2022-2023学年上海市川沙中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年上海市川沙中学高二上学期12月月考数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市川沙中学高二上学期12月月考数学试题 一、填空题1．直线的倾斜角___________．【答案】【分析】先求直线的斜率，进而得倾斜角的正切，从而得解.【详解】直线，整理得，由直线的方程可得直线的斜率为，则，又由，故所以倾斜角为.故答案为：.2．半径为2的球的表面积为________.【答案】【分析】代入球的表面积公式:即可求得.【详解】，由球的表面积公式可得,,故答案为:【点睛】本题考查球的表面积公式;属于基础题.3．若不垂直于轴的直线与直线所成的角的大小为，则实数的值为_____.【答案】【解析】设直线的倾斜角为，记，利用两角差的正切公式可得出关于的方程，进而可求得实数的值.【详解】设直线的倾斜角为，记，则，，，，由题意可得，解得.故答案为：.【点睛】本题主要考查直线夹角公式的应用，涉及两角差的正切公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4．焦点在轴上，焦距为，且过的椭圆方程为______.【答案】【分析】使用待定系数法，设椭圆方程为，根据焦距求出的值，将点代入椭圆方程中求出的值，再根据的关系求出的值，进而求出椭圆方程.【详解】已知椭圆焦点在轴，故设椭圆方程为，将点代入求得，即；又因为焦距，故；根据，得椭圆方程为.故答案为：5．若圆锥高为3，且母线与底面所成角为，则该圆锥的侧面积为______.【答案】【分析】由题意求出底面半径，进而求母线长、底面周长，应用扇形面积公式求圆锥侧面积.【详解】若底面半径为，则，可得，所以，底面周长为，母线长为，故圆锥侧面积为.故答案为：6．双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率是__________．【答案】【分析】由，结合，可得，即得解【详解】∵，又∴，，即．故答案为：7．已知点和到直线的距离相等，则的值为________；【答案】或【分析】根据点到直线的距离公式，列出等式即可求解.【详解】∵两点和到直线距离相等，∴，解得或，故答案为:或.8．过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为______.【答案】或【分析】当直线经过原点，直接由点斜式写出即可；若不经过原点，利用直线的截距式方程求解即可.【详解】若所求直线经过原点，则其斜率，故所求直线方程为，即；若所求直线不经过原点，设其方程为，则，解得，即，整理可得：；综上所述，满足题意的直线方程为：或.故答案为：或.9．正方体的棱长为4，点是棱上一点，若异面直线与所成角的余弦值为，则_______.【答案】1【分析】由空间向量的方法，根据异面直线与所成角的余弦值为，即可求出的长.【详解】以为坐标原点，以方向为轴，方向为轴,方向为轴，建立空间直角坐标系，设，则，所以，设异面直线与所成的角为，则，解得，即.故答案为1【点睛】本题主要考查由异面直线所成的角确定点的位置的问题，由空间向量的方法建系求解即可，属于基础题型.10．已知关于的方程有两个不同的实数根，则实数的范围______.【答案】【分析】画出和的图像，数形结合得出实数的范围.【详解】设，，图像如图所示，当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离，即，解得：（舍），或当直线过点时，可求得直线的斜率，则利用图像得：实数的范围为故答案为：11．已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为___________.【答案】【分析】首先根据椭圆的定义将的最小值转化为，再根据（当且仅当M、N、E共线时取等号），最后根据求得的最小值.【详解】如图，由为椭圆上任意一点，则又为圆上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线时取等号），∴，当且仅当M、N、E、共线时等号成立.∵，，则，∴的最小值为．故答案为：．【点睛】思路点睛；本题主要考查与椭圆与圆上动点相关的最值问题，主要根据椭圆的定义将目标等价转化为能够通过数形结合解题的类型，考查学生的转化与化归思想，属于较难题.12．已知，则的最大值为______.【答案】【分析】由题意得点的轨迹为椭圆，求出的值，根据椭圆与直线有公共点得到，解出的范围，则得到的最大值.【详解】满足题设的点的轨迹是到定点的距离之和为定长20的椭圆，此椭圆的中心在，此椭圆的长半轴长满足,即,线段的长为,即,所以椭圆的短半轴长为,，则椭圆长轴所在的方程为,因此,使得椭圆与直线有公共点的的取值范围是到直线的距离不超过，直线化为一般式为即,解得.椭圆上任意一点均满足.由,得故的最大值为，故答案为：. 二、单选题13．直线的一个法向量可以是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】先求解出直线的一个方向向量，设出法向量，利用数量积为零计算即可.【详解】直线的一个方向向量为，设直线的法向量为，因为，所以，得，所以法向量.故选：C.14．“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（    ）条件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要【答案】B【解析】先化简条件“方程表示焦点在轴上的椭圆”，结合的范围进行判定.【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得；因为，反之不成立，所以“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的必要非充分条件.故选：B.【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，把复杂的已知条件进行化简，结合推出关系可以进行判定，侧重考查逻辑推理的核心素养.15．如图，正方体中，分别为棱的中点，连接，对空间任意两点，若线段与线段都不相交，则称两点可视，下列选项中与点可视的为（    ）A．点 B．点 C．点 D．点【答案】B【分析】根据异面直线的定义判断即可.【详解】A选项：四边形是平行四边形，与相交，故A错；C选项：四边形是平行四边形，与相交，故C错；D选项：四边形是平行四边形，与相交，故D错；利用排除法可得选项B正确.故选：B.16．对于平面上点和曲线，任取上一点，若线段的长度存在最小值，则称该值为点到曲线的距离，记作.若曲线是边长为6的等边三角形，则点集所表示的图形的面积为（    ）A．36 B．C． D．【答案】D【分析】根据题意画出到曲线C的距离为1的边界，即可得到点集的区域，即可求解.【详解】根据题意作出点集的区域如图阴影所示，其中四边形，，为矩形且边长分别为1,6，圆都是以1为半径的，过点作于，连接,则，，所以则是以为边长的等边三角形，矩形的面积，，扇形的面积为，，，所以 .故选：D. 三、解答题17．如图，在长方体中，T为上一点，已知．（1）求直线与平面所成角的大小（用反三角函数表示）；（2）求点到平面的距离．【答案】（1）（或）；（2）．【解析】方法一（几何法）：（1）连结，由已知可得直线与平面所成的角即为，解三角形可求得直线与平面所成角的大小.（2）运用等体积法可求得点到平面的距离.方法二（向量法）：（1）如图，以为原点，、、分别为、、轴，建立空间直角坐标系.运用线面角的向量求解方法可求得直线与平面所成角的大小.（2）由点到面的距离的向量方法可求得点到平面的距离.【详解】方法一：（1）连结，在长方体中，因为平面，即平面，所以直线与平面所成的角即为，在中，由，，可得，又，故，所以直线与平面所成角的大小为.（2）由已知可得，，所以.又.设点到平面的距离为.在长方体中，因为平面，即平面，再由得，所以，.即点到平面的距离为.方法二：（1）如图，以为原点，、、分别为、、轴，建立空间直角坐标系.由已知可得(2，0，0)、(2，4，0)、(0，4，0)、(0，0，0)、(0，0，2)，故，又平面的一个法向量，设直线与平面所成角的大小为，则，注意到，故，所以直线与平面所成角的大小为.（2）注意到(0，4，6)，(2，0，6)，及(0，0，2)，(0，4，0)，故，，，设平面的一个法向量为，由已知，得，即，所以，可取，所以点到平面的距离为.即点到平面的距离为.【点睛】关键点点睛：利用法向量求解空间角和距离的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.18．已知中，(1)求边所在直线的方程；(2)直线过定点，设该定点为，求的面积.【答案】(1)(2) 【分析】（1）直接计算出，再写出点斜式方程即可；（2）首先求出定点，然后利用点到直线距离公式求出点到直线的距离以及的长，则得到三角形面积.【详解】（1）的斜率为,直线方程为,即；（2）即，当时，，故，到边所在直线的距离为,故的面积为.19．已知直线，圆.(1)证明:直线与圆相交；(2)设与的两个交点分别为A、，弦的中点为，求点的轨迹方程.【答案】(1)证明过程见解析(2) 【分析】（1）求出直线恒过点，而在圆内，故证明出结论；（2）联立直线与圆的方程，设出，得到两根之和，两根之积，进而表达出点的坐标为，消去参数，求出点的轨迹方程，注意去掉原点.【详解】（1）恒过点，又，所以点在圆内，所以直线与圆相交；（2）联立与得：，设，则，，，故，，所以点的坐标为，令，，两式相除可得：，代入中，消去可得，，由于，故，即去除原点，则点的轨迹方程为：.20．已知椭圆：的长轴长为，右顶点到左焦点的距离为，直线l：与椭圆交于A，B两点．求椭圆的方程；若A为椭圆的上项点，M为AB中点，O为坐标原点，连接OM并延长交椭圆于N，，求k的值．若原点O到直线l的距离为1，，当时，求的面积S的范围．【答案】（1）； （2）； （3）.【分析】先根据已知条件可求出a、c的值，结合a、b、c的值可得出b的值，进而可求出椭圆的标准方程；先得出直线l的方程为，将直线l的方程代入椭圆方程可求出点B的坐标，利用中点坐标公式可得出点M的坐标，根据已知条件可得出点N的坐标，再将点N的坐标代入椭圆的方程，即可求出k的值；利用原点O到直线l的距离可得出，将直线l的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，将韦达定理代入，结合的取值范围可得出的取值范围，并求出线段AB的长度的表达式，可求出的取值范围，再利用三角形的面积公式可求出S的取值范围．【详解】由题意可知，，于是得到，因为右顶点到左焦点的距离为，所以，，则，因此，椭圆的方程为；当点A为椭圆的上顶点时，点A的坐标为，则，直线l的方程为，将直线l的方程代入椭圆的方程并化简得，解得，，所以点B的坐标为，由于点M为线段AB的中点，则点M的坐标为，由于，所以，点N的坐标为，将点N的坐标代入椭圆的方程得，化简得，解得；由于点O到直线l的距离为1，则有，所以，．设点、，将直线l的方程代入椭圆方程并化简得，由韦达定理可得，，，由于，即，解得，线段AB的长为，所以，．因此，的面积S的取值范围是．【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查韦达定理在椭圆中的应用，考查计算能力与推理能力，属于难题．21．已知双曲线与圆交于点第一象限，曲线为、上取满足的部分．（1）若，求b的值；（2）当，与x轴交点记作点、，P是曲线上一点，且在第一象限，且，求；（3）过点斜率为的直线l与曲线只有两个交点，记为M、N，用b表示，并求的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3），．【分析】（1）联立曲线与曲线的方程，以及，解方程可得b；（2）由双曲线的定义和三角形的余弦定理，计算可得所求角；（3）设直线，求得O到直线l的距离，判断直线l与圆的关系：相切，可设切点为M，考虑双曲线的渐近线方程，只有当时，直线l才能与曲线有两个交点，解不等式可得b的范围，由向量投影的定义求得，进而得到所求范围．【详解】（1）由，点A为曲线与曲线的交点，联立，解得，；（2）由题意可得，为曲线的两个焦点，由双曲线的定义可得，又，，所以，因为，则，所以，在中，由余弦定理可得，由，可得；（3）设直线，可得原点O到直线l的距离，所以直线l是圆的切线，设切点为M，所以，并设与圆联立，可得，可得，，即，注意直线l与双曲线的斜率为负的渐近线平行，所以只有当时，直线l才能与曲线有两个交点，由，可得，所以有，解得或舍去，因为为在上的投影可得，，所以，则．