知动圆过定点，且与直线相切，其中．
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)设是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】(1)；
(2)当时，直线恒过定点，当时，直线恒过定点；详见解析.

【分析】（1）根据抛物线定义即得；
（2）由题意知直线的斜率存在，从而设方程为，联立抛物线方程利用韦达定理法结合条件可表示出，进而即得.
【详解】（1）由题可知动圆圆心到定点的距离与定直线的距离相等，
由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，
所以动圆圆心的轨迹方程为；
（2）设，由题意得(否则)，且，
由题意知直线的斜率存在，从而设的方程为，显然，
将与联立消去，得，
由韦达定理知，，
因为为定值，
当时，
，
所以，
所以直线的方程为，即，
所以直线恒过定点，
当时，则，可得，直线的方程为，恒过定点，
综上，当时，直线恒过定点，当时，直线恒过定点.
22．在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA2B1B是菱形，AB⊥AC，平面平面，平面A1B1C1与平面AB1C的交线为l.

(1)证明：；
(2)已知∠ABB1=60°，AB=AC=2.l上是否存在点P，使A1B与平面ABP所成角为30°?若存在，求B1P的长度；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)l上不存在点P，使与平面所成角为；理由见解析

【分析】（1）通过证明平面来证得.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法列方程，由此判断出点不存在.
【详解】（1）因为四边形为菱形，所以，
平面平面，平面平面平面，
所以平面，
又平面，所以，
又，所以平面，
又平面，所以.
（2）l上不存在点P，使与平面所成角为．
理由如下：
取中点D，连接，因为，所以，
又，所以为等边三角形，所以，
因为，所以，
又平面平面，平面平面平面，
所以平面，
以A为原点，以方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，
，
．
因为平面平面，所以平面，
又平面，平面平面，所以，
假设l上存在一点P，使与平面所成角为，设，
则，所以，
设为平面的一个法向量，
则，即，
令，则，可取，
又，所以，
即，此方程无解，
因此l上不存在点P，使与平面所成角为．