2022-2023学年上海市建平中学高二上学期10月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年上海市建平中学高二上学期10月月考数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市建平中学高二上学期10月月考数学试题 一、填空题1．抛物线的焦点坐标是_______．【答案】【分析】将抛物线方程转化为标准形式，由此求得抛物线的焦点坐标.【详解】由得，所以抛物线的焦点在轴上，且，所以抛物线的焦点坐标为.故答案为：【点睛】本小题主要考查抛物线焦点坐标的求法，属于基础题.2．双曲线的渐近线方程为_____．【答案】【分析】由双曲线的方程可知，，即可直接写出其渐近线的方程.【详解】由双曲线的方程为，可知，；则双曲线的渐近线方程为.故答案为：.3．设两圆与圆的公共弦所在的直线方程为_______【答案】【分析】利用两圆的方程相减即可求解.【详解】因为圆，圆，由得，，所以两圆的公共弦所在的直线方程为.故答案为：.4．直线与圆有公共点，则实数的取值范围是____．【答案】【分析】由圆心到直线的距离为，然后求解的范围【详解】圆的圆心，半径为直线与圆有公共点，则，则，解得所以实数的取值范围是故答案为：5．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦距等于_________.【答案】【分析】由双曲线方程和渐近线可求出，再由可求出，从而可求出焦距.【详解】由双曲线，得其渐近线方程为，因为双曲线的渐近线方程为，所以，得，所以，得，所以双曲线的焦距为，故答案为：6．椭圆的一个焦点坐标为，且短轴长是长轴长的，则椭圆的标准方程是____．【答案】【分析】由，，，解出参数即可.【详解】由题意知，，∵，∴，∴，，则椭圆的标准方程是.故答案为：7．已知是椭圆上一个动点，是椭圆的左焦点，则的最小值为_____．【答案】【分析】设点，则，利用两点间的距离公式以及的取值范围可求得的最小值.【详解】由题意知，，，则，设点，则，所以，，因此，的最小值为.故答案为：.8．已知直线经过点，且与圆相切，则直线的方程为_____．【答案】或【分析】分类讨论直线斜率存在与否两种情况，利用直线与圆相切有，进行检验或列出关于的方程，从而得解.【详解】由题意知圆的圆心为，半径为，当直线的斜率不存在时，直线为，显然圆心到直线的距离为，所以，故直线与圆相切，满足题意；当直线斜率存在时，设直线斜率为k，则直线为，即，因为直线与圆相切，所以，即，解得，所以直线为，即；综上：直线的方程为或.故答案为：或.9．已知抛物线上的两点到焦点的距离之和为5，线段的中点的横坐标是2，则＝______．【答案】1【分析】设，，中点坐标为，根据抛物线定义可得，再结合线段AB的中点的横坐标是2，可得，即可得答案.【详解】解：设，，中点坐标为，则，，解得.故答案为：1.10．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为_____________【答案】【分析】先求出最长弦和最短弦，再计算面积即可.【详解】圆的标准方程为（x－1）2＋（y－3）2＝10，则圆心（1，3）半径，由题意知最长弦为过E点的直径，最短弦为过E点和这条直径垂直的弦，即AC⊥BD，且，圆心和E点之间的距离为，故，所以四边形ABCD的面积为.故答案为：.11．若直线过抛物线的焦点，交抛物线于两点，则____．【答案】2【分析】设，，根据抛物线的焦半径公式求的，联立方程，利用韦达定理求出，，化简整理即可得解.【详解】解：易知焦点，准线方程为，当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时，，所以，当直线斜率存在时，设过点的直线方程为，代入抛物线方程得，化简后为，设，，则有，，，，∴，综上.故答案为：2.12．已知双曲线的左、右焦点分别为，若在右支上存在一点，使得点到直线的距离为，则双曲线的离心率的取值范围是_____．【答案】【分析】过点且与渐近线平行的直线为，由题意，只需到直线的距离大于a即可，即，化简求解即可.【详解】如图，过点且与渐近线平行的直线为，依题意，只需到直线即的距离大于a即可，即，∴，∴所以双曲线的离心率的取值范围是故答案为：【点睛】方法点睛：求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立的关系式求或的范围；另一种是建立、、的齐次关系式，将用、表示，转化为的关系式，进而求解． 二、单选题13．过定点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有（    ）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】C【分析】根据题意，考虑直线斜率不存在和存在两种情况，由直线与抛物线位置关系，联立直线与抛物线方程求解，即可得出结果.【详解】当斜率不存在时，直线方程为，只有一个公共点，符合题意；当斜率存在时，设为k，则直线方程为，联立，得，①当时，直线方程为，只有一个公共点，符合题意；②当时，令，解得，即直线与抛物线有一个公共点.所以满足题意的直线有3条.故选：C14．直线与圆的位置关系为（    ）A．相切 B．相交C．相离 D．由的取值确定【答案】A【分析】利用圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断.【详解】因为圆心到直线的距离，即为圆的半径，所以可知直线与圆相切.故选：A．15．已知双曲线C：的一条渐近线过点P（1，2），则它的离心率为（    ）A． B．2 C． D．3【答案】C【分析】根据渐近线过点求得，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线的一条渐近线为，将代入得，所以双曲线的离心率.故选：C16．已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，，分别是椭圆的左、右焦点，若点在的平分线上，且，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出辅助线，得到，求出的取值范围，从而求出的取值范围.【详解】如图，直线与直线相交于点N，由于PM是的平分线，且，即PM⊥，所以三角形是等腰三角形，所以，点M为中点，因为O为的中点，所以OM是三角形的中位线，所以，其中，因为P与的四个顶点不重合，设，则，则，所以，又，所以，∴的取值范围是.故选：D. 三、解答题17．设为实数，若关于的方程表示的是曲线，求满足下列条件的的取值范围．(1)曲线是椭圆；(2)曲线是焦点在轴上的双曲线．【答案】(1)(2) 【分析】由椭圆及双曲线的定义列不等式求解即可【详解】（1）由题意知，解得（2）由题意知，则，解得18．已知椭圆，点为椭圆上任一点．(1)求过椭圆的左焦点，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长；(2)求点到直线的距离的最小值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）设直线方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理及椭圆的弦长公式，即可求解；（2）设，利用点到直线的距离公式及三角函数求最值，即可求解.【详解】（1）由题意知，则直线方程为联立方程，整理得：，由韦达定理得：，则弦长为（2）设则点P到直线的距离当时，取得最小值为19．某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示，曲线是以点为圆心的圆的一部分，其中；曲线是抛物线的一部分；，且恰好等于圆的半径．假定拟建体育馆的高（单位：米，下同）．(1)若，，求和的长；(2)若要求体育馆侧面的最大宽度不超过米，求的取值范围．【答案】(1)米，米(2) 【分析】（1）求出圆的半径，可得出的长，利用抛物线和圆的方程分别求出、，可求得线段的长；（2）求得，，可得出，分析可知对恒成立，利用参变量分离法结合基本不等式可得出关于的不等式，解之即可.【详解】（1）解：因为圆的半径为，所以米.在中令，可得，得.在圆中令，得，则，所以米.（2）解：由圆的半径为，得.在中令，可得，得，所以，.由题意知，对恒成立，所以恒成立，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，故，解得.20．已知，，点满足，记点的轨迹为．(1)求轨迹的方程；(2)斜率为的直线过点，且与轨迹的右支相交于两点．求斜率的取值范围；(3)在（2）的条件下，在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，，理由见解析 【分析】（1）利用双曲线的定义即可求得轨迹的方程；（2）联立直线与双曲线的方程，再利用一元二次方程根的分布列出关于k的不等式组，解之即可求得斜率的取值范围；（3）先假设存在定点符合题意，利用设而不求的方法，并利用向量垂直表示，列出关于点的坐标的方程，解之即可求得定点的坐标.【详解】（1）由知，点P的轨迹C是以，为焦点，实轴长为4的双曲线，由，，得，故轨迹C的方程为（2）设过点的直线的方程为，令，，由，整理得，又直线l与轨迹C的右支相交于A，B两点，则方程有二不同正根，则，解之得，即或则斜率的取值范围为；（3）由（2）可得，，，假设x轴上存在定点，使恒成立， 则故对任意的恒成立.∴，解得，∴当点M为时，恒成立；所以x轴上存在定点，使恒成立【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.21．已知分别为椭圆的左、右焦点，M为上的一点．（1）若点M的坐标为，求的面积；（2）若点M的坐标，且直线与交于两不同点A、B，求证：为定值，并求出该定值；（3）如图，设点M的坐标为，过坐标原点O作圆（其中r为定值，且）的两条切线，分别交于点P，Q，直线的斜率分别记为．如果为定值，试问：是否存在锐角，使？若存在，试求出的一个值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2），证明见详解；（3）不存在.【解析】（1）将点代入求出，再求出左、右焦点即可求解.（2）将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理以及向量数量积的坐标运算即可求解.（3）设出直线:，直线:，利用点到直线的距离公式可得、是关于的方程的两实根，根据题意为定值，可得，，设，，将直线:，直线:与椭圆联立，求出，即求.【详解】（1）由已知条件得，因为，所以，又、的坐标分别为(，0)、(，0)，因此，的面积为.（2）设，，由，得，显然，且，又，，所以，，即为定值.（3）满足的锐角不存在.理由如下：因为直线:与相切，所以，即，同理，由直线:与相切，可得，于是，、是关于的方程的两实根，注意到，且，故，因为定值，故不妨设（定值），于是有，即.依题意可知，变化，而、均为定值，所以，解得，，再设，，由得；同理可得.所以，即，亦即，（※）若锐角，使，则，与（※）相矛盾.因此，这样的锐角不存在.【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出，，进一步求出，考查了分析能力、运算求解能力，综合性比较强，难度较大.