2022-2023学年黑龙江省实验中学高二上学期期中数学试题（解析版）

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2022-2023学年黑龙江省实验中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知双曲线的虚轴长为，则实数的值为（    ）A． B．2 C．4 D．【答案】C【分析】由双曲线方程可知虚轴在轴上，从而确定的值．【详解】由题意虚轴在轴上，则，则．故选：C．2．已知直线：，：，若，则实数的值为（    ）A．或 B． C． D．或【答案】A【分析】由两直线平行，得，解得，然后检验两直线是否重合即可.【详解】直线：，：，，则，解得，经经验，当时，两直线均不重合，故实数的值为或．故选：A．3．已知数列满足，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据递推关系逐步代入可发现数列是一个周期数列，即可得出答案．【详解】，，，，，，，数列是以为周期的周期数列．又，．故选：B．4．若过点的直线与圆有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是A． B．C． D．【答案】B【详解】试题分析：设直线过点，直线的倾斜角为，当时，直线的斜率，则直线的方程可写成： 即：，由直线与圆有公共点，得 ，，解得，，故选B．【解析】1.点到直线的距离；2.直线与圆的位置关系.5．已知直线与椭圆相交于，两点，椭圆的两个焦点分别是，，线段的中点为，则的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据线段的中点为，利用点差法求得，再利用三角形面积公式求解.【详解】解：设，则，所以，即，解得，所以，故选：C6．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到999大约需要的天数为（    ）（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……参考数据：）A．42 B．56 C．63 D．70【答案】C【分析】设第n轮感染的人数为，则数列是，公比的等比数列，利用等比数列求和公式，结合，即可得到答案；【详解】设第n轮感染的人数为，则数列是，公比的等比数列，由，可得，解得，两边取对数得，则，所以，故需要的天数约为.故选：C7．已知P是双曲线上的动点，Q是圆上的动点，则P，Q两点间的最短距离为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出圆的圆心坐标，求出圆心到的距离，再求得出答案.【详解】P是双曲线上的动点，Q是圆上的动点，由已知圆的圆心为，半径为2，P，Q两点间的最短距离就是P到圆的圆心的距离的最小值减去半径，设，可知，即，可得，当且仅当时取等号，所以P，Q两点间的最短距离为：，故选：A.8．已知圆和两点，，若圆C上存在点P，使得，则m的取值范围是（    ）A．[8，64] B．[9，64]C．[8，49] D．[9，49]【答案】D【分析】设P的坐标为，由可得P的轨迹为，又因为点P在圆C上，所以两圆有公共点，从而求解即可.【详解】解：设P的坐标为，因为，，，所以，化简得，又因为点P在圆上，所以圆与圆C有公共点，所以且，解得，故选：D．二、多选题9．已知曲线：，、为实数，则下列说法错误的是（    ）A．曲线可能表示两条直线B．若，则是椭圆，长轴长为C．若，则是圆，半径为D．若，则是双曲线，渐近线方程为【答案】BD【分析】根据曲线的方程，结合直线，椭圆，双曲线的标准方程及其性质判断即可．【详解】当，时，曲线：即为，表示两条直线，选项A正确；当，曲线：可化为，此时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，长轴长为，选项B错误；若，曲线：可化为，表示半径为的圆，选项C正确；若，则是双曲线，其渐近线方程为，选项D错误．故选：BD．10．已知抛物线的焦点为，､是抛物线上两点，则下列结论正确的是（    ）A．点的坐标为B．若直线过点，则C．若，则的最小值为D．若，则线段的中点到轴的距离为【答案】BD【分析】由抛物线方程确定焦点坐标知A错误；直线与抛物线方程联立，利用韦达定理可知B正确；根据过焦点可知最小值为通径长，知C错误；利用抛物线焦半径公式，结合中点坐标公式可求得点纵坐标，知D正确.【详解】对于A，由抛物线方程知其焦点在轴上，焦点为，A错误；对于B，由题意知：直线斜率存在，设其方程为：，由得：，，B正确；对于C，若，则直线过焦点，的最小值为抛物线的通径长，C错误；对于D，，，即点纵坐标为，到轴的距离为，D正确.故选：BD.11．已知等差数列，为其前项和，下列说法正确的是（    ）A．若，公差，则B．若，则C．若前项中，偶数项的和与奇数项的和之比为∶，且，则公差为D．若，，则的最小值是【答案】ACD【分析】对于A：由为等差数列，且，，得，再由等差数列的前项和，即可判断A是否正确；对于B：由为等差数列，得，，，为等差数列，设，由，得，进而可得，即可判断B是否正确；对于C：根据题意可得奇数项的和为，偶数项的和为，进而可得，设，，由，解得，即可判断C是否正确；对于D：由为等差数列，且，得，当，，，，时，，当时，，即可判断D是否正确．【详解】对于A：因为为等差数列，且，，所以，，所以，故A正确；对于B：因为为等差数列，所以，，，为等差数列，设，由，得，所以，，，为等差数列，所以，，所以，故B错误；对于C：奇数项的和为，偶数项的和为，因为前项中，偶数项的和与奇数项的和之比为∶，所以，设，，因为，所以，即，所以，所以，所以等差数列的公差为，故C正确；对于D：因为为等差数列，且，则所以，即，所以当，，，，时，；当时，，所以的最小值为，故D正确，故选：ACD．12．已知椭圆的左，右焦点分别为，，椭圆的上顶点和右顶点分别为，，若为椭圆上任意一点，且，关于坐标原点对称，则（    ）A．B．椭圆上存在无数个点，使得C．直线和的斜率之积为D．面积的最大值为【答案】BCD【分析】四边形为平行四边形，再利用定义可判断选项A；由椭圆的性质可得，利用得出，可判断选项B，设，则，求出，又点在椭圆上联立可判断选项C；设，根据的范围，利用可判断选项D．【详解】对于选项A，连接，，，，则四边形为平行四边形，则，即选项A错误；对于选项B，由椭圆的性质可得，又，即，即，即椭圆上存在无数个点，使得，即选项B正确，对于选项C，设，则，又，则，又，则，所以，即选项C正确；对于选项D，设，则，则，即选项D正确；故选：BCD．【点睛】关键点思路点睛：解题的关键点是熟练掌握椭圆的性质，同时还要掌握直线的斜率以及三角形的面积等知识，考查学生的运算求解能力，属中档题．三、填空题13．已知抛物线：的焦点为，过且垂直于轴的直线与相交于两点，若为坐标原点的面积为，则______．【答案】【分析】首先得到抛物线的焦点坐标，将代入抛物线方程，即可求出，再根据面积公式计算可得．【详解】抛物线：的焦点为，将代入可得，即有，所以，所以，解得．故答案为：．14．已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足，，成等差数列，则______．【答案】【分析】设等比数列的公比为，由题意得，即，求出，结合通项公式即可得出答案．【详解】设等比数列的公比为，，，成等差数列，，则，即，解得或(不合题意，舍去)，．故答案为：．15．已知直线：，抛物线上一动点到直线的距离为，则的最小值是______．【答案】1【分析】先求得抛物线的准线，过点作直线的垂线，交直线于点，过点作准线的分别交准线，轴于点，再结合图象，以及抛物线的定义，即可求解．【详解】抛物线，抛物线的准线为，焦点，过点作直线的垂线交于点，如图所示：由抛物线的定义可知，，则，当，，三点共线时，取得最小值，即取得最小值，． 故答案为：．16．已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．【答案】【分析】联立直线和渐近线方程，可求出点，再根据可求得点，最后根据点在双曲线上，即可解出离心率．【详解】过且斜率为的直线，渐近线，联立，得，由，得而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.故答案为：．四、解答题17．在数列中，，，．(1)设，求证：数列是等比数列；(2)求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用，化简可知，进而可知数列是首项为、公比为的等比数列；（2）通过可知，进而利用分组求和法计算即得结论．【详解】（1）证明：又数列是首项为、公比为的等比数列；（2）由（1）可知，即， .18．已知圆C过，两点，且圆心C在直线上．(1)求圆C的方程；(2)若直线l过点且被圆C截得的线段长为，求l的方程．【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）设圆C的圆心为，半径为r，结合题意得，解出a、b、r的值，将其值代入圆的方程即可得答案．（2）根据题意，分类讨论，斜率存在和斜率不存在两种情况：①当直线l的斜率不存在时，满足题意，②当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为：，由点到直线的距离公式求得k的值，即可得直线的方程，综合2种情况即可得答案．【详解】（1）根据题意，设圆C的圆心为，半径为r，则圆C方程为，又圆C过，，且圆心C在直线上，∴，解得：，，，故圆C的方程为．（2）根据题意，设直线l与圆C交与MN两点，则，设D是线段MN的中点，则，∴，．在中，可得．当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为，满足题意，当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，则直线l为：，即．由C到直线MN的距离公式：，解得：，此时直线l的方程为．综上，所求直线l的方程为或．19．设是等差数列，是等比数列，且．(1)求与的通项公式；(2)设的前n项和为，求证：；(3)求．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；（2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证；（3）先求得，进而由并项求和可得，再结合错位相减法可得解.【详解】（1）设公差为d，公比为，则，由可得（舍去），所以；（2）证明：因为所以要证，即证，即证，即证，而显然成立，所以；（3）因为，所以，设所以，则，作差得，所以，所以.20．已知抛物线：上一点到焦点的距离为，(1)求抛物线的方程；(2)若在第一象限，不过的直线与抛物线相交于，两点，且直线，的斜率之积为，证明：直线过定点．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）根据抛物线的定义和已知条件可求出的值，即可求得抛物线的方程；（2）设出直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得，，再由整理，由此得到，直线的方程为，从而求得定点．【详解】（1）由抛物线方程可得，准线方程为，因为抛物线：上一点到焦点的距离为，所以，解得，所以抛物线的方程为：；（2）抛物线的方程为，在抛物线上，所以，因为在第一象限，故，所以，依题意，直线的斜率存在若不存在，则与抛物线只有一个交点，设直线的方程为，，，联立，消去，得，则，，，因为直线，的斜率之积为1，即，故，整理得，所以，得，故直线的方程为，所以直线过定点．21．已知双曲线的一条渐近线方程为，且双曲线C过点.(1)求双曲线C的标准方程；(2)过点M 的直线与双曲线C的左右支分别交于A、B两点，是否存在直线AB，使得成立，若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)存在，直线AB的方程为：或.【分析】(1)根据给定的渐近线方程及所过的点列式计算作答.(2)假定存在符合条件的直线AB，设出其方程，借助弦长公式计算判断作答.【详解】（1）依题意，，解得：，所以双曲线C的标准方程是.（2）假定存在直线AB，使得成立，显然不垂直于y轴，否则，设直线：，由消去x并整理得：，因直线与双曲线C的左右支分别交于A、B两点，设，于是得，则有，即或，因此，，解得，所以存在直线AB，使得成立，此时，直线AB的方程为：或.22．已知定点，圆，为圆上的动点，线段的垂直平分线和半径相交于点．(1)求点的轨迹的方程；(2)过的直线与轨迹交于两点，若点满足，求四边形面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用定义法求轨迹方程；（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，得，利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出的面积最大值，从而可得四边形面积的最大值．【详解】（1）因为为圆上的动点，线段的垂直平分线和半径相交于点，所以由线段垂直平分线的性质可得：，所以， 故点的轨迹是以、为焦点的椭圆．其中，，所以，故点的轨迹的方程为．（2）由题意，设直线的方程为，，，联立，整理可得：，所以， 所以点到直线的距离， 所以当且仅当，即时等号成立， 因为所以所以四边形面积的最大值为．