2022-2023学年上海市南洋模范中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市南洋模范中学高二上学期12月月考数学试题

一、填空题

1．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是______.

【答案】

【分析】根据空间对称的知识求得正确答案.

【详解】点关于平面对称点，横坐标和竖坐标不变，纵坐标相反，

所以点关于平面对称的点的坐标是.

故答案为：

2．为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取17名，测得他们的体重数据如下（按从小到大的顾序排列，单位：）

56  56  57  58  59  59  61  63  64  65  66  68  69  70  73  74  83

据此估计该校高三年级男生体重的第75百分位数为______

【答案】

【分析】根据百分位数的求法求得正确答案.

【详解】，

数据从小到大第个数是，

所以第75百分位数为

故答案为：

3．第14届国际数学教有大会（ICME-14）于2021年7月12日至18日在上海举办，已知张老师和李老师都在7天中随机选择了连续的3天参会，则两位老师所选的日期恰好都不相同的概率为______.

【答案】##

【分析】先确定随机试验张老师和李老师各在7天中随机选择了连续的3天参会的基本事件数，再确定事件两位老师所选的日期恰好都不相同所包含的基本事件数，由古典概型概率公式求事件两位老师所选的日期恰好都不相同的概率.

【详解】因为张老师在7天中随机选择连续的3天参会共有5种选法，即，，，，，所以随机试验张老师和李老师各在7天中随机选择连续的3天参会的基本事件数为25，其中两位老师所选的日期恰好都不相同选法有：张老师选，李老师选或，张老师选，李老师选，张老师选，李老师选，张老师选，李老师选或，即事件两位老师所选的日期恰好都不相同包含6个基本事件，所以事件两位老师所选的日期恰好都不相同的概率.

故答案为：.

4．设等差数列的公差为，若的方差为1，则=________．

【答案】

【详解】由题意得 ，因此

5．某学校随机抽取名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．则该校学生上学所需时间的均值估计为______________．（精确到分钟）.

【答案】34.

【详解】由直方图可得．

所以，

该校学生上学所需时间的均值估计为：

分钟，

故该校新生上学所需时间的平均值为34分，故答案34

6．由8个整数形成的样本数据中，至少有六个互不相同的整数，若平均数、中位数、唯一的众数和全距（即样本中最大数与最小数之差）都是8，则可能成为样本数据中的最大整数是________．

【答案】12

【分析】根据平均数、中位数、唯一的众数和全距求得最大整数的值.

【详解】依题意，平均数=中位数=众数=，所以偏态系数为，数据分布对称，

因为存在众数且众数唯一，

所以可设这个整数为，

且，

所以，解得.

故答案为：

7．如图：已知矩形中，，，若平面，在BC边上取点E，使，则满足条件的E点有两个时，t的取值范围是________．

【答案】

【分析】由题意可证得，转化为以为直径的圆与矩形另一边有2个交点，根据圆心到直线的距离小于半径求解即可.

【详解】连接，如图，

因为平面，平面，所以，

又，，平面，所以平面，

因为平面，所以．

即E点为以AD为直径的圆与BC的交点．

因为，，满足条件的E点有2个，即圆心也就是中点到的距离小于半径即可，即平行线间的距离，解得．

故答案为：

8．某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为__________元.

【答案】8800

【详解】要使得这8位员工月工资的中位数最大值，即月工资数据不清楚的两个人的工资分别为比8200小，比9500大，即中位数为.

9．已知正方体中，M，N分别为棱AB，的中点，过，M，N三点作该正方体的截面，若截面为一个多边形，则在顶点处的内角的余弦值为________．

【答案】

【分析】建立空间直角坐标系，根据，求出坐标，利用向量的夹角公式求解即可.

【详解】设正方体棱长为2，多边形与棱相交于，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，设，，

则，

由正方体左右侧面平行，与截面多边形分别交于，所以，

同理，可得

故，，

所以，解得，

所以，，

则，

所以在顶点处的内角的余弦值为．

故答案为：.

10．已知A、B、C是半径为1的球面上的三点，若，则的最大值为______.

【答案】

【分析】设的外接圆半径为，，由条件列关系式确定的关系，由此可求的最大值，由此确定的最大值.

【详解】因为A、B、C是半径为1的球面上的三点，过点A、B、C作球的截面，设截面圆的圆心为，半径为，设的中点为，则，因为，所以，设，则，，又，所以，所以，因为球的半径为1，所以，所以当时，取最大值，最大值为，所以的最大值为，

故答案为：.

11．在直三棱柱中，，，若中所有的点构成的几何体的体积为3，则与夹角的大小为________．

【答案】或

【分析】由条件确定区域与三棱柱的体积关系，结合柱体体积公式列方程可求与夹角的正弦值，由此可得夹角大小.

【详解】因为，

所以中所有的点构成的几何体的体积是直三棱柱体积的倍，

则，又，所以，因为，所以或，

所以与夹角的大小为或．

故答案为：或.

12．在一个的长方体内部，有一半径为的小球自由运动，则当小球在长方体内滚动时，长方体内没有被小球滚到的部分其体积为________．

【答案】

【分析】根据条件，画直观图，直接计算即可.

【详解】

由题意，小球在长方体内活动如图中虚线所示，是由上下两个半球和中间的圆柱构成，

所以小球不能达到的空间体积为 ；

故答案为：.

二、单选题

13．如图是6株圣女果植株挂果个数（两位数）的茎叶图，则6株圣女果植株挂果个数的中位数为（    ）

A．21 B．21.5 C．22 D．22.5

【答案】B

【分析】根据中位数的知识求得正确答案.

【详解】个数据为，

所以中位数为.

故选：B

14．已知数列的前n项和为，若与垂直，则不可能是（    ）

A．公差大于0的等差数列 B．公差小于0的等差数列

C．公比大于0的等比数列 D．公比小于0的等比数列

【答案】C

【分析】根据空间向量互相垂直的性质、空间向量数量积的运算性质，结合等差数列和等比数列的性质逐一判断即可.

【详解】因为与垂直，

所以，则，

若，则，所以保证即可，

若为等差数列，取前2022项分别为即可，

反之，取也可，故A、B均可能，

若为等比数列，取即可，故D有可能，

若公比大于0，则或均不为0，

故C不可能；

故选C．

15．设,,,,,是正数，且++=10, ++=40, ++=20,则=

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由柯西不等式得

当且仅当时等号成立，

,

等号成立

故答案选

16．已知a，b是异面直线，若直线m上任意一点到a，b的距离都相等，则这样的直线m（    ）

A．存在且只有一条 B．存在且只有两条

C．存在无数条 D．不存在

【答案】B

【分析】分别过a，b作与它们都平行的平面，再作一个他们正中间的平面，将两条异面直线投影到中间平面上，投影直线构成的四个角的角平分线即为所求.

【详解】分别过a，做平面，使得，过b作平面，使得，然后在这两个平行平面中间作一个平面，使得平面到平面、平面的距离相等，则直线在平面内的投影分别为，则，则在平面内两条直线构成的四个角的角平分线即为所求直线（共两条）,

故选：.

三、解答题

17．某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者．假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．

(1)求按照专家提出的这种化验方法需要化验的次数并说明是否能减少化验次数；

(2)若携带病毒的人只占2%，按照k个人一组，试问k取多少时化验次数最少？

【答案】(1)平均需要化验次，能减少化验次数.

(2)k取8时化验次数最少

【分析】（1）设每个人需要的化验次数为X，结合独立重复试验概率计算公式、对立事件概率计算公式求得，从而确定正确答案.

（2）假设k个人一组，设每个人需要的化验次数为Y，结合独立重复试验概率计算公式、对立事件概率计算公式求得，从而确定正确答案.

【详解】（1）设每个人需要的化验次数为X，

若混合血样呈阳性，则；若混合血样呈阴性，则；

因此，X的分布列为，，

，

说明每5个人一组，平功每个人需要化验0.4262次；

，所以能减少化验次数.

（2）假设k个人一组，设每个人需要的化验次数为Y，

若混合血样呈阳性，则；若混合血样呈阴性，则；

因此，Y的分布列为，，

，

利用计算器，对k取，逐一计算，

发现当k取8时，取到最小值0.2742，

此时，10000个人大约需要化验2742次．

18．现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误，设第n次传球后，甲接到球的概率为．

(1)求，，的值；

(2)试用表示，并求数列的通项公式．

【答案】(1)，，

(2)，

【分析】（1）直接由题意求值即可.

（2）由（1）得，根据，时，第n次传给甲的事件是第次传球后，球不在甲手上并且第n次必传给甲的事件，进而有，然后变形借助等比数列的定义即可求出数列的通项公式.

【详解】（1）第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，则，，

接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，则.

故：，，.

（2）第一次传球后，球落在乙或丙手中，则，

，时，第n次传给甲的事件是第次传球后，球不在甲手上并且第n次必传给甲的事件，

于是有，即，

数列是首项为，公比为的等比数列，

则，所以．

故：.

19．高二A班计划在学校即将举办的夏季游园会上为同学们提供单球冰激凌的销售服务.已知购买一圆柱形桶装冰激凌需要1300元，此桶装冰激凌桶内底面直径为25厘米，冰激凌净高20厘米.单球冰激凌的平均直径约为5厘米，一副一次性杯勺的成本约1元(其他成本忽略不计).根据前期调查，冰激凌球能全部售完.高二A班打算将每个单球冰激凌定价为15元，你认为这样的定价是否合理？请作出必要的计算，结合计算结果阐述你的理由.

【答案】合理，理由见解析

【分析】根据条件先求圆柱和单球冰激凌的体积，再计算每个单球冰激凌的成本，最后比较.

【详解】，，

每个单球冰激凌的成本价为(元)，

定价为15元，利润率约为55%，较为合理.

【点睛】本题考查几何体的实际应用问题，重点考查读题能力，抽象概括能力，属于基础题型.

20．如图，等高的正三棱锥P-ABC与圆锥SO的底面都在平面M上，且圆O过点A，又圆O的直径AD⊥BC，垂足为E，设圆锥SO的底面半径为1，圆锥体积为．

(1)求圆锥的侧面积；

(2)求异面直线AB与SD所成角的大小；

(3)若平行于平面M的一个平面N截得三棱锥与圆锥的截面面积之比为，求三棱锥的侧棱PA与底面ABC所成角的大小．

【答案】(1)；(2)；(3)

【分析】（1）利用圆锥体积可求得圆锥的高，进而得到母线长，根据圆锥侧面积公式可求得结果；（2）作交圆锥底面圆于点，则即为异面直线与所成角，在中，求解出三边长，利用余弦定理可求得，从而得到结果；（3）根据截面面积之比可得底面积之比，求得，进而求得等边三角形的边长，利用正棱锥的特点可知若为的中心，则即为侧棱与底面所成角，在中利用正切值求得结果.

【详解】（1）设圆锥高为，母线长为

由圆锥体积得：        

圆锥的侧面积：

（2）作交圆锥底面圆于点，连接，

则即为异面直线与所成角

由题意知：，

，又

即异面直线与所成角为：

（3）平行于平面M的一个平面N截得三棱锥与圆锥的截面面积之比为

又    ，即为边长为的等边三角形

设为的中心，连接，则

三棱锥为正三棱锥    平面

即为侧棱与底面所成角

即侧棱与底面所成角为：

【点睛】本题考查圆锥侧面积的求解、异面直线所成角的求解、直线与平面所成角的求解.解决立体几何中的角度问题的关键是能够通过平移找到异面直线所成角、通过找到直线在平面内的投影，得到线面角.

21．同底的两个正三棱锥内接于半径为R的球，它们的侧面与底面所成的角分别为求：

（1）侧面积的比；

（2）体积的比；

（3）角的最大值．

【答案】（1）（2）（3）

【分析】分别计算出其侧面积，再计算比值．

分别计算出其侧体积，再计算比值．

根据在 单调递增，通过计算的最大值，求出角的最大值．

【详解】解：（1）设O为球心，为正三棱锥底面ABC所在圆的圆心，两个三棱锥的顶点分别为P,Q,取BC的中点D,则是侧面与底面所成二面角的平面角，

，同理=．，

．

:=．

(2),

这两个三棱锥的底都是三角形，

（3）设边长为a,,则

而

当平面ABC通过球心O时，a最大为时，

取最大值，这时也最大，最大值为.

【点睛】用已知数量表示所求量，再求比值．求角的最大值，可以根据单调性通过求其三角函数值的最值来求．