2022-2023学年江苏省连云港市海头高级中学高二上学期第三次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省连云港市海头高级中学高二上学期第三次月考数学试题

一、单选题

1．过两点和的直线在y轴上的截距为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出直线方程，令x＝0，即可求出纵截距.

【详解】由题可知直线方程为：，即，

令x=0，则，故直线在y轴上的截距为.

故选：C.

2．某厂去年的产值记为1，计划在今后五年内每年的产值比上年增长，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用等比数列的求和公式即得.

【详解】依题意可得，从今年起到第五年这个厂的总产值为；

.

故选：D

3．若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的方程是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由渐近线方程可设双曲线为且，再由点在双曲线上，将点代入求参数m，即可得双曲线方程.

【详解】由题设，可设双曲线为且，又在双曲线上，

所以，则双曲线的方程是.

故选：A

4．过圆x2+y2＝5上一点M（1，﹣2）作圆的切线l，则l的方程是（　　）

A．x+2y﹣3＝0 B．x﹣2y﹣5＝0 C．2x﹣y﹣5＝0 D．2x+y﹣5＝0

【答案】B

【分析】本题先根据圆的切线的几何意义建立方程求切线的斜率，再求切线方程即可.

【详解】解：由题意：点M（1，﹣2）为切点，则，，

解得：，

∴l的方程：，整理得：，

故选：B.

【点睛】本题考查圆的切线的几何意义，点斜式直线方程，两线垂直其斜率相乘等于，是基础题.

5．已知函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意转化为，恒成立，参变分离后转化为，求函数的最大值，即可求解.

【详解】函数的定义域是，

，

若函数在定义域内单调递减，即在恒成立，

所以，恒成立，即

设，，

当时，函数取得最大值1，所以.

故选：D

6．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积是（    ）

A．升 B．升 C．升 D．升

【答案】A

【分析】设此等差数列为，利用方程思想求出和，再利用通项公式进行求解．

【详解】根据题意得该竹子自上而下各节的容积形成等差数列，

设其首项为，公差为，

由题意可得，

所以，解得，

所以，

即第5节竹子的容积为升．

故选：A．

7．在平面直角坐标系中，线段的两端点，分别在轴正半轴和轴正半轴上滑动，若圆上存在点是线段的中点，则线段长度的最小值为 （    ）

A．4 B．6 C．8 D．10

【答案】C

【分析】首先求点的轨迹，将问题转化为两圆有交点，即根据两圆的位置关系，求参数的取值范围.

【详解】设，，的中点为，则，

故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，

问题转化为圆与圆有交点，

所以，，即，解得：，

所以线段长度的最小值为.

故选：C

8．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】构造函数，根据得到的单调性，在变形不等式由单调性求解即可.

【详解】由题知，函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，即，

设，

所以，

所以在上单调递增，

因为，

所以，

所以，解得，

所以不等式的解集为，

故选：B

二、多选题

9．若在和中间插入个数，使这个数成等比数列，则公比为（    ）

A．2 B．－2 C．4 D．－4

【答案】CD

【分析】由等比数列的性质，即可求解.

【详解】由条件可知，，，所以，解得：.

故选：CD

10．若直线l经过点，且被圆截得的弦长为4，则l的方程可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】由弦长公式得出圆心到直线距离，考虑直线斜率不存在和存在两种情况，根据距离公式得出所求方程.

【详解】圆的标准方程为：，由题意圆心到直线l的距离

①当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离，符合题意，

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，

圆心到直线的距离为，解得，则直线方程为，

综上，直线 l的方程为或．

故选：AC．

11．已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）

A．数列是等比数列

B．若，，则

C．若，则数列是递增数列

D．若数列的前和，则

【答案】AC

【解析】利用等比数列的定义可判断A选项的正误；利用等比中项的性质可判断B选项的正误；分和两种情况讨论，求得对应的的取值范围，结合数列单调性的定义可判断C选项的正误；求得、、，由求得的值，可判断D选项的正误.

【详解】设等比数列的公比为，则，且.

对于A选项，，所以，数列是等比数列，A选项正确；

对于B选项，由等比中项的性质可得，又因为，则与同为正数，则，B选项错误；

对于C选项，若，由可得，可得，解得，

则，，则，此时，数列为递增数列；

若，由可得，可得，解得，

则，，则，此时，数列为递增数列.

综上所述，C选项正确；

对于D选项，，，，

由于数列是等比数列，则，即，解得，D选项错误.

故选：AC.

【点睛】本题考查等比数列的定义、等比中项的性质以及等比求和相关命题正误的判断，考查计算能力与推理能力，属于中等题.

12．已知函数，则下列判断正确的是（    ）

A．存在，使得

B．函数有且只有一个零点

C．存在正数k，使得恒成立

D．对任意两个正实数，且，若，则

【答案】BD

【分析】先对函数求导，结合导数与单调性关系分析函数的单调性及最值可检验选项A；

求得的导数可得单调性, 计算的函数值，可判断选项B；由参数分离和构造函数求得导数判断单调性，可判断选项C；构造函数，结合导数分析的性质，结合已知可分析的范围即可判断选项D.

【详解】，易得，

当 时，，函数单调递减，

当 时，，函数单调递增，

故函数在处取得极小值也是最小值，

不存在，使得, 故选项A错误；

的导数为恒成立, 所以 递减，且，，

可得 有且只有一个零点，介于, 故选项B正确；

等价为 ，

设，则，

故在上为减函数，故，

故，

故当，，

所以不恒成立，故选项C错误；

设，则，

令，

则 ，

故在上单调递减，，

不妨设，因为，所以，

则，故选项D正确.

故选：BD.

【点睛】本题考查导数的运用，求单调性和极值、最值，以及函数的零点和不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于难题.

三、填空题

13．已知，则______．

【答案】4

【详解】试题分析：因为，所以，所以

【解析】1．导数的运算；

14．两条平行直线＝与＝的距离是________.

【答案】

【解析】将直线＝化为，再根据平行线间距离公式即可求解.

【详解】可将直线＝化为，

所以两条平行直线间的距离为.

故答案为：.

【点睛】本题考查平行线间距离公式，属于基础题.

15．已知圆，圆.若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，使得，则实数的取值范围为________.

【答案】

【分析】由题意画出图形，利用两点间的距离关系求出的距离，再由题意得到关于的不等式求得答案.

【详解】解：如图，圆的半径为1，圆上存在点，

过点作圆的两条切线，切点为，使得，

则，在中，，

又圆的半径等于1，圆心坐标，

，，

，

由，

解得：.

故答案为：.

【点睛】本题考查直线和圆的位置关系的应用，利用数形结合将条件进行等价转化是解决本题的关键.

16．已知函数，（是自然对数的底数），若函数有4个不同的零点，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】利用导函数画出的图像，由图像可得当时，或，再利用图像求有四个交点时的范围即可.

【详解】令得，

所以在单调递减，在单调递增，

且当时，，，

所以图像如图所示：

由图像可得令解得或，

令，

由图像可得当时，有一个解；当时，有两个解；当时有三个解；当时有两个解；当时有两个解；当时有一个解；当时，无解；

所以当有四个不同的解时，，

故答案为：

四、解答题

17．已知函数，，且．求：

(1)a的值及曲线在点处的切线方程；

(2)函数在区间上的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意，求出的值，然后根据导数的几何意义即可求解；

（2）根据导数与函数单调性的关系，判断函数在区间上的单调性，从而即可求解.

【详解】（1）由题意，，

因为，所以，解得，

所以，，

因为，，

所以曲线在点处的切线方程为，即；

（2）因为，且，

所以在上单调递增，

所以，即函数在区间上的最大值为.

18．在数列中，，.

（1）求证：数列是等差数列；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）由，两边同除以n（n+1）可得：，且，即可证得．

（2）由（1）可得：，可得，再利用裂项求和方法即可得出．

【详解】（1）在数列中，满足，同时两边除以，

得，且，所以数列是以4为首项，以2为公差的等差数列.

（2）由（1）得，，所以，故，

所以.

【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

19．已知圆F: ，直线动圆M与直线l相切且与圆F外切.

(1)记圆心M的轨迹为曲线C， 求曲线C的方程；

(2)若直线与曲线C相交于A，B两点，求AB的长.

【答案】(1)

(2)15

【分析】（1）设，用坐标表示题设条件化简可得；

（2）设交点为，，直线方程与曲线方程联立消元，应用韦达定理得，然后由弦长公式求得弦长．

【详解】（1）设，显然点在直线左侧，，

由题意，平方整理得，

所以的轨迹方程是；

（2）联立方程组，化简得，，

设直线与曲线C相交于A，B两点，，，

则，，

.

20．已知等差数列的前n项和为.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等差数列的通项公式与求和公式列方程组，求解，即可得通项公式；（2）利用错位相减法代入计算的前项和.

【详解】（1）因为数列为等差数列，设等差数列的公差为，

所以，所以数列的通项公式为；

（2）由（1）得，∴，

.∴.∴

21．淮北市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”，对环境进行了大力整治，目前淮北市的空气质量位列全省前列，吸引了大量的外地游客。某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了淮北市国家湿地公园，数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数，其中x为每天的时刻，若凌晨6点时，测得空气质量指数为29.6.

（1）求实数m的值；

（2）求近期每天时段空气质量指数最高的时刻.(参考数值：)

【答案】（1）；（2）最高的时刻为12时

【分析】(1) 由,代入函数表达式求解即可.

(2)对求导, 令再列表分析函数单调性进行最大值的求解即可.

【详解】（1）由，代入，解得；

（2）由已知函数求导，得．令，得.

列表得

所以函数在时取极大值也是最大值，即每天时段空气质量指数最高的时刻为12时.

【点睛】本题主要考查了实际问题的函数模型运用,需要根据题意求解对应的参数值,再分析

22．已知点是椭圆上的一点，椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，斜率为直线交椭圆于，两点，且，，三点互不重合.

（1）求椭圆的方程；

（2）若，，分别为直线，的斜率，求证：为定值.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）设椭圆的焦距为2c，根据题中条件，得出椭圆的离心率，再由点代入椭圆方程，根据，即可求出，从而可得椭圆方程；

（2）设直线的方程为，根据题意得，设，，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，结合斜率计算公式，直接计算，即可得出结果.

【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，由双曲线方程易得双曲线的离心率为，

则椭圆的离心率，

将代入，得 ，

又，解得，

所以椭圆C的方程；

（2）证明：设直线的方程为，

又，，三点不重合，∴，

设，，

则由消去 ，整理得 ，

所以，，，则 ，

设直线，的斜率分别为，，

则

所以，即直线，的斜率之和为定值.

【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，考查椭圆中的定值问题，涉及双曲线的离心率，属于常考题型.