陕西省咸阳市武功县普集镇高级中学2022-2023学年高二上学期数学期末模拟试题（含解析）

普集镇高级中学2022-2023学年高二上学期数学期末模拟试题

数学卷

一、单选题

1．已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的离心率为（    ）．

A． B． C．4 D．2

2．已知，，，则点C到直线的距离为（    ）

A．2 B． C． D．

3．若平面α∥β，且平面α的一个法向量为n＝，则平面β的法向量可以是（    ）

A． B．(2，－1，0)

C．(1，2，0) D．

4．在中，已知，，且a，b是方程的两个根，，则（    ）

A．3 B．7 C． D．49

5．抛物线的焦点坐标为（    ）．

A． B．

C． D．

6．已知抛物线上的点到其准线的距离为，则（    ）

A． B． C． D．

7．若变量满足约束条件则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

8．在中，若，，，则等于（    ）

A．105° B．60°或120° C．15° D．105°或15°

9．如图，某公园内有一个半圆形湖面，为圆心，半径为1千米，现规划在半圆弧岸边上取点，，，满足，在扇形和四边形区域内种植荷花，在扇形区域内修建水上项目，并在湖面上修建，作为观光路线，则当取得最大值时，（    ）

A． B． C． D．

10．记数列的前n项和为，，数列是公差为7的等差数列，则的最小项为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．已知等比数列中，，公比，则__________.

12．设a>0，若对于任意正数m，n，都有m+n=7，则满足的a的取值范围是___________.

13．在中，已知，，，则_________.

14．已知双曲线过左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于P，Q两点，以P，Q为圆心的两圆与双曲线的同一条渐近线相切，若两圆的半径之和为，则双曲线的离心率为________.

三、解答题

15．（1）已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求通项公式an；

（2）设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an.

16．等差数列满足，.

（1）求的通项公式.

（2）设等比数列满足，，求数列的前n项和.

17．记中，角的对边分别为，已知.

(1)求；

(2)若，求的面积.

18．已知O为坐标原点，双曲线C：（，）的离心率为，点P在双曲线C上，点，分别为双曲线C的左右焦点，.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)已知点，，设直线PA，PB的斜率分别为，.证明：为定值.

19．若椭圆E：过抛物线x2＝4y的焦点，且与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点.

(1)求椭圆E的方程；

(2)不过原点O的直线l：y＝x＋m与椭圆E交于A，B两点，求△OAB面积的最大值以及此时直线的方程.

20．正项数列的前项和满足：

（1）求

（2）求数列的通项公式

（3）令，求数列的前项和

普集镇高级中学2022-2023学年高二上学期数学期末模拟试题

数学卷

参考答案：

1．D

【分析】根据等边三角形的性质，结合双曲线的渐近线方程、离心率公式进行求解即可.

【详解】因为是边长为2的等边三角形，所以，显然渐近线的倾斜角为，

因此有，

故选：D

2．B

【分析】利用向量投影和勾股定理即可计算C到直线AB的距离．

【详解】因为，，

所以在方向上的投影数量为．

设点C到直线的距离为d，则．

故选：B.

3．A

【解析】略

4．B

【分析】利用余弦定理即可求解.

【详解】因为a，b是方程的两个根，所以.

由余弦定理，.

即7.

故选：B

5．C

【分析】将已知抛物线方程整理成标准形式，从而可求出焦点坐标.

【详解】由可得，焦点在轴的正半轴上，设坐标为，

则，解得，所以焦点坐标为.

故选：C.

6．C

【分析】首先根据抛物线的标准方程的形式，确定的值，再根据焦半径公式求解.

【详解】，，

因为点到的准线的距离为，所以，得．

故选：C

7．A

【分析】首先根据题意画出不等式组表示的可行域，再根据的几何意义求解即可.

【详解】不等式组表示的可行域如图所示：

，

由得，

表示直线的轴截距的倍，

当直线过时，取得最小值，.

故选：A

8．D

【分析】首先利用正弦定理得到，从而得到或，即可得到或.

【详解】由题知：，所以，

又因为，，所以或.

所以或.

故选：D

9．D

【分析】设，利用三角恒等变换、余弦定理求得的表达式，结合二次函数的性质求得正确答案.

【详解】设，则，

，则、为正数.

在三角形中，由余弦定理得：，

在三角形中，由余弦定理得：

，

所以,

由于，所以当时，取得最小值，

也即时，取得最小值.

故选：D

10．C

【分析】根据给定条件，求出数列的通项公式，进而求出数列的通项公式，再探讨其最小项作答.

【详解】依题意，，因数列是公差为7的等差数列，则，

因此，当时，，而不满足上式，

当时，，即当时，，

于是当时，数列是递增的，而，，则，

所以的最小项为.

故选：C

11．

【分析】根据等比数列的通项公式，即可求解.

【详解】由题意，等比数列中，，公比，则.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的基本量的运算问题，考查了计算能力，属于容易题.

12．[1，+∞）

【分析】由题意结合均值不等式首先求得的最小值，然后结合恒成立的条件得到关于a的不等式，求解不等式即可确定实数a的取值范围．

【详解】解：∵m+n=7，∴（m+1）+（n+1）=9，则

，

当且仅当，即m=2，n=5时取等号，

∴，∵a>0，∴a≥1，

∴a的取值范围是[1，+∞），

故答案为：[1，+∞）.

13．3

【分析】设角，，所对的边分别为，，，利用余弦定理得到关于的方程，解方程即可求得的值，从而得到的长度．

【详解】解：设角，，所对的边分别为，，，

结合余弦定理，可得，

即，解得或（舍去），

所以．

故答案为：．

14．

【分析】不妨取，分别计算两点到渐近线的距离，根据求解即可.

【详解】代入可得，

不妨取，渐近线方程为，

设圆P和圆Q的半径分别为，

∵圆P和圆Q均与双曲线的同—条渐近线相切，

,

又两圆的半径之和为，

，即，

离心率，

故答案为：

【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查了数形结合思想和运算能力，属于中档题.

15．（1）an＝－ (n∈N*)；（2）an＝ (n∈N*)．

【分析】（1）由已知条件可得an＋1－an＝，然后利用累加法可求出通项公式an.

（2）由an＝an－1，可得＝，然后利用累乘法可求出通项公式

【详解】（1）∵an＋1－an＝，

∴a2－a1＝；

a3－a2＝；

a4－a3＝；

…

an－an－1＝.

以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋

＝＋＋…＋＝1－.

∴an＋1＝1－，

∴an＝－ (n≥2)．

又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，

∴an＝－ (n∈N*)．

（2）∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)，

∴＝，

an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝.

又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝ (n∈N*)．

16．（1）；（2）.

【解析】（1）利用等差数列的通项公式求解即可；（2）根据条件计算，从而求出，利用等比数列前项和公式即可求出.

【详解】解：()∵是等差数列，

，

∴解出，，

∴

.

()∵，

，

是等比数列，

，

∴b1=4

17．(1)

(2)或

【分析】（1）根据正弦定理，结合三角形内角和求解即可；

（2）根据余弦定理可得或，再根据面积公式求解即可

(1)

由正弦定理可得，故，因为，故，故，又，故

(2)

根据余弦定理可得，故，故，.当时， ；当时，，故的面积为或

18．(1)

(2)证明见解析

【分析】(1)根据题意和双曲线的定义求出，结合离心率求出b，即可得出双曲线的标准方程；

(2)设，根据两点的坐标即可求出、，化简计算即可.

(1)

由题知：

由双曲线的定义知：，

又因为，所以，所以

所以，双曲线C的标准方程为

(2)

设，则

因为，，所以，

所以

19．(1)

(2)面积最大值为，此时直线的方程为．

【分析】首先求出抛物线与双曲线的焦点坐标，即可得到、，再由，即可求出，即可求出椭圆方程；

（2）将直线方程和椭圆方程联立组成方程组，然后求解得到的值，并通过求解得到点到直线的距离，即可得到含有的表达式，进而求解得出最大值．

(1)

解：抛物线的焦点为，双曲线的焦点为或，依题意可得，又，所以，所以椭圆方程为；

(2)

解：根据题意，设点，，，，联立直线方程与椭圆方程可得，，消去得，，

即得，，

则由相交弦长公式可得，

又由点到直线距离公式可得，点到直线的距离即为，

所以，

当且仅当，即时，面积取得最大值为，此时直线的方程为．

20．（1）；（2）；（3）

【分析】（1）将所给式子因式分解，即可得解；

（2）根据计算可得；

（3）由（2）可得，再利用裂项相消法计算可得；

【详解】解：因为

所以

所以或

因为各项均为正数，所以；

（2）因为，当时，当时，，所以，当时也成立，所以

（3）因为，所以

所以